2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据递推关系即可逐一代入求值.
【详解】.
故选:C
2．已知{an}是等差数列，且，则该数列的公差是（ ）
A．3B．C．－4D．－14
【答案】A
【分析】设数列{an}公差为d，首项为，则由可得关于和 d的方程组.
【详解】设数列{an}公差为d，首项为，则由可得：
.
故选：A
3．在各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．16B．C．24D．
【答案】C
【分析】根据，，利用等比数列的通项公式求解.
【详解】解：在各项均为正数的等比数列中，，，
所以，
解得或（舍去）或（舍去），
此时，
所以，
故选：C
4．下列数列是递减数列的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数方法依次判断每个选项数列的增减性得到答案.
【详解】对选项A：为递增数列；
对选项B：为递减数列；
对选项C：，先增后减数列；
对选项D：，先减后增数列.
故选：B.
5．已知数列满足：，，，，则（ ）.
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】把递推关系式里的换成，结合得到
，然后把上式的的换成得到周期.
【详解】
即
又
是以为周期的周期数列.
故选：C
6．已知为等比数列的前项和，若，，则（ ）（ ）
A．96B．162C．243D．486
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质，若为等比数列的前项和，则，，，，也是等比数列计算即可.
【详解】因为为等比数列，
所以，，，，成等比数列，
因为，．
所以，
所以．
故选：A．
7．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30B．10C．9D．6
【答案】B
【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案.
【详解】为正数的等比数列，则，可得，
∵，
∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，
故.
故选：B.
8．设数列的前项和为，且，，则数列的前项的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据递推关系证明出数列为等差数列，然后利用等差数列的求和公式，裂项求和的办法进行计算即可.
【详解】由，则，当时，，整理可得：，则，所以是公差为的等差数列，又，所以，根据等差数列的求和公式：，所以，于是数列的前项的和：.
故选：B
二、多选题
9．已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列的最大项为D．
【答案】ABD
【分析】由判断出，，求出，即可判断A；
利用等差数列的性质求出，可以判断B；
由，，可判断出最大，可以判断C；
由，，，可以判断D.
【详解】因为，，所以，A正确；
，所以，B正确；
因为，，所以数列的最大项为，C不正确；
因为，，，所以，即，D正确．
故选：ABD．
10．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中,第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为
【答案】BCD
【分析】根据数列概念即可得选项A正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B的正误;根据数列的规律,即可得选项C、D的正误.
【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4,
所以两个数列不是同一个,故选项A错误;
当时,解得:或(舍),
即110是该数列的第10项,故选项B正确;
因为数列可写为:,
所以第8个数是,故选项C正确;
因为
所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确.
故选：BCD
11．若为等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．数列一定是等比数列
B．数列（其中且）一定是等比数列
C．数列一定是等比数列
D．数列是单调递增数列的充分条件是首项且公比.
【答案】ABD
【分析】先设出的公比为，即，从而得到，A正确；因为且，所以，B正确；C选项可举出反例；D选项，写出是单调递增数列，包含两种情况，得到D正确.
【详解】因为为等比数列，设公比为，即，
则，故数列一定是等比数列，A正确；
因为且，所以，
故数列（其中且）一定是等比数列，B正确；
若，此时为常数列，则，故不是等比数列，C错误；
数列是单调递增数列，包含两种情况，一是首项且公比，二是且公比，
故数列是单调递增数列的充分条件是首项且公比，D正确.
故选：ABD
12．已知正项等比数列，公比分别为，前项和分别为，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据题中，，分别可求出，从而逐项判断即可.
【详解】对于A:因为，所以当时，，又，所以，故，所以，故A正确；
对于B:当时，，即，
将代入得，
即，解得或，
因为是正项等比数列，所以，故，所以，故B错误；
对于C:由选项B可得，所以，
则，又，则，故，故C正确；
对于D:由选项B可得，
所以，故，故D错误.
故选:AC.
三、填空题
13．设等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】24
【分析】根据等差数列的性质与前项和公式计算．
【详解】是等差数列，
∴，，
．
故答案为：24.
14．已知数列的前n项和为，且，则 .
【答案】
【分析】由与关系求通项即可.
【详解】当时，，则.
经检验，时，，不符合上式，故.
故答案为：.
15．已知数列是公比为的等比数列，且，则该数列的前项和 ．
【答案】/
【分析】根据已知条件求出的值，再利用等比数列求和公式可求得.
【详解】因为数列是公比为的等比数列，且，
因为，则，解得，则，
所以．
故答案为：.
16．已知等比数列的公比为，前项和为，且满足.若对一切正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】先求得和，整理，得，设，判断单调性，找到最小值.
【详解】若，则，即，此时，与题意不符，舍去；
若，由，可得，
即，
解得，则.
对一切正整数，不等式恒成立，
化简得，分离可得，
设，则，
当时，，即；
当时，，即，
所以的最小值为，
故答案为：.
四、问答题
17．数列的通项公式是.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
【答案】(1)
(2)是，第16项
【分析】（1）利用数列的通项公式能求出这个数列的第4项；
（2）令，求出方程的解，即可判断．
【详解】（1）解：数列的通项公式是．
这个数列的第4项是：．
（2）解：令，即，
解得或（舍，
是这个数列的项，是第16项．
18．已知等差数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的前项和公式求出即可求解；（2）利用裂项相消求和.
【详解】（1）设公差为，则，
所以解得，
所以，
（2），所以，
所以.
.
五、证明题
19．在数列中，已知，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）1.
【分析】（1）利用递推关系得到；
（2）由（1）得到数列以2为周期的周期数列；
（3）由得，再由周期数列的特点，求得数列前7项的和.
【详解】（1）当时，因为，
所以等式成立.
（2）由（1）知数列是以2为周期的周期数列，
所以.
（3）因为，所以，
由于数列是以2为周期的，
所以.
【点睛】本题考查周期数列的证明及利用周期数列的特点，求数列的项和前项和，考查基本运算求解能力.
六、问答题
20．已知等差数列的前项和为，且.
(1)求通项公式及的最小值；
(2)数列为等比数列，且，求数列的前项和；
(3)数列满足，其前项和为，请直接写出的值（无需计算过程）.
【答案】(1)，最小值为
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，分为偶数与为奇数讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为.
因为，所以
解得，所以.
所以.
因为，所以当或时，最小值为.
（2）由（1）可得：，所以等比数列的公比为，
所以，所以等比数列的前项和.
（3）.
因为数列满足.
当为偶数时，；
当为奇数时，；
所以.
七、证明题
21．已知数列中，，．
(1)证明数列是等差数列，并求通项公式；
(2)若对任意，都有成立，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据已知可推出，又，即可得到，进而求出通项公式；
（2）经化简可得，.令，根据求出时，最大，即可得出的取值范围．
【详解】（1）证明：由已知可得，，
又，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以，所以，所以.
（2）由（1）知，.
所以，所以.
则由可得，对任意，都成立.
令，假设数列中第项最大，
当时则，有，即，整理可得，
解得，所以.
因为，所以，.
又，所以数列中第2项最大，即对任意，都成立.
所以由对任意，都成立，可得.
22．已知各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列.
(1)证明：数列是等比数列，并写出通项公式；
(2)若，设，求数列的前项和；
(3)若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条件，利用与的关系，得出递推关系式，证明数列为等比数列，再求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，根据数列通项特征，利用错位相减法求出数列的和．
（3）利用（2）的结论，找出算式最大值利用恒成立问题求出参数的范围．
【详解】（1）各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列．
则：①，
当时，，解得：．
当时，②，
①②得：，整理得：，
所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以：．
（2）由于：，所以，则，
所以①，
②，
①②得：，
解得：．
（3）设，
则：，
当，2，3时，，
当时，，即，
故的最大值为1，
不等式对一切正整数恒成立，只需即可，
故：，解得：或，
所以的取值范围是：．