2022-2023学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，则a＝（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
2．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，则两圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
3．（5分）假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝（ ）
A．0.12B．0.58C．0.7D．0.88
4．（5分）已知双曲线，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，抛物线E的准线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若△ABF为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知数列{an}为等比数列，且a3是a2与a4﹣4的等差中项，若a1＝2，则该数列的前5项和为（ ）
A．2B．10C．31D．62
6．（5分）已知平面α的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则直线l与平面α所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点M，若点M的纵坐标为4，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．y2＝4xB．y2＝8xC．y2＝12xD．y2＝16x
8．（5分）已知数列{an}为等差数列且a1＞0，数列的前n项和为，则an＝（ ）
A．n+1B．n+2C．2n﹣1D．2n+1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．直线x+y+2＝0在y轴上的截距是﹣2
B．直线的倾斜角是60°
C．直线mx﹣y+m+2＝0（m∈R）恒过定点（﹣1，2）
D．过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
（多选）10．（5分）抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，每个骰子四个面的点数分别为1，2，3，4，分别观察底面上的数字，记事件A＝“第一枚骰子底面数字为奇数”，事件B＝“第二枚骰子底面数字为奇数”，事件C＝“两枚骰子底面数字之和为偶数”，事件D＝“两枚骰子底面数字之和为奇数”，下列判断中正确的是（ ）
A．事件A与事件C互斥
B．事件C与事件D互为对立事件
C．事件A与事件B相互独立
D．P（A）＝P（D）
（多选）11．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2an+1＝18，数列{an}的前n项积为Tn，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列{an}是递增数列B．a1＝9
C．Tn的最大值为T4D．Tn的最大值为T5
（多选）12．（5分）已知F为双曲线的右焦点，直线y＝kx（k＞0）与该双曲线相交于A，B两点（其中A在第一象限），连接AF，BF，下列说法中正确的是（ ）
A．k的取值范围是（0，2）
B．若|AF|＝2，则|BF|＝4
C．若AF⊥BF，则点A的纵坐标为
D．若双曲线的右支上存在点C，满足A，F，C三点共线，则|AF|的取值范围是（2，+∞）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，S7＝﹣7，则a6＝ ．
14．（5分）如图所示，在空间四边形OABC中，，点M在OA上，且为BC中点，若．则x+y+z＝ ．
15．（5分）如图所示、点A，B1，B2为椭圆的顶点，F为C的右焦点，若AB1⊥B2F，则椭圆C的离心率为 ．
16．（5分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（2，0），且与x轴，y轴分别相交于B（x，0），C（0，y）两个动点，则点M（x，y）的轨迹方程为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在空间直角坐标系中，已知向量，其中分别是平面α与平面β的法向量．
（1）若a∥β，求x，y的值；
（2）若α⊥β且，求x，y的值．
18．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与直线x﹣2y+5＝0相切于点（3，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求直线l：3x﹣4y﹣6＝0被圆C截得的弦AB的长．
19．（12分）某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛．
（1）求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；
（2）若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为，女生乙答对每道题的概率均为，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率．
20．（12分）已知数列{an}满足：a1＝1，且nan+1＝（n+1）an+1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an•2n}的前n项和Sn．
21．（12分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1＝2，∠ABC＝120°，点E满足，λ∈（0，1）．
（1）当λ时，求A1C与B1E所成角的余弦值；
（2）是否存在实数λ使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为30°．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0），点A（0，1）为椭圆C的上顶点，设直线l过点E（﹣1，0）且与椭圆C交于P，Q两点，点P，Q不与C的顶点重合，当PQ⊥x轴时，|PQ|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AP、AQ与直线x＝3的交点分别为M、N，求|MN|的取值范围．
2022-2023学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，则a＝（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【解答】解：∵直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，
∴1×a+2×2＝0，即a＝﹣4．
此时两直线不重合．
故选：D．
2．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，则两圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
【解答】解：⊙O1：x2+y2﹣4y＝0的圆心为O1（0，2），半径r＝2，
⊙O2：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，圆心为O2（1，1），半径R＝1，
两圆的圆心距|O1O2|，2﹣12+1＝3，
故两圆相交，
故选：B．
3．（5分）假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝（ ）
A．0.12B．0.58C．0.7D．0.88
【解答】解：P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，
则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.12，
故P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.3+0.4﹣0.12＝0.58．
故选：B．
4．（5分）已知双曲线，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，抛物线E的准线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若△ABF为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知，抛物线E：y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
∵△ABF为正三角形，
∴A（﹣1，），
设双曲线C的一条渐近线方程为yx，
∴（﹣1），
∴，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x．
故选：C．
5．（5分）已知数列{an}为等比数列，且a3是a2与a4﹣4的等差中项，若a1＝2，则该数列的前5项和为（ ）
A．2B．10C．31D．62
【解答】解：设等比数列的公比为q，由a3是a2与a4﹣4的等差中项得a2+a4﹣4＝2a3，解得q＝2，
于是，数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
则．
故选：D．
6．（5分）已知平面α的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则直线l与平面α所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由已知，设直线l与平面α所成角为θ，
则sinθ＝|cs，|，
故选：A．
7．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点M，若点M的纵坐标为4，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．y2＝4xB．y2＝8xC．y2＝12xD．y2＝16x
【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点为F（，0），准线为x，
设直线的方程为y＝2（x），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理得4x2﹣6px+p2＝0，
所以x1+x2，x1x2，
以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点M，
设线段AB的中点为E，则有AE＝EM＝BE，
因为点M的纵坐标为4，所以点E的纵坐标为4，
所以y1+y2＝8，
又y1+y2＝2（x1）+2（x2）＝2（x1+x2）﹣2p＝p，
∴p＝8，
∴y2＝16x，
故选：D．
8．（5分）已知数列{an}为等差数列且a1＞0，数列的前n项和为，则an＝（ ）
A．n+1B．n+2C．2n﹣1D．2n+1
【解答】解：数列的前n项和为，
则，即，
设公差为d，
则，解方程得a1＝1（负值舍去），d＝2，
故an＝2n﹣1．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．直线x+y+2＝0在y轴上的截距是﹣2
B．直线的倾斜角是60°
C．直线mx﹣y+m+2＝0（m∈R）恒过定点（﹣1，2）
D．过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，直线x+y+2＝0，令x＝0可得y＝﹣2，即直线与y轴的交点坐标为（0，﹣2），则直线x+y+2＝0在y轴上的截距是﹣2，A正确；
对于B，直线，即yx，直线的斜率k，则该直线的倾斜角为150°，B错误；
对于C，直线mx﹣y+m+2＝0（m∈R）即y﹣2＝m（x+1），恒过定点（﹣1，2），C正确；
对于D，过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0和y＝2x，D错误；
故选：AC．
（多选）10．（5分）抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，每个骰子四个面的点数分别为1，2，3，4，分别观察底面上的数字，记事件A＝“第一枚骰子底面数字为奇数”，事件B＝“第二枚骰子底面数字为奇数”，事件C＝“两枚骰子底面数字之和为偶数”，事件D＝“两枚骰子底面数字之和为奇数”，下列判断中正确的是（ ）
A．事件A与事件C互斥
B．事件C与事件D互为对立事件
C．事件A与事件B相互独立
D．P（A）＝P（D）
【解答】解：抛掷两枚骰子，用表格表示试验的所有可能结果如下：
事件A＝“第一枚骰子底面数字为奇数”，则A有8个样本点，且P（A），
事件B＝“第二枚骰子底面数字为奇数”，则B有8个样本点，且P（B），
事件C＝“两枚骰子底面数字之和为偶数”，则C有8个样本点，且P（C），
事件D＝“两枚骰子底面数字之和为奇数”，则D有8个样本点，且P（D）；
所以事件A与事件C不是互斥事件，有共同事件（1，1），（1，3），（3，1）和（3，3），选项A错误；
事件C与事件D是互为对立事件，选项B正确；
因为AB＝{（1，1），（1，3），（3，1），（3，3）}共四个样本点，所以P（AB），P（A）P（B），
所以P（AB）＝P（A）P（B），事件A与事件B相互独立，选项C正确；
P（A）＝P（D），选项D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2an+1＝18，数列{an}的前n项积为Tn，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列{an}是递增数列B．a1＝9
C．Tn的最大值为T4D．Tn的最大值为T5
【解答】解：等比数列{an}中，Sn+2an+1＝18，所以Sn+1+2an+2＝18，
所以an+1+2an+2﹣2an+1＝0，所以q，
所以a1+2a2＝a1（1+2q）＝2a1＝18，解得a1＝9，选项B正确；
an＝9，数列{an}是单调递减数列，选项A错误，
前n项积为Tn＝9×99...×99n，
所以an+1＝9，即n≤3时，an+1≥1，Tn+1≥Tn；
n＞3时，an+1＜1，Tn+1＜Tn，所以Tn的最大值是T4，选项C正确，选项D错误．
故选：BC．
（多选）12．（5分）已知F为双曲线的右焦点，直线y＝kx（k＞0）与该双曲线相交于A，B两点（其中A在第一象限），连接AF，BF，下列说法中正确的是（ ）
A．k的取值范围是（0，2）
B．若|AF|＝2，则|BF|＝4
C．若AF⊥BF，则点A的纵坐标为
D．若双曲线的右支上存在点C，满足A，F，C三点共线，则|AF|的取值范围是（2，+∞）
【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，直线y＝kx（k＞0）与该双曲线相交于A，B两点（其中A在第一象限），则A在渐近线的下方，所以k＜2，所以k的取值范围是（0，2），所以A正确；
双曲线的左焦点为F1，连接BF1，AF1，四边形AFBF1是平行四边形，
∵|AF1|﹣|AF|＝2a＝2，∴|BF|＝|AF1|＝2+|AF|＝4，所以B正确；
当AF⊥BF时，可知A1F⊥AF，且|AF1|﹣|AF|＝2，
∴在Rt△AF1F中，4×（1+4）＝20，解得|AF1|＝4，|AF|＝2，
∴，可得yA，所以C不正确；
当AF平行渐近线y＝2x时，直线AF：y＝﹣2（x），
联立双曲线，可得A（，），|AF|＝2，
为满足条件，A应在A′右边，∴|AF|＞2，|AF|的取值范围是（2，+∞），所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，S7＝﹣7，则a6＝ ﹣6 ．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S7＝﹣7，
∴，
解得a1，d，
∴a6＝a1+5d6．
故答案为：﹣6．
14．（5分）如图所示，在空间四边形OABC中，，点M在OA上，且为BC中点，若．则x+y+z＝ ．
【解答】解：在四面体OABC中，，
点M在OA上，且OM＝3MA，N为BC的中点，
可得，（）（），
则（），
又xyz，
可得x，y＝z，
则x+y+z．
故答案为：．
15．（5分）如图所示、点A，B1，B2为椭圆的顶点，F为C的右焦点，若AB1⊥B2F，则椭圆C的离心率为 ．
【解答】解：根据题意易得B1（0，b），A（a，0），F（c，0），B2（0，﹣b），
又AB1⊥B2F，
∴1，
∴，
∴b2＝ac，
∴a2﹣c2＝ac，
∴e2+e﹣1＝0，又e∈（0，1），
∴e，
故答案为：．
16．（5分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（2，0），且与x轴，y轴分别相交于B（x，0），C（0，y）两个动点，则点M（x，y）的轨迹方程为 y2＝﹣2x ．
【解答】解：因为动圆圆心在x轴上移动，且该动圆始终经过点A（2，0）和B（x，0），
所以AB为该动圆的直径，
又因为点C（0，y）在该动圆上，所以•0，即2x+y2＝0，
所以点M（x，y）的轨迹方程为y2＝﹣2x．
故答案为：y2＝﹣2x．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在空间直角坐标系中，已知向量，其中分别是平面α与平面β的法向量．
（1）若a∥β，求x，y的值；
（2）若α⊥β且，求x，y的值．
【解答】解：（1）∵∥，
∴，解得x＝4，y；
（2）∵||＝3，
∴3，解得x＝±2，
又∵⊥，
∴2x﹣y+2＝0，
故x，y的值为x＝2，y＝6；x＝﹣2，y＝﹣2．
18．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与直线x﹣2y+5＝0相切于点（3，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求直线l：3x﹣4y﹣6＝0被圆C截得的弦AB的长．
【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2＝r2（其中a＞0，r＞0），
则其圆心C（2a，a）到直线x﹣2y+5＝0的距离：，
解得a＝2，r．
所以圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝5；
（2）圆的圆心到直线3x﹣4y﹣6＝0的距离为：．
直线l：3x﹣4y﹣6＝0被圆C截得的弦AB的长为：2．
19．（12分）某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛．
（1）求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；
（2）若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为，女生乙答对每道题的概率均为，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率．
【解答】解：（1）记3名男生为1，2，3，两名女生为a、b，从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学，
基本事件为12，13，1a，1b，23，2a，2b，3a，3b，ab共10种不同取法；
恰好抽到1名男生和1名女生的基本事件为1a，1b，2a，2b，3a，3b共6种，
故所求的概率值为P；
（2）甲答对2道题的概率为，乙只答对1道题的概率值为（1），
所以甲答对2道题且乙只答对1道题的概率为．
20．（12分）已知数列{an}满足：a1＝1，且nan+1＝（n+1）an+1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an•2n}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）数列{an}满足：a1＝1，且nan+1＝（n+1）an+1，n∈N*，
则（n﹣1）an＝nan﹣1+1，n＝2，3，•••，n，
两式相减可得，nan+1﹣（n﹣1）an＝（n+1）an﹣nan﹣1，即nan+1+nan﹣1＝（n+1）an+（n﹣1）an＝2nan，
则an+1+an﹣1＝2an，
所以{an}为等差数列，
因为a1＝1，
所以a2＝2a1+1＝3，
故数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1；
（2）∵，
∴（2n﹣1）•2n，
2Sn＝1•22+3•22+5•24+•••+（2n﹣1）•2n+1，
两式作差可得，（2n﹣1）•2n+1，
故．
21．（12分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1＝2，∠ABC＝120°，点E满足，λ∈（0，1）．
（1）当λ时，求A1C与B1E所成角的余弦值；
（2）是否存在实数λ使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为30°．
【解答】解：（1）以过点B且垂直于BC的直线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为AB＝BC＝BB1＝2，∠ABC＝120°，所以A1（，﹣1，2），C（0，2，0），B1（0，0，2），
λ时，E为AC的中点，所以E（，，0），
（，3，﹣2），（，，﹣2），
cs，，
所以A1C与B1E所成角的余弦值为；
（2）设存在实数λ使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为30°，因为平面BB1C1C的一个法向量为（1，0，0），设平面B1C1E的一个法向量为（x，y，z），因为（0，2，0），λ（λ，3λ，0），
所以（0，0，﹣2）+（，﹣1，0）+（λ，3λ，0）＝（λ，﹣1+3λ，﹣2），
所以，则（1，0，），
令cs，，解得λ，
即存在实数λ时，使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为30°．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0），点A（0，1）为椭圆C的上顶点，设直线l过点E（﹣1，0）且与椭圆C交于P，Q两点，点P，Q不与C的顶点重合，当PQ⊥x轴时，|PQ|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AP、AQ与直线x＝3的交点分别为M、N，求|MN|的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，b＝1，
当PQ⊥x轴时，点P，Q关于x轴对称，
不妨设点P在x轴上方，
又因为此时|PQ|，
点E（﹣1，0）在线段PQ上，
所以点P的坐标为（﹣1，），
所以1，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为y2＝1．
（2）当直线l不存在斜率时，则直线l的方程为x＝﹣1，
不妨设点P在x轴上方，Q在x轴下方，
则P（﹣1，），Q（﹣1，），
所以直线AP的方程为y＝（1）x+1，
当x＝3时，解得点M的纵坐标为yM＝4，
同理，解得点N的纵坐标为yM＝4，
所以|MN|＝|yM﹣yN|＝3，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），
点P，Q与椭圆C的顶点不重合，则k≠0且k≠±1，
由，得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2，x1x2，
|x1﹣x2|，
又直线AP的方程为yx+1，
当x＝3时，解得点M的纵坐标为yM，
同理，解得点N的纵坐标为yN1，
所以|MN|＝|yM﹣yN|＝||
＝||

33
＝3，
令t，则t且t≠1，
所以|MN|＝33且|MN|≠3，
综上所述，|MN|的取值范围为[，3）∪（3，+∞）．1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）