2023-2024学年江西省赣州市全南中学高二上学期期中数学试题含答案

2023-2024学年江西省赣州市全南中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解.【详解】由直线，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，可得，因为，所以.故选：A.2．已知，则（    ）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根据两点间的距离公式直接计算即可.【详解】因为，则,故选：3．以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆心和半径可得圆的方程.【详解】以点为圆心，且与x轴相切的圆的半径为1．故圆的标准方程是．故选:A．4．圆与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】C【分析】直接用圆心的距离与半径之和的关系确定即可.【详解】的半径，圆心，的的半径，圆心，两圆心的距离，因为，所以两圆相离，故选：C5．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，则椭圆的焦距的长为（    ）A．1 B．2 C．4 D．【答案】B【分析】通过求出，然后求出即可求解．【详解】椭圆的左、右焦点分别为、，可得，则，则．故选：B．6．已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线一支【答案】D【分析】结合圆与圆的位置关系利用双曲线的定义即可求解.【详解】设动圆C的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为2，由题意可得，或，所以或，又因为，所以，由知不合题意，所以，根据双曲线的定义知，可得点C的轨迹为以为焦点的靠近的一支.故选：D.7．双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的离心率的定义求出与的关系，从而得出与的关系，再根据渐近线方程定义即得.【详解】由可得：又因故有而双曲线：的渐近线方程为即：故选：D.8．设抛物线的准线为，定点，过准线上任意一点作抛物线的切线，为切点，过原点O作，垂足为H．则线段MH长的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】切点，分别求出切线的方程，联立方程利用韦达定理求出，然后再利用得到点在以为直径的圆上，利用数形结合求出的最大值即可.【详解】因为抛物线的准线为，焦点为，所以过点作抛物线的切线，设切点，所以，则，所以直线的方程分别为；，联立可得，所以，即，又因为点在准线上，则，，设直线的方程为：代入抛物线的方程可得：，所以，则，所以直线过定点，又因为焦点，，所以点在以为直径的圆上，又因为的中点为，所以，所以，故选：C.二、多选题9．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再得到抛物线方程.【详解】直线与坐标轴的交点为，，故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.故选：BD.10．下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】设所求直线方程为，再利用平行直线的距离公式可得.【详解】设所求直线的方程为，由题意可得，解得或．故所求直线的方程为或．故选：AB11．已知圆的方程为，则圆上的点有（ ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】将点的坐标代入方程，检验方程是否成立，即可判断.【详解】因为圆，对于A：，所以点不在圆上；对于B：，所以点在圆上；对于C：，所以点不在圆上；对于D：，所以点在圆上；故选：BD12．已知为坐标原点，分别是双曲线的左，右焦点，直线与双曲线交于两点，．为双曲线上异于的点，且与坐标轴不垂直，过作平分线的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（    ）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程是C．直线与的斜率之积为4 D．若，则的面积为4【答案】BCD【分析】由直线斜率为可知，不妨设在第一象限，即可得到，代入双曲线方程，即可得到关于的方程，从而求出离心率，则渐近线方程可求，即可判断A、B，则双曲线方程可化为，设，根据对称性得，利用点差法判断C，求出动点的轨迹方程，即可得到，从而求出的面积，即可判断D.【详解】依题意得直线与双曲线两交点关于原点对称，不妨设在第一象限，由，所以，设，由直线斜率为可知，则，，则，代入双曲线方程有，即，化简得，化简得，，解得，则，故A错误；由，所以，所以双曲线的渐近线方程是，故B正确；由，则双曲线方程可化为，设，根据对称性得，根据点在双曲线上则有，①②得，即，，故C正确；  点关于的角平分线的对称点在直线的延长线上，故，又是的中位线，故，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，则点的轨迹方程为，因为，所以，所以双曲线方程为，所以，则，又，所以，故D正确；故选：BCD【点睛】关键点睛：由直线的斜率表示出点坐标，从而求出离心率是解决ABC的关键，D选项的关键是求出动点的轨迹方程.三、填空题13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 .【答案】【分析】联立方程求交点，再根据直线垂直的斜率关系求斜率，然后点斜式可得.【详解】解方程组得，因为直线的斜率为，所以，所求直线的斜率为，由点斜式得，即.故答案为：14．直线被圆所截得的弦长是 ．【答案】6【分析】判断出直线过圆心即可.【详解】 即圆心为 半径为3，而直线过定点即过圆心，故直线被圆所截得的弦长即为直径6.故答案为：615．已知某双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点，则该双曲线的标准方程为 ．【答案】【分析】设双曲线方程为：，然后将点代入即可求解.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以该双曲线的方程可设为，将点代入双曲线方程得，，所以：该双曲线的标准方程为．故答案为：.16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为 ．【答案】【分析】由的面积是面积的2倍，得到，由此设，分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，即可求得答案.【详解】如图，由的面积是面积的2倍，可得，不妨设，，，则，．在中，,由，得，整理得①．在中，,由，得，整理得②，①+②得，将该式代入②，整理得，即，故的离心率为，故答案为：【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于找到之间的关系，解答时要注意利用的面积是面积的2倍，得到，由此可分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，求得答案.四、解答题17．已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）．(1)求复数；(2)复数在复平面对应的点在第二象限，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系数结合实数、纯虚数的概念即可求解.（2）由（1）可知，从而可以化简，结合已知即可求出实数的取值范围．【详解】（1）设复数，是实数，所以，则，所以，因为为纯虚数，所以且，解得，所以.（2）由（1）知，,在复平面上对应的点为，又已知在复平面上对应的点在第二象限，所以，解得，即实数m的取值范围为.18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过，；(2)长轴长是焦距的3倍，且经过点．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）设椭圆方程为，将点代入列方程求参数，即得方程；（2）由题设，讨论焦点位置设椭圆方程，将点代入求椭圆标准方程.【详解】（1）令椭圆方程为，则，所以椭圆标准方程为.（2）由题设，，则，若焦点在x轴上，令，则，此时标准方程为；若焦点在y轴上，令，则，此时标准方程为；综上，椭圆方程为或.19．已知的内角所对的边分别为．(1)求角的大小；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）法一：利用余弦定理化角为边，进而可得出答案；法二：利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；（2）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）解法一：，由余弦定理，得，，又，；解法二：，由正弦定理得，又，，又，；（2）由余弦定理，得，由正弦定理，得，又，当且仅当时等号成立，的最小值为．20．已知直线经过点，且与直线垂直．(1)求直线的方程；(2)若直线与直线平行，且点到直线的距离为，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由垂直关系得出斜率，进而由点斜式写出方程；（2）设直线的方程为，根据距离公式得出直线的方程．【详解】（1）直线的斜率为，由题意直线经过点，斜率为，则即.（2）设直线的方程为，且.点到直线的距离为，则，解得或.即直线的方程为或.21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而证明出结论；（3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值.【详解】（1）连接，，因为底面为平行四边形，为中点，故与相交于，因为为的中点，则，因为平面，平面，所以平面；（2）因为，由余弦定理得，即，解得，因为，所以⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为平面，，所以平面；（3）取的中点，连接，则，因为⊥平面，所以⊥平面，则为直线与平面所成角，其中，故，因为⊥，，由勾股定理得，故，由勾股定理得，所以.22．已知双曲线的渐近线斜率为，且经过点，直线与圆相切于点.(1)求双曲线的方程：(2)若直线与双曲线相切于点，求的取值范围.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由渐近线斜率与双曲线所过点的坐标列方程组求得，得双曲线方程；（2）设的方程为，由它与圆和双曲线分别相切，分别得出的关系式，同时得出切点的横坐标，然后计算线段长，并化为的函数，然后利用函数的性质得其范围．【详解】（1）由已知，又，故解得，所以双曲线方程为；（2）显然直线的斜率存在，设的方程为，由得，，化简得①，此时方程的解为，即为点横坐标，由得，，化简得②，此时方程的解为，即为点的横坐标，，由①②代入得，函数在时是减函数，所以由得．【点睛】方法点睛：直线与双曲线位置关系中的范围问题，关键是引入参数，建立函数式，可设直线方程为（有交点时可能还要设出交点坐标），由直线与曲线的位置关系得出得出参数之间的关系，然后用参数表示出题中的量（本题中是线段长），并转化为其中某个参数的函数，再利用函数知识、不等式知识等求得取值范围．