2024石景山初二上期末数学试卷和答案

这是一份2024石景山初二上期末数学试卷和答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

学校姓名准考证号
本试卷共 7 页，共三道大题，28 道小题。满分 100 分。考试时间 100 分钟。
在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号。
试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
考生须知
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的．
6 的算术平方根为
6
6
（A） 3（B） （C）
6
（D） 
我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是 “绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是
（A）（B）（C）（D）
若代数式 3x
x 1
（A） x  0
的值为 0，则实数 x 的值为
（B） x  1
（C）
x  0
（D）
x ≥1
下列说法中，正确的是
“在标准大气压下，将水加热到 100℃，水会沸腾”是随机事件
随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件
投掷一枚硬币 10 次，一定有 5 次正面向上
“事件可能发生”是指事件发生的机会很多
G
A
E
如图，△ABC 中 AB 边上的高线为
（A）AD（B）CE
（C）AF（D）BGBC
D F
下列变形正确的是
（A）
x  2  x y  2y
（B）
a2  b2
a  b
 a  b
（C）
1  1 2
xyx  y
（D）
2a8b3 
4a2b
a6b2
2
在一个不透明的袋子中，装有白球、红球若干个，各球除颜色外都相同.某校初二五班 30 名同学做实验，从袋中任意摸一球，记录颜色后将球放回袋中搅匀，再进
行下一次摸球试验.每人做 20 次这样的摸球试验后，进行累计，发现全班试验中摸
出红球共 100 次，估计袋中红球与白球数量的比值约为
（A）1:5（B）1:6（C）1:11（D）1:12
关于 x 的分式方程 3x  m  5 的解是正数，则m 的取值范围是
x 1
m  5
（C） m  5 且 m  3
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
m  5
（D） m  3
x 1
若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是．
在括号内填入适当的整式对分式变形： m   ，变形的依据是．
nn2
2
2
11． 3131  .
如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的 =°.
α
①②③
E
如图，点 B，C，F，E 在同一条直线上，BC=EF，A
AB∥DE，要使△ABC≌△DEF，还需添加一．个．条件， BC F
这个条件可以是；根据你添加的条件，D
本题中判定两个三角形全等所用的方法为.
国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于 50 元的顾客均有一次
转动转盘的机会．如图，转盘被平均分为 8 等份，指针固定不动，转动转盘，转
81
7
6
2
3
54
盘停止后，当指针指向数字 8 时，该顾客获一等奖；当指
则
A
D
针指向 3 或 5 时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为．
2
如图，△ABC 中，AB= AC=1，BC=
（1）∠C=°；
．BD 平分∠ABC.
（2）点 D 到 BC 的距离为.
BC
A
D
O
如图，在等边△ABC 中，AB=6，点 O 在 AB 上，且 AO=4，点 E 是边 BC 上一动点，连接 OE，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到线段 OD，且∠DOE=60°.
连接 DE，则△ODE 的形状为；
当点 E 在边 BC 上运动时，连接 CD，则 CD 的最小值为.
BEC
三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 每小题 5 分；第 22-23 每小题 6 分；24 题 5 分，
22
3
第 25-26 每小题 6 分；第 27-28 每小题 7 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
计算： 3 8 
   20  1．
计算：
18  3
 2 12 ．
3
2
解方程： 3 1
13．
23x 16x  2
如图，AC，BD 交于点 O，OA=OD，∠1=∠2.AD
求证：AB = CD.O
B 12 C
《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”题目大意为：“如图，有一个池塘，其 底面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇 AC 生长在池塘的中央，高出水面的部分 BC 为 1 尺，如果把该芦苇沿 与池塘边垂直的方向拉向池塘边，那么芦苇的顶部 C 恰好碰到池塘边的C 处，问水深和芦苇长各多少尺？”请根据题意解决问题.
B
C
DC'
A
A
已知：如图，△ABC 中，AB=AC，AB>BC.
利用尺规作图，作△ABC 中 AC 边上的高 BD
（不写作法，保留作图痕迹）；
求证： CBD  1 A .
BC

已知a2  a 1  0 ，求代数式 a
1 
a3  a
的值．

 a 1a2  2a 1
台球技艺中包含了许多物理、数学的知识.图 1 是台球桌面的一部分，由于障碍 球 E 的阻挡，击球者想通过正面击打主球 M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球 F.球的反弹路径类似于光的反射光路.台球桌 面抽象为长方形，球抽象为点，如图 2，请在 AD 边上作出撞击点 P,使得
∠MPA=∠FPD，并用数学知识进行证明.
M
F
M
EF
AD
BC
图 1图 2
A
P
2D
锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图 3）1
进行分析，发现“要保证∠1=∠2，只需保证∠1=∠3 即可”.M
F
图 3
25．2023 年 8 月 29 日华为 Mate 60 系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在 5G 和 4G 网络环境下，下载容量为 920 兆的同一个文件，发现在 5G 网络环境下载所需时间比 4G 网络环境下载的时间少 105 秒，测得 5G 网络环境下载的速度是 4G 网络环境下载速度的 11.5 倍，问该用户在 5G 网络环境下载文件的速度是每秒多少兆？
小明根据学习“数与式”积累的经验,想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律.下面是小明的探究过程,请补充完整：
具体运算,发现规律.
第 1 个： 2  2  2  2 ;
1
第 2 个： 3  3  3  3 ;
22
第 3 个： 4  4  4  4 ;
33
55
第 4 个：
 5  5 ;
44
第 5 个：.
……
观察、归纳，发现规律，得出猜想：
第 n 个等式可以表示为：（n 为正整数）.
证明（2）中的猜想.
如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC =BC，D 为射线 BC 上一点（不与点 B，C重合），连接 AD 并延长到点 E，使得 DE=AD，连接 BE．过点 B 作 BE 的垂线交直线 AC 于点 F.
如图 1，点 D 在线段 CB 上，且 DB①请补全图形；
②判断 CD，DB，CF 之间的数量关系，并证明.
如图 2，若点 D 在线段 BC 的延长线上，请画出图形，直接写出 CD，DB， CF 之间的数量关系.
基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题.
D
B
A
A
C
DCB
E
图 1图 2
在6  6 的正方形网格中，小正方形的边长为 1，网格线的交点为格点，△ABC 为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点 P 与格点△ABC 给出如下定义：点 P为网格中一点（与点 B，C 不共线），连接 PA，PB，PC，若 PA 与△PBC 的某条边相等，则称 P 为△ABC 的关联点.
如图 1，在格点 P1 ， P2 ， P3 中，是△ABC 关联点的是；
如图 2，若点 P 为△ABC 的关联点，当点 P 是△ABC 内部(不含边界)的格点时，请标出所有满足条件的点 P 的位置；
如图 2，E 是△ABC 的边 AC 上一点（不与点 A，C 重合），过点 E 作 AC 的垂线，与△ABC 的边 AB(或 BC)交于点 F．若线段 EF 上存在△ABC 的两个关联点，求线段 AE 的取值范围.
P2
A
P3
P1
B
C
B
AC
图 1图 2
阅卷须知：
石景山区 2023-2024 学年第一学期初二期末
数学试卷答案及评分参考
为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可。若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9． x ≥110． mn ；分式的基本性质 11．1712. 75
13．答案不唯一，如 AB=DE ；SAS14． 3
3
8
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
C
C
A
B
B
D
A
C
2
15.45；
116．等边三角形； 2.
三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 每小题 5 分；第 22-23 每小题 6 分；24 题 5 分，
第 25-26 每小题 6 分；第 27-28 每小题 7 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
解：原式 2  2 1
3
 2 .
3 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
9  3
解：原式 3
3
 3 3
 2  2
3
3
 4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
3
 5.
解：原方程可化为： 3 113
23x 123x 1
去分母，得33x 1  2 13 .去括号，整理得9x  5  13 .解得 x  2 .
经检验 x  2 是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为 x  2 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
20． 证明：
∵∠1=∠2,
∴OB=OC(等角对等边).在△AOB 和△DOC 中
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
AD
 O A O D

A O B  D O CO

 O B O C
B 12 C
∴△AOB≌△DOC（SAS）.
∴AB=CD（全等三角形的对应边相等）.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
解：由题意，原问题可转化为以下数学问题：
已知：Rt△ ABC ' 中， ABC ' =90°，点 B 为 DC ' 的中点，
DC '  10 ，AC= AC '，BC=1．
求 AB 和 AC 的长．
∵ DC '  10 ,点 B 为 DC ' 的中点，
C
B
DC'
A
∴ BC '  1 DC '  5 .
2
设 AB=x，则 AC ' =AC=x+1.
在 Rt△ABC’中，
∵ AB2  BC '2  AC '2 ，
∴ x2  52  (x  1)2 .
解得 x  12 .
∴AB=12，AC=13.
答：水深 12 尺，芦苇长 13 尺.
解：（1）尺规作图，如图所示：
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
A
D
C
B⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
（2）
证明：∵BD⊥AC 于D，
∴∠1+∠C=90°．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
A
D
1
C
∵AB=AC，
∴ ABC  C ．
∵ A  ABC  C  180 ，
∴ A  2C  180 ．
∴ 1 A  C  90 .B
2
∴ DBC  1  1 A .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
2

 aa 1 
a a  1a 1

解：原式  a 1 
1
a 1  
a 12
a 12
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分

a 1
a a  1a 1
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
1
 a a  1
1
 a2  a
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
∵ a2  a 1  0 ，
∴ a2  a 1
∴ 原式=1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
解：如图所示，作点 M 关于 AD 的对称点 M ' ，连接 M ' F 交 AD 于点 P，
P
M
F
点 P 即为所求.M'
AD
BC
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
连接 MP， MM ' .
∵点 M 与点 M ' 关于 AD 对称，
∴直线 AD 是 MM ' 的垂直平分线.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
∴ MP  M ' P .
∴ MPA  M ' PA .
∵ M ' PA  FPD ,
∴ MPA  FPD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
解：设该用户在 4G 网络环境下载的速度是每秒 x 兆，
在 5G 网络环境下载的速度是每秒 11.5x 兆.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分
根据题意列方程，得 920  920 105 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
11.5xx
解得： x  8 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
经检验， x  8 是原分式方程的解且符合实际意义.
11.58  92 .
答：该用户在 5G 网络环境下载文件的速度是每秒 92 兆.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分

解：（1）第 5 个： 6  666 .
55
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分
（2）第 n 个等式可以表示为： n 1  n  1  n 1  n  1 .
nn
（3）证明：
∵ n 1
2
n 1
 n  1 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
nn
n 1  n 1  n 1  nn 1
nnn
n 1(1 n)
=
n
n  12
=，
n
∴ n 1  n  1  n 1  n  1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
nn
解：（1）①补全图形如图所示：
D
B
A
C
F
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分
E
②判断：CD=DB+ CF.
证明：过点 E 作 EG⊥CB 交 CB 的延长线于 G.
∵∠ACB=90°，EG⊥CB 于 G，
∴∠ACD=∠EGD=90°.
∵DE=AD，∠ADC=∠EDG,
∴△ACD≌△EGD.
∴AC=EG，CD=GD.
∵AC =BC，
∴BC=EG.
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
∴∠CBF+∠GBE=90°.
∵在△EGB 中，∠GEB+∠GBE=90°，
∴∠CBF=∠GEB.
∵∠FCB=∠BGE=90°
∴△BCF≌△EGB.
∴CF=GB.
∵DG=DB+BG，
∴CD=DB+ CF.
A
C F
G
D B
E
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
画出图形如下：F
A
DCB
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
E
数量关系：CD= CF- DB.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
答案不唯一，只要合理有价值即可.
如：点 D 在线段 CB 上，且 DB>CD，判断 CD，DB，CF 之间的数量关系.
如：判定 AF 与 CD 的数量关系并证明等.
解：（1） P1，P3 .
（2）如图所示：
B
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
P3
P2 P1
A
（3） 10 ≤ AE ≤ 4 .
C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分