提优点6　数列的放缩问题

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1.数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合试题将稳定在中等偏难的程度，其核心技能是放缩技巧的应用.
2.通项放缩常见结论
(1)eq \f(1,n2)>eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)；
(2)eq \f(1,n2)(3)eq \f(1,n2)(4)eq \f(1,n2)＝eq \f(4,4n2)(5)Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)·eq \f(1,nr)＝eq \f(n！,r！（n－r）！)·eq \f(1,nr)(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))eq \s\up12(n)<1＋1＋eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋…＋eq \f(1,（n－1）n)<3；
(7)eq \f(1,\r(n))＝eq \f(2,\r(n)＋\r(n))(8)eq \f(1,\r(n))＝eq \f(2,\r(n)＋\r(n))>eq \f(2,\r(n)＋\r(n＋1))＝2(－eq \r(n)＋eq \r(n＋1))；
(9)eq \f(1,\r(n))＝eq \f(2,\r(n)＋\r(n))eq \f(2\r(2),\r(2n－1)＋\r(2n＋1))＝eq \r(2)(－eq \r(2n－1)＋eq \r(2n＋1))；
(10)eq \f(2n,（2n－1）2)＝eq \f(2n,（2n－1）（2n－1）)(11)eq \f(1,\r(n3))＝eq \f(1,\r(n·n2))＝eq \f(\r(n＋1)－\r(n－1),\r(（n－1）n（n＋1）))·eq \f(1,\r(n＋1)－\r(n－1))
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(（n－1）n))－\f(1,\r(n（n＋1）))))·eq \f(1,\r(n＋1)－\r(n－1))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(n－1))－\f(1,\r(n＋1))))·eq \f(\r(n＋1)＋\r(n－1),2\r(n))
<2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(n－1))－\f(1,\r(n＋1))))(n≥2)；
(12)eq \f(1,\r(n3))＝eq \f(2,\r(n2·n)＋\r(n·n2))<
eq \f(2,n\r(n－1)＋（n－1）\r(n))＝eq \f(2,\r(（n－1）n)（\r(n)＋\r(n－1)）)＝eq \f(2（\r(n)－\r(n－1)）,\r(（n－1）n))＝eq \f(2,\r(n－1))－eq \f(2,\r(n))(n≥2)；
(13)eq \f(1,2n－1)＝eq \f(1,（1＋1）n－1)(14)eq \f(1,2n－1)【类型突破】
类型一 先求和再放缩证明不等式
对于数列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放缩证明.
例1 (2023·郑州外国语学校模考)正项数列{an}前n项和为Sn，若a1＝1，且an＝eq \r(Sn)＋eq \r(Sn－1)(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝eq \f(an＋2,2nanan＋1)，设数列{bn}的前n项和Tn.证明：Tn<1.
规律方法 此类不等式一般另一端为常数，求和以后常利用去项放缩或利用和函数的单调性放缩.
训练1 (2023·绍兴适应性考试)记Tn为正项数列{an}的前n项积，且a1＝1，a2＝2，TnTn＋2＝2Teq \\al(2,n＋1).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：eq \f(T1,T2)＋eq \f(T3,T4)＋…＋eq \f(T2n－1,T2n)类型二 先放缩通项再求和证明不等式
若数列和的不等式不易求和，一般先适当放缩通项，然后累加求和.
例2 已知数列{an}满足a1＋22a2＋…＋n2an＝n2＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \r(2an)，数列{bn}的前n项和为Sn，证明：当n≥2时，Sn<4eq \r(n)－2.
规律方法 此类题型关键是如何放缩数列的通项，需要熟悉常见的放缩技巧及结论.
训练2 (2023·长郡中学模拟)已知数列{an}满足a1＝4，当n≥2时，an－4an－1＝
－eq \f(4n,n（n－1）).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列bn＝nan－1，证明：eq \f(1,b1)＋eq \f(1,b2)＋…＋eq \f(1,bn)类型三 通项放缩与求值
(1)通项放缩确定新数列；
(2)先放缩再求和式子的应用.
例3 (2023·湖北八市联考)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且an，Sn，aeq \\al(2,n)为等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若m为正整数，记集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(an,2)))＋\f(2,an)≤m))的元素个数为bm，求数列{bn}的前50项和T50.
规律方法 (1)通项放缩确定新数列注意解相关不等式；
(2)先放缩再求和式子的应用，应注意考虑所得式子的性质.
训练3 (2023·汕头一模)已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝3，Teq \\al(2,n)＝aeq \\al(n＋1,n).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(an－1,an＋1)，数列{bn}的前n项和为Sn，求[S2 023]([x]表示不超过x的最大整数).