2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知，用有理数指数幂的形式表示 .
【答案】
【分析】化根式为有理指数幂形式.
【详解】由，则.
故答案为：.
2．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可得，即可求解.
【详解】是的充分不必要条件，
，.
故答案为：.
3．已知，，则 1（填“”或“”）.
【答案】
【分析】利用指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，所以在上单调递减，
又，所以.
故答案为：.
4．函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】先画出函数的图像,判断其单调性,再根据单调性代入端点和极值点即可求出值域.
【详解】解：由画图,结合函数图像可得
函数在单调递减,在单调递增.
,
,
,
值域为
函数,的值域为
故答案为
【点睛】本题考查函数值域的求解,结合函数图像可以求值更加简便.
5．集合，则的子集的个数是 .
【答案】
【分析】先求出集合A，然后根据集合A中元素个数求出A的子集的个数.
【详解】根据，
其中，
则，中含有3个元素，
则子集的个数是.
故答案为：8
6．已知函数，且，那么= .
【答案】-12
【分析】代入，整体代换求值即可.
【详解】由题意，，即，
故,
故答案为：-12
7．已知为常数，，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】由已知可得，，从而有，利用基本不等式即可求解．
【详解】，，
则，当且仅当时，取最小值，
故答案为．
【点睛】本题考查对数的运算性质、基本不等式求最值，考查运算求解能力，在利用基本不等式求最值时，要注意验证等号能否成立.
8．若，则 .
【答案】
【分析】利用对数与指数的互化可得，再利用换底公式和对数的运算性质可得结果.
【详解】因为，则，所以，.
故答案为：.
9．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿．（，，）
【答案】2037
【分析】根据条件，列出不等式，再利用对数运算解不等式即可.
【详解】设x年我国人口将超过20亿，
由题意，列方程得：
∴，
∴，
解得，又，故.
故答案为：
10．设，表示不大于的最大整数，如，则使成立的的取值范围 ．
【答案】或
【分析】根据的定义可得，解绝对值不等式可得结果.
【详解】由得，
所以或，
所以或.
故答案为：或
【点睛】关键点点睛：根据的定义得到是解题关键.
11．已知函数，，若关于的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用换元法，将问题转化为，则与的图象只有一个交点，从而结合图象即可得解.
【详解】因为，
所以可化为，
设，
易知对勾函数在区间为减函数，在区间为增函数，其值域为，
故上述方程可转化为，
因为恰有两个不同的实根，所以在上只有一个解，
即在上只有一个解，
令，则与的图象只有一个交点，
由对勾函数的性质可知在上单调递增，在上单调递减，
且，，
作出与的大致图象，如图，
结合图象可知或.
故答案为：.
12．当实数x、y满足时，的取值与x、y均无关，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据x，y满足的表达式可设，进而求出x+2y的范围，再由条件可知，则可求出a的取值范围.
【详解】因为实数x，y满足，设，
则，其中，
所以，
因为的取值与x、y均无关，
因为，
所以，
即此时，所以，
则，
故答案为: .
二、单选题
13．用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上不一定有零点
B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度，应该接着计算
D．没有达到精确度，应该接着计算
【答案】D
【分析】利用二分法判断出方程根的分布区间，即可根据精确度求出根的近似值．
【详解】对于A，由，且连续，则根据函数零点存在定理知，在上一定有零点，故A错误；
对于B，C，D，，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故B错误，C错误，D正确．
故选：D．
14．已知是定义在上的函数，根据下列条件，可以断定是增函数的是

A．对任意，都有
B．对任意，都有
C．对任意，且，都有
D．对任意，且，都有
【答案】D
【分析】根据题意，结合函数单调性的定义，依次分析选项，若要证明命题不成立需举出反例，综合即可得答案．
【详解】对于，定义分段函数，当时，，当时，；此时，对任意，都有，但函数在上不是增函数，不符合题意；
对于，对任意，都有，不满足函数单调性定义中的任意性，不符合题意；
对于，当为常数函数时，对任意，都有，不是增函数，不符合题意；
对于，对任意，设，若，必有，则函数在上为增函数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查函数单调性的定义以及判断，关键是掌握函数单调性的定义及用不等式符号语言表述单调性的定义．
15．已知函数，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将问题转化为和函数的图像有两个交点来解决.为了便于讨论，两个函数都加上后，再画出相应的图像.通过图像求得的取值范围.
【详解】令，
转化为与有两个交点时，求实数的取值范围，
如下图，时，与相切于点，
当或时，与有两个交点，故选B.
【点睛】本小题主要考查函数零点问题的转化方法，考查化归与转化的数学思想方法和数形结合的数学思想方法.解法中有三次转化，一次是的零点问题，即，转化为，即两个函数图像的交点；二次是为了便于作图，两个函数都加上，转化新的两个函数；三次是将函数的代数问题，转化为图形的交点来解决.
16．定义域为且同时满足以下两个条件：（1）对任意的，恒有；（2）若，，则有成立，这样的函数，我们称为“函数”，下列判断：
①若为“函数”，则；
②若为“函数”，则在上为严格增函数；
③函数在上是“函数”；
④函数在上是“函数”.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据“函数”的定义，对四个判断逐个分析可得答案.
【详解】对于①，若为“函数”，由（1）可知，由（2）可知，，即，故，故①正确；
对于②，当恒成立时，满足（1）（2），但是在上不是严格增函数，故②不正确；
对于③，令，，则，，此时，即不满足（2），所以函数在上不是“函数”，故③不正确；
对于④，当时，为增函数，所以，所以满足（1），
当时，，所以满足（2），故函数在上是“函数”，故④正确.
综上所述：①④正确，②③不正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：对函数新定义的正确理解和运用是解题关键.
三、解答题
17．（1）已知正数满足，，求的值；
（2）已知、、均为正数，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，得到，再由求解；
（2）设，得到，，求解.
【详解】（1）因为，所以.
所以；
（2）因为a、b、c均为正数，设，则，
所以，，，，
所以，，，
所以；
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数定义直接可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性转化不等式，再考虑到定义域即可求出a的范围．
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，
且当时，，
设，则，
，
又，满足，
则；
（2）当时，
，其在上单调递增，
则由奇函数的性质知函数在上单调递增，
又因为，
所以，
则，解得，
即a的取值范围是.
19．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，若炮弹可以击中它，求的取值范围.
【答案】(1)最大射程为10千米
(2)
【分析】（1）求炮的最大射程，即求时与轴的横坐标，再借助基本不等式求解即可;
（2）炮弹可以击中目标等价于存在，使得成立，借助一元二次方程根的判别式求解即可.
【详解】（1）令，则或，
∵，，∴，当且仅当时，等号成立，
因此时，最大射程为千米.
（2）炮弹可以击中目标等价于存在，使得成立，
即关于x的方程有正根，
即,解得，此时方程恰有两个正根，符合题意，
因此.
四、证明题
20．已知函数（，常数）.
(1)求函数的零点；
(2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)若函数在上单调递减，求实数的取值范围，证明函数在上有且仅有1个零点.
【答案】(1)时，无零点；时，的零点为
(2)时，是偶函数；时，是非奇非偶函数；理由见解析
(3)；证明见解析
【分析】（1）分类讨论与，直接用方程法即可得解；
（2）利用函数奇偶性的定义进行判断即可；
（3）利用函数单调性的定义，结合零点存在定理即可得解.
【详解】（1）因为（，常数）
当时，由得，则无零点；
当时，由得，则的零点为；
（2）因为的定义域为，
当时，对任意，有，因此是偶函数
当时，且，因此是非奇非偶函数；
（3）因为在上单调递减，
则在上任取，有恒成立，
即恒成立，而，所以，
当时，，取，
则，
又，，，，
所以，即，
所以在上严格递减，则在上至多1个零点，
又，即
所以由零点存在定理在区间上有且仅有1个零点.
【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是利用函数单调性的定义判断得的单调性，从而利用零点存在定理即可得解.
五、解答题
21．对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数．
(1)判断是否是函数在区间上的弱渐近函数，并说明理由．
(2)若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；
(3)是否存在函数，使得是函数在区间上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）首先代入与并化简整理成，然后判断函数的单调性，最后利用函数单调性即可得，进而得证结论；
（2）首先代入与，根据题意可得在区间上恒成立，解绝对值不等式得在区间上恒成立，根据解恒成立问题可得参数的取值范围；
（3）利用反证法，然后求出满足恒成立条件的参数的范围，通过是无解的导出矛盾，进而验证结论.
【详解】（1）
因为为恒正函数且在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故当时取得最大值，最大值为
故，得证．
（2）因为函数是函数在区间上的弱渐近函数，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
整理得：在区间上恒成立，
因为在上的最小值为，
得．
（3）不存在.
假设存在，则有
即，对任意成立，
等价于，对任意成立．
等价于，对任意成立
令，令，得，
当时，取得最大值，最大值为；
令，令，得，
易知
可得，不存在．
所以，假设不成立，不存在函数是函数在区间上的弱渐近函数．