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特训05 期中解答压轴题（浙江精选）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）
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这是一份特训05 期中解答压轴题（浙江精选）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版），文件包含特训05期中解答压轴题浙江精选原卷版docx、特训05期中解答压轴题浙江精选解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ．
【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3） 或 或
【分析】（1）如图1，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）如图2，同理可得：；
（3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：；如图4，作辅助线，同理证明和，可得新结论；
【解析】解：（1）如图1，延长到G，使，连接．
在与中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由如下：如图2，延长到G，使，连接．
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
（3）图2中，成立，
图3中，，理由如下：
在上截取，使，连接．
∵，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
图4中，，理由如下：
在上截取，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∴；
综上所述，线段 之间的数量关系为： 或 或，
故答案为： 或 或．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
2．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，等腰中，，点在边上，连接并延长到，连接，．
(1)如图①，若，，在上取点，连接，使，试证明：
(2)如图②，若，，探究，，的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若，，探究，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）如图中，证明，可得结论；
（2）结论：如图中，作交于只要证明即可解决问题；
（3）结论：如图中，在上取一点，使得只要证明即可解决问题．
【解析】（1）如图中，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）．
理由如下：
如图中，作交于．
，，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
．
（3）．
理由如下：
如图中，在上取一点，使得．
，
，
，
作于，且，
∴
∴，
∴，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于全等三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，图形语言说明：如图1所示，在中，，由是中线，可得．
请结合上述结论解决如下问题：
已知：P是边上的一动点(不与A，B集合)，分别过点A、点B向直线作垂线，垂是分别为点E点F，Q为边的中点．
(1)如图2所示，当点P与点Q重合时，与的位置关系是____________，与的数量关系是____________．
(2)如图3所示，当点P在线段上不与点Q重合时，试判断与的数量关系，并给与证明．
(3)如图4所示，当点P在线段的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析
(3)成立，证明见解析
【分析】（1）根据得到，得到、，根据内错角相等两直线平行，得到；
（2）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；
（3）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可
【解析】（1）如图1，
当点与点重合时，与的位置关系是，与的数量关系是，
理由：
为的中点，
，
，，
，，
在和中
，
，
，
故答案为：；；
（2）
证明：延长交于，
,
（3）当点在线段延长线上时，此时（）中结论成立
证明：延长交的延长于
∵，
∴
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：，平行线的性质，根据点位置不同，画出正确的图形，找到的条件是解决本题的关键．
4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（问题情境）（1）如图1，在四边形中，，，．点E，F分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法 ；（填“正确”或“错误”）．
（探索延伸）（2）如图2，在四边形中，，，，，点E，F分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．
（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由．
【答案】（1）正确；（2）成立，理由见解析；（3）正确，理由见解析．
【分析】（1）延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出，即可解题；
（2）证明方法同（1）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题；
（3）证明方法同（2）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题．
【解析】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：正确；
（2）解：上题中的结论依然成立；
如图2，延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：正确，
如图3，延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确做辅助线构造全等三角形是解题关键．
5．（2022秋·浙江·八年级专题练习）【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；
【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．
【答案】（1）100米；（2）1＜AD＜4；（3）见详解
【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE；
（2）延长到点E使，再连接，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三边关系可得1＜AD＜4；
（3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题．
【解析】（1）解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB=100米；
故答案为：100米
（2）延长到点E使，再连接
如图所示
∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（3）证明：在BC上截取BG＝AF，
∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°
∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°
∴∠CBA＝∠DAF，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF，（SAS）
∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，
∴∠EFA＝∠CGA，
∵在△ACG和△EAF中，
，
∴△ACG≌△EAF（AAS）
∴EE＝AG＝FD．
∴
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1，，，，，连接、，交于点．
(1)写出和的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接，若、分别平分和，求的度数；
(3)如图3，连接、，设的面积为，的面积为，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）设交于点，根据已知条件证明，可得，，进而根据三角形内角和可得，即可求解；
（2）根据（1）的结论结合已知条件证明，可得，进而根据即可求解；
（3）过点，分别作的垂线，交的延长线于点，，可得，进而根据三角形面积公式求得，根据等底等高可得．
【解析】（1），理由如下，
如图，设交于点，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
又，
，
，
（2）、分别平分和，
，，
，
,
，
在与中，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点，分别作的垂线，交的延长线于点，
，
，
，
又，
，
，
的面积为，的面积为，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
7．（2022秋·浙江台州·八年级校考期中）如图，在中，，P为射线上一动点（点P不与点B重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，
(1)如图1，当点P在线段上时，求点Q到直线的距离；
(2)如图2，当点P运动到的延长线上时，连接，交直线于点M，求证：；
(3)点P在运动过程中，连接，交直线于点M，若，则的长为_____．
【答案】(1)点Q到直线的距离为2；
(2)见解析；
(3)12
【分析】（1）作，证明，得到，即可求解；
（2）作，交延长线于点，先证明，再证明，即可求解；
（3）分两种情况，利用全等三角形的性质，列方程求解即可．
【解析】（1）解：作，如下图：
由题意可得：，
∴
∴
∴
∴
即点Q到直线的距离为2；
（2）作，交延长线于点，如下图，
由题意可得：，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴；
（3）当点P在线段上时，作，如下图：
由（1）可得
，
∵
∴，即
∵，
∴
又∵，
∴
∴
设，则，，
∴，
由可得，，解得
，不符合题意；
当点P运动到的延长线上时，作，交延长线于点，如下图，
由（2）可得：
，
∵
∴，即
设，则，，，
∴
∴
由（2）可得，即，
解得，
则．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造出全等三角形．
8．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知：在中，点E在直线上，点B、D、E在同一条直线上，且．
(1)如图1，若平分，求证：．
(2)如图2，若平分的外角，交的延长线于点E，问：和的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明，若不改变，请说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)结论改变了，，理由见解析
(3)
【分析】（1）由“”可证，可得，由平角的性质可求解；
（2）由“”可证，可得；
（3）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质，可求，可求，即可求解．
【解析】（1）∵ 平分 ，
（2）结论改变了，，
理由如下：
∵平分，
又
（3）如图 3，连接 ，
∵，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9．（2023秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
(1) °， ；
(2)若是等腰三角形，求的度数；
(3)若点M在线段上，连接、，则的值最小时 ．
【答案】(1)4，45
(2)或或
(3)2
【分析】（1）根据题意可得，则，即可求得AE的长，再根据平分，即可求得的度数；
（2）根据题意可得，分三种情况：，，，再结合三角形内角和定理即可求解；
（3）过点M作，点P关于CD的对称点，根据题意可得，，根据，可得，则，，因此，以此得点E，M，三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．
【解析】（1），，
，
，
点是边的中点，
，
平分，
，
故答案为：4；45．
（2）∵平分，，
∴．
当时，，
∴；
当时，；
当时，．
综上所述，的度数为或或；
（3）如图，点M在上，且，作点P关于的对称点，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
当点E，M，三点共线时，的值最小，
又根据垂线段最短，
当时，有最小值，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，找到最短路径是解题关键．
10．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期中）已知：如图1，线段，点从点出发沿射线方向运动，以为底作等腰三角形．
(1)中，若．
①如图2，当时，求证：；
②当时，在线段上是否存在点，使得与全等，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由：
(2)如图3，过点作，交的延长线于点，作点关于的对称点，当三点共线，且时，求的长．
【答案】(1)①见解析②的长为或8
(2)的长为
【分析】（1）①根据等腰三角形“三线合一”的性质证明即可；②分两种情况讨论：当时，可设，则，结合，求出，可得；当时，点与重合，结合等腰三角形的性质，即可获得答案；
（2）连接，过作于点，设，在中，由勾股定理得，因为点与关于对称，三点共线，易得，由勾股定理可得，结合，，可得，解得的值，即可获得答案．
【解析】（1）①证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
②如图4，当时，
可有，
∵，
可设，则，
又∵，
∴，解得 ，
∴；
如图2，当时，此时与重合，
∴，
又∵，
∴，即，
∵，
∴．
综上所述，的长为或8；
（2）如图3，连接，过作于点，
∵，，
∴，
∴，
设，在中，由勾股定理得，
∵点与关于对称，三点共线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
解得或（舍去），
∴，即的长为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质、轴对称的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
11．（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在中，，的一个动点，作点关于的对称点，，交直线于点．
(1)若，，是边上的高线．
①求线段的长；
②当，求线段的长；
(2)在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】(1)①；②；
(2)或
【分析】（1）①根据题意，作出高线，利用等面积法列等式求解即可得到答案；②根据对称性，结合①中，得到即可得到；
（2）根据是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；结合条件求解即可得到答案．
【解析】（1）解：①如图，过点作，
在中，，，
，
是边上的高线，
，
即，
解得：；
②根据题意，如图所示：
点关于对称点为，
，
由①知，
则，
；
（2）如图所示：
由是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；
①当时，
点关于对称点为，
，
在中，，
'是的一个外角，
，
即；
②当时，
点关于对称点为，
，
在中，，
是的一个外角，
，
即；
③当时，
点关于对称点为，
，
是的一个外角，
，
即（舍弃），
综上所述，在的情况下，或．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及勾股定理、等面积法求高、对称性质、等腰三角形性质、三角形内角和、三角形外角性质等知识，熟练掌握三角形相关性质，作出辅助线是解决问题的关键．
12．（2018秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，中，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
(1)出发2秒后，求的周长．
(2)问为何值时，为等腰三角形？
(3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动． 当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)的周长为；
(2)当为或或或时，为等腰三角形；
(3)当t为6秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后的长，然后就知的长，利用勾股定理求得的长，最后即可求得周长；
（2）分点P在边上和点P在边上两种情况求解即可；
（3）分类讨论：当P点在上，Q在上；当P点在上，Q在上，列式计算即可求解．
【解析】（1）解：如图1，由，，，
∴，
动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
∴出发2秒后，则，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为：；
（2）解：①如图2，若在边上时，，
此时用的时间为秒，为等腰三角形；
②2若在边上时，有三种情况：
（ⅰ）如图3，若使，
此时，运动的路程为，
所以用的时间为秒，为等腰三角形；
（ⅱ）如图4，若，作于点，
∵，
∴，
在中，
，
所以，
所以运动的路程为，
则用的时间为秒，为等腰三角形；
（ⅲ）如图5，若，
此时应该为斜边的中点，运动的路程为，
则所用的时间为秒，为等腰三角形；
综上所述，当为或或或时，为等腰三角形；
（3）解：∵的周长为，
∴周长的一半为6，
如图6，当P点在上，Q在上，则，
∵直线把的周长分成相等的两部分，
∴，
∴（舍去）；
如图7，当P点在上，Q在上，则，
∵直线把的周长分成相等的两部分，
∴，
∴，
∴当t为6秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
【点睛】此题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，综合运用以上知识并能分类讨论是解题的关键．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，，，点为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角三角形，使，连接．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求线段的长；
(3)如图，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点与点重合，连接，求线段的长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，故，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，即可求解；
（2）过作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，求得，根据勾股定理即可求得的值；
（3）过作于，过作于，于，根据折叠的性质可推得，，根据三角形内角和定理可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得，根据勾股定理求解即可．
【解析】（1）解：．
理由如下：∵是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
则，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）解：过作于，如图1，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
则，
在中，．
（3）解：过作于，过作于，如图2所示：
由（2）可知，，
∵将沿线段翻折得到，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
，
，
∴，
∴，
故，
在与中，
，
∴，
∴，，
则，
在中，．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）（1）问题发现：如图，与均为等腰直角三角形，，写出线段、的数量关系为和位置关系，请说明理由.
（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，，在同一直线上，为中边上的高，请直接写出线段，，之间的数量关系_________________________．
（3）解决问题：如图，已知中，，，，以为直角边作等腰直角，，，连接，则的长为_________________________．
【答案】（1）结论：，；理由见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）延长交于点，交于点，根据条件证明，，根据对顶角相等可得，可证，即可得到答案；
（2）根据条件可得，即可得到答案；
（3）分两种情况讨论：①在的外部，以A为直角顶点作等腰直角，使，连接，证明，可得，根据勾股定理即可求出；②作交的延长线于E，则是等腰直角三角形，同理可求．
【解析】（1）解：结论：，；
如图中，延长交于点，交于点，
和均为等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
（2）解：∵为等腰直角三角形，为中边上的高，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴；
（3）解：①如图，在的外部，以A为直角顶点作等腰直角，使，连接，
∵时等腰直角三角形，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，作交的延长线于E，则是等腰直角三角形，
同理可得，
∴，
∵，
，
∴
综上所述：的长为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对三角．
【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形中，，，连接、，若，，求的长．
（1）布丁思考后，如图2，以为边向外作等腰直角，并连接，他认为：．你同意他的观点吗？请说明理由．
（2）请你帮布丁求出的长．
【探索二】如图3，在四边形中，，，，，，若，求的长．
【答案】【探索一】（1）见解析；（2）；【探索二】．
【分析】【探索—】（1）根据可证明；
（2）由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案；
【探索二】作，且使，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，过点作于点，则，得出，由勾股定理可得出答案．
【解析】解∶探索—（1）同意．
理由∶∵以为边向外作等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2） ∵，
∴，
∵以为边向外作等腰直角三角形，，，
∴，,
∵，
∴，
∴，
∴；
探索二 作，且使，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16．（2023·浙江·八年级假期作业）直线l经过点A，在直线l上方，．
(1)如图1，，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．若，，则______；
(2)如图2，D，A，E三点在直线l上，若（为任意锐角或钝角），猜想线段、、的数量关系是否仍然成立？若成立，写出证明过程；
(3)如图3，，过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是延长线上的一个动点，连接，作，使得，连接，，直线l与交于点G．求证：G是的中点．
【答案】(1)5
(2)，证明过程详见解析
(3)证明过程详见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质证出，可证明，即可得出线段之间的关系，从而得出答案；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
（3）分别过点C、E作，，由（1）可知，，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和
，
∴（AAS）
∴，,
∴；
（2）猜想：，
证明如下：∵，
∴，
，
∴，
在与中，
，
∴（AAS），
∴，，
∴；
（3）证明：分别过点C、E作，，如图所示
由（1）可知，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∴G是的中点．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
17．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系．
(1)如图，当点在边、上，且时，试说明．
(2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？
答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”．
(3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)一定成立
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，进而得到，证明，得到，根据含的直角三角形的性质证明结论；
（2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案；
（3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案．
【解析】（1）证明：为等边三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
在中，，
，
同理可得，，
；
（2）解：一定成立，
理由如下：如图，延长至，使，连接，
，
由（1）可知：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：一定成立；
（3）解：如图，在上截取，连接，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（2023秋·浙江·八年级专题练习）定义：如图1，等腰中，点分别在腰上，连接，若，则称为腰上线段和的“友谊线”．
(1)如图1，是等腰中腰上线段和的“友谊线”，若，，，求的长；
(2)已知是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，，点在边上，且，．
①如图2，当为等边三角形中腰上线段和的“友谊线”时，作，垂足为，求的值．
②如图3，当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)①②当时，或
【分析】（1）根据“友谊线”的定义，可得，进而求得，再在中由勾股定理求解即可；
（2）①根据“友谊线”的定义，易得，，设，则，，结合等边三角形的性质可得，，即可获得答案；②过点作，垂足为，分两种情况讨论，借助全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等分别求解即可；
【解析】（1）解：∵是等腰中腰上线段和的“友谊线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，可有；
（2）①∵是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，
是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
设，则，，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
∴；
②过点作，垂足为，
（i）如图4，满足，
∵是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（ii）如图4，满足，
与（i）同理，可证，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
综上所述，当时，或．
【点睛】本题主要考查了新定义“友谊线”、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，理解新定义“友谊线”并综合运用相关知识是解题关键．
19．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，用a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：由解得又因为x＞1，y＜0所以解得a的取值范围是 ．
因为x+y＝a，所以a的取值范围就是x+y的取值范围．
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围．
【答案】（1）0＜a＜2；（2）①2＜x+y＜6；②3-m＜a+b＜4-m．
【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；
②解方程组得：，根据x＜0，y＞0可得1.5＜a＜2，进一步得到a+b的取值范围．
【解析】解：（1），
∵解不等式①得：a＞0，
解不等式②得：a＜2，
∴不等式组的解集为0＜a＜2，
故答案为：0＜a＜2；
（2）①设x+y=a，则，
解得：，
∵x＞3，y＜1，
∴，
解得：2＜a＜6，
即2＜x+y＜6；
②解方程组得：，
∵x＜0，y＞0，
∴，
解得：1.5＜a＜2，
∵a-b=m，a+b=2a-(a-b)
3-m＜a+b＜4-m．
故答案为：3-m＜a+b＜4-m．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
20．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知木棒a长度为35厘米、木棒b长度为70厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒c与木棒a、b首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c长度的取值范围；
（2）有一木棒长度为130厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e的长度之和恰好为130厘米），若在a、d、e中任选2根木棒，它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d长度的取值范围；
（3）若木棒d的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘米？
【答案】（1）木棒c长度的取值范围是35cm＜c＜105cm；（2）35cm＜d＜95cm；（3）最小的周长是141cm，最大的周长是209cm．
【分析】（1）根据三角形的三边长关系，即可得到答案；
（2）分3种情况：①如果a、d、b能组成三角形，②如果a、e、b能组成三角形，③如果d、e、b能组成三角形，分别求出d的取值范围，进而即可得到答案；
（3）分3种情况：①如果a、d、b能组成三角形，②如果a、e、b能组成三角形，③如果d、e、b能组成三角形，分别求出组成的三角形里最小的周长以及最大的周长，进而即可得到答案．
【解析】（1）根据三角形的三边关系，得70﹣35＜c＜70+35，即35＜c＜105．
∴木棒c长度的取值范围是：35cm＜c＜105cm；
（2）a＝35cm，b＝70cm，d+e＝130cm．
①如果a、d、b能组成三角形，那么35cm＜d＜105cm；
②如果a、e、b能组成三角形，那么35cm＜e＜105cm，
∵d+e＝130cm，
∴25cm＜d＜95cm；
③如果d、e、b能组成三角形，那么|e﹣b|＜d＜e+b，即|130﹣d﹣70|＜d＜130﹣d+70，
解得：30cm＜d＜100cm，
综上所述，35cm＜d＜95cm；
（3）若木棒d的长为偶数，
①如果a、d、b能组成三角形，那么d最小值为36cm，最大值为104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
②如果a、e、b能组成三角形，则d最小值为26cm，最大值为94cm，那么e最小值为36cm，最大值为104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
③如果d、e、b能组成三角形，那么周长是：130+70＝200（cm）．
综上所述，最小的周长是141cm，最大的周长是209cm．
【点睛】本题主要考查三角形的三边长关系以及不等式组的实际应用，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式组，是解题的关键．
21．（2022秋·浙江·八年级专题练习）【阅读思考】阅读下列材料：
已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2
又∵x＞1
∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0 ①
同理1＜x ＜2 ②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y 的取值范围是0＜x+y ＜2
【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x ﹣y ＝3，且x ＞ 2，y ＜1，则x+y的取值范围是 ；
【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，试确定x﹣y的取值范围．
【答案】（1）1＜x+y＜5；（2）0＜x﹣y＜10．
【分析】（1）模仿材料的计算方法，即可求出答案；
（2）根据已知算式求出y、x的范围，再求出答案即可．
【解析】解：（1）∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，
∴-1＜y＜1①
同理可得：2＜x＜4②
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是：1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）∵x+y＝2，
∴x＝2﹣y，
又∵x＞1，
∴2﹣y＞1，
∴y＜1，
又 ∵y＞﹣4，
∴﹣4＜y＜1，
∴﹣1＜﹣y＜4①，
同理得：1＜x＜6②，
由①+②得：0＜x﹣y＜10，
∴xy的取值范围是：0＜x﹣y＜10．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、列代数式等知识点，能分别求出x、y的范围是解此题的关键，注意：求解过程类似．
22．（2019·浙江杭州·八年级统考期中）我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年风力日平均风速不小于的时间共约160天，其中日平均风速不小于时间约占60，为了充分利用风能这种绿色资源，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用A、B两种型号的风力发电机。根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：
根据上面的数据回答：
（1）若这个发电厂购买x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为_______；
（2）已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元，该发电厂拟购买风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电机厂每年的发电量不少于，请你提供符合条件的购机方案。
【答案】(1) 12600x;(2) 可购5台A型风力发电机，5台B型风力发电机；或可购6台A型风力发电机，4台B型风力发电机．
【分析】（1）根据日平均风速在3m/s到6m/s之间的天数×36+日平均风速不小于的天数×150=一台A型风力发电机一年的至少发电量，然后再乘以x即为所求.
（2）先求出一台B型发电机年至少发电量，然后设购买x台A型风力发电机，则B型风力发电机为（10-x）台，根据“费用不超过2.6万元”和“每年的发电量不少于102000kw•h”列不等式组，取整数解．
【解析】解：（1）根据题意，日平均风速在3m/s到6m/s之间的时间为100天，日平均风速不小于时间约为60天，故A型风力发电机每年发电量至少为100×36+150×60=12600kw•h，
所以x台A型风力发电机每年发电量至少为12600x kw•h，故填：12600x.
（2）B型风力发电机每年发电量至少为100×24+90×60=7800kw•h，
设购x台A型风力发电机，则B型风力发电机为（10-x）台，
所以
解得5≤x≤6
则x=5或6，10-x=5或4
所以可购5台A型风力发电机，5台B型风力发电机；或可购6台A型风力发电机，4台B型风力发电机．
【点睛】本题考查不等式组的应用，能找准关键描述语，列出不等式（组）是解决此题的关键.另外一年风力日平均风速不小于的时间共约160天的意思是日平均风速在3m/s到6m/s之间的时间为100天和日平均风速不小于时间约为60天.
日平均风速v（m/s）
日发电量
A型
0
B型
0
1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ．
【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3） 或 或
【分析】（1）如图1，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）如图2，同理可得：；
（3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：；如图4，作辅助线，同理证明和，可得新结论；
【解析】解：（1）如图1，延长到G，使，连接．
在与中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由如下：如图2，延长到G，使，连接．
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
（3）图2中，成立，
图3中，，理由如下：
在上截取，使，连接．
∵，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
图4中，，理由如下：
在上截取，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∴；
综上所述，线段 之间的数量关系为： 或 或，
故答案为： 或 或．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
2．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，等腰中，，点在边上，连接并延长到，连接，．
(1)如图①，若，，在上取点，连接，使，试证明：
(2)如图②，若，，探究，，的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若，，探究，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）如图中，证明，可得结论；
（2）结论：如图中，作交于只要证明即可解决问题；
（3）结论：如图中，在上取一点，使得只要证明即可解决问题．
【解析】（1）如图中，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）．
理由如下：
如图中，作交于．
，，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
．
（3）．
理由如下：
如图中，在上取一点，使得．
，
，
，
作于，且，
∴
∴，
∴，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于全等三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，图形语言说明：如图1所示，在中，，由是中线，可得．
请结合上述结论解决如下问题：
已知：P是边上的一动点(不与A，B集合)，分别过点A、点B向直线作垂线，垂是分别为点E点F，Q为边的中点．
(1)如图2所示，当点P与点Q重合时，与的位置关系是____________，与的数量关系是____________．
(2)如图3所示，当点P在线段上不与点Q重合时，试判断与的数量关系，并给与证明．
(3)如图4所示，当点P在线段的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析
(3)成立，证明见解析
【分析】（1）根据得到，得到、，根据内错角相等两直线平行，得到；
（2）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；
（3）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可
【解析】（1）如图1，
当点与点重合时，与的位置关系是，与的数量关系是，
理由：
为的中点，
，
，，
，，
在和中
，
，
，
故答案为：；；
（2）
证明：延长交于，
,
（3）当点在线段延长线上时，此时（）中结论成立
证明：延长交的延长于
∵，
∴
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：，平行线的性质，根据点位置不同，画出正确的图形，找到的条件是解决本题的关键．
4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（问题情境）（1）如图1，在四边形中，，，．点E，F分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法 ；（填“正确”或“错误”）．
（探索延伸）（2）如图2，在四边形中，，，，，点E，F分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．
（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由．
【答案】（1）正确；（2）成立，理由见解析；（3）正确，理由见解析．
【分析】（1）延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出，即可解题；
（2）证明方法同（1）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题；
（3）证明方法同（2）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题．
【解析】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：正确；
（2）解：上题中的结论依然成立；
如图2，延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：正确，
如图3，延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确做辅助线构造全等三角形是解题关键．
5．（2022秋·浙江·八年级专题练习）【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；
【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．
【答案】（1）100米；（2）1＜AD＜4；（3）见详解
【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE；
（2）延长到点E使，再连接，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三边关系可得1＜AD＜4；
（3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题．
【解析】（1）解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB=100米；
故答案为：100米
（2）延长到点E使，再连接
如图所示
∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（3）证明：在BC上截取BG＝AF，
∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°
∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°
∴∠CBA＝∠DAF，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF，（SAS）
∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，
∴∠EFA＝∠CGA，
∵在△ACG和△EAF中，
，
∴△ACG≌△EAF（AAS）
∴EE＝AG＝FD．
∴
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1，，，，，连接、，交于点．
(1)写出和的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接，若、分别平分和，求的度数；
(3)如图3，连接、，设的面积为，的面积为，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）设交于点，根据已知条件证明，可得，，进而根据三角形内角和可得，即可求解；
（2）根据（1）的结论结合已知条件证明，可得，进而根据即可求解；
（3）过点，分别作的垂线，交的延长线于点，，可得，进而根据三角形面积公式求得，根据等底等高可得．
【解析】（1），理由如下，
如图，设交于点，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
又，
，
，
（2）、分别平分和，
，，
，
,
，
在与中，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点，分别作的垂线，交的延长线于点，
，
，
，
又，
，
，
的面积为，的面积为，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
7．（2022秋·浙江台州·八年级校考期中）如图，在中，，P为射线上一动点（点P不与点B重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，
(1)如图1，当点P在线段上时，求点Q到直线的距离；
(2)如图2，当点P运动到的延长线上时，连接，交直线于点M，求证：；
(3)点P在运动过程中，连接，交直线于点M，若，则的长为_____．
【答案】(1)点Q到直线的距离为2；
(2)见解析；
(3)12
【分析】（1）作，证明，得到，即可求解；
（2）作，交延长线于点，先证明，再证明，即可求解；
（3）分两种情况，利用全等三角形的性质，列方程求解即可．
【解析】（1）解：作，如下图：
由题意可得：，
∴
∴
∴
∴
即点Q到直线的距离为2；
（2）作，交延长线于点，如下图，
由题意可得：，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴；
（3）当点P在线段上时，作，如下图：
由（1）可得
，
∵
∴，即
∵，
∴
又∵，
∴
∴
设，则，，
∴，
由可得，，解得
，不符合题意；
当点P运动到的延长线上时，作，交延长线于点，如下图，
由（2）可得：
，
∵
∴，即
设，则，，，
∴
∴
由（2）可得，即，
解得，
则．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造出全等三角形．
8．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知：在中，点E在直线上，点B、D、E在同一条直线上，且．
(1)如图1，若平分，求证：．
(2)如图2，若平分的外角，交的延长线于点E，问：和的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明，若不改变，请说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)结论改变了，，理由见解析
(3)
【分析】（1）由“”可证，可得，由平角的性质可求解；
（2）由“”可证，可得；
（3）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质，可求，可求，即可求解．
【解析】（1）∵ 平分 ，
（2）结论改变了，，
理由如下：
∵平分，
又
（3）如图 3，连接 ，
∵，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9．（2023秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
(1) °， ；
(2)若是等腰三角形，求的度数；
(3)若点M在线段上，连接、，则的值最小时 ．
【答案】(1)4，45
(2)或或
(3)2
【分析】（1）根据题意可得，则，即可求得AE的长，再根据平分，即可求得的度数；
（2）根据题意可得，分三种情况：，，，再结合三角形内角和定理即可求解；
（3）过点M作，点P关于CD的对称点，根据题意可得，，根据，可得，则，，因此，以此得点E，M，三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．
【解析】（1），，
，
，
点是边的中点，
，
平分，
，
故答案为：4；45．
（2）∵平分，，
∴．
当时，，
∴；
当时，；
当时，．
综上所述，的度数为或或；
（3）如图，点M在上，且，作点P关于的对称点，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
当点E，M，三点共线时，的值最小，
又根据垂线段最短，
当时，有最小值，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，找到最短路径是解题关键．
10．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期中）已知：如图1，线段，点从点出发沿射线方向运动，以为底作等腰三角形．
(1)中，若．
①如图2，当时，求证：；
②当时，在线段上是否存在点，使得与全等，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由：
(2)如图3，过点作，交的延长线于点，作点关于的对称点，当三点共线，且时，求的长．
【答案】(1)①见解析②的长为或8
(2)的长为
【分析】（1）①根据等腰三角形“三线合一”的性质证明即可；②分两种情况讨论：当时，可设，则，结合，求出，可得；当时，点与重合，结合等腰三角形的性质，即可获得答案；
（2）连接，过作于点，设，在中，由勾股定理得，因为点与关于对称，三点共线，易得，由勾股定理可得，结合，，可得，解得的值，即可获得答案．
【解析】（1）①证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
②如图4，当时，
可有，
∵，
可设，则，
又∵，
∴，解得 ，
∴；
如图2，当时，此时与重合，
∴，
又∵，
∴，即，
∵，
∴．
综上所述，的长为或8；
（2）如图3，连接，过作于点，
∵，，
∴，
∴，
设，在中，由勾股定理得，
∵点与关于对称，三点共线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
解得或（舍去），
∴，即的长为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质、轴对称的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
11．（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在中，，的一个动点，作点关于的对称点，，交直线于点．
(1)若，，是边上的高线．
①求线段的长；
②当，求线段的长；
(2)在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】(1)①；②；
(2)或
【分析】（1）①根据题意，作出高线，利用等面积法列等式求解即可得到答案；②根据对称性，结合①中，得到即可得到；
（2）根据是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；结合条件求解即可得到答案．
【解析】（1）解：①如图，过点作，
在中，，，
，
是边上的高线，
，
即，
解得：；
②根据题意，如图所示：
点关于对称点为，
，
由①知，
则，
；
（2）如图所示：
由是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；
①当时，
点关于对称点为，
，
在中，，
'是的一个外角，
，
即；
②当时，
点关于对称点为，
，
在中，，
是的一个外角，
，
即；
③当时，
点关于对称点为，
，
是的一个外角，
，
即（舍弃），
综上所述，在的情况下，或．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及勾股定理、等面积法求高、对称性质、等腰三角形性质、三角形内角和、三角形外角性质等知识，熟练掌握三角形相关性质，作出辅助线是解决问题的关键．
12．（2018秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，中，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
(1)出发2秒后，求的周长．
(2)问为何值时，为等腰三角形？
(3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动． 当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)的周长为；
(2)当为或或或时，为等腰三角形；
(3)当t为6秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后的长，然后就知的长，利用勾股定理求得的长，最后即可求得周长；
（2）分点P在边上和点P在边上两种情况求解即可；
（3）分类讨论：当P点在上，Q在上；当P点在上，Q在上，列式计算即可求解．
【解析】（1）解：如图1，由，，，
∴，
动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
∴出发2秒后，则，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为：；
（2）解：①如图2，若在边上时，，
此时用的时间为秒，为等腰三角形；
②2若在边上时，有三种情况：
（ⅰ）如图3，若使，
此时，运动的路程为，
所以用的时间为秒，为等腰三角形；
（ⅱ）如图4，若，作于点，
∵，
∴，
在中，
，
所以，
所以运动的路程为，
则用的时间为秒，为等腰三角形；
（ⅲ）如图5，若，
此时应该为斜边的中点，运动的路程为，
则所用的时间为秒，为等腰三角形；
综上所述，当为或或或时，为等腰三角形；
（3）解：∵的周长为，
∴周长的一半为6，
如图6，当P点在上，Q在上，则，
∵直线把的周长分成相等的两部分，
∴，
∴（舍去）；
如图7，当P点在上，Q在上，则，
∵直线把的周长分成相等的两部分，
∴，
∴，
∴当t为6秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
【点睛】此题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，综合运用以上知识并能分类讨论是解题的关键．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，，，点为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角三角形，使，连接．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求线段的长；
(3)如图，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点与点重合，连接，求线段的长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，故，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，即可求解；
（2）过作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，求得，根据勾股定理即可求得的值；
（3）过作于，过作于，于，根据折叠的性质可推得，，根据三角形内角和定理可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得，根据勾股定理求解即可．
【解析】（1）解：．
理由如下：∵是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
则，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）解：过作于，如图1，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
则，
在中，．
（3）解：过作于，过作于，如图2所示：
由（2）可知，，
∵将沿线段翻折得到，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
，
，
∴，
∴，
故，
在与中，
，
∴，
∴，，
则，
在中，．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）（1）问题发现：如图，与均为等腰直角三角形，，写出线段、的数量关系为和位置关系，请说明理由.
（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，，在同一直线上，为中边上的高，请直接写出线段，，之间的数量关系_________________________．
（3）解决问题：如图，已知中，，，，以为直角边作等腰直角，，，连接，则的长为_________________________．
【答案】（1）结论：，；理由见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）延长交于点，交于点，根据条件证明，，根据对顶角相等可得，可证，即可得到答案；
（2）根据条件可得，即可得到答案；
（3）分两种情况讨论：①在的外部，以A为直角顶点作等腰直角，使，连接，证明，可得，根据勾股定理即可求出；②作交的延长线于E，则是等腰直角三角形，同理可求．
【解析】（1）解：结论：，；
如图中，延长交于点，交于点，
和均为等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
（2）解：∵为等腰直角三角形，为中边上的高，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴；
（3）解：①如图，在的外部，以A为直角顶点作等腰直角，使，连接，
∵时等腰直角三角形，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，作交的延长线于E，则是等腰直角三角形，
同理可得，
∴，
∵，
，
∴
综上所述：的长为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对三角．
【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形中，，，连接、，若，，求的长．
（1）布丁思考后，如图2，以为边向外作等腰直角，并连接，他认为：．你同意他的观点吗？请说明理由．
（2）请你帮布丁求出的长．
【探索二】如图3，在四边形中，，，，，，若，求的长．
【答案】【探索一】（1）见解析；（2）；【探索二】．
【分析】【探索—】（1）根据可证明；
（2）由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案；
【探索二】作，且使，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，过点作于点，则，得出，由勾股定理可得出答案．
【解析】解∶探索—（1）同意．
理由∶∵以为边向外作等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2） ∵，
∴，
∵以为边向外作等腰直角三角形，，，
∴，,
∵，
∴，
∴，
∴；
探索二 作，且使，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16．（2023·浙江·八年级假期作业）直线l经过点A，在直线l上方，．
(1)如图1，，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．若，，则______；
(2)如图2，D，A，E三点在直线l上，若（为任意锐角或钝角），猜想线段、、的数量关系是否仍然成立？若成立，写出证明过程；
(3)如图3，，过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是延长线上的一个动点，连接，作，使得，连接，，直线l与交于点G．求证：G是的中点．
【答案】(1)5
(2)，证明过程详见解析
(3)证明过程详见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质证出，可证明，即可得出线段之间的关系，从而得出答案；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
（3）分别过点C、E作，，由（1）可知，，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和
，
∴（AAS）
∴，,
∴；
（2）猜想：，
证明如下：∵，
∴，
，
∴，
在与中，
，
∴（AAS），
∴，，
∴；
（3）证明：分别过点C、E作，，如图所示
由（1）可知，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∴G是的中点．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
17．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系．
(1)如图，当点在边、上，且时，试说明．
(2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？
答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”．
(3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)一定成立
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，进而得到，证明，得到，根据含的直角三角形的性质证明结论；
（2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案；
（3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案．
【解析】（1）证明：为等边三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
在中，，
，
同理可得，，
；
（2）解：一定成立，
理由如下：如图，延长至，使，连接，
，
由（1）可知：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：一定成立；
（3）解：如图，在上截取，连接，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（2023秋·浙江·八年级专题练习）定义：如图1，等腰中，点分别在腰上，连接，若，则称为腰上线段和的“友谊线”．
(1)如图1，是等腰中腰上线段和的“友谊线”，若，，，求的长；
(2)已知是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，，点在边上，且，．
①如图2，当为等边三角形中腰上线段和的“友谊线”时，作，垂足为，求的值．
②如图3，当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)①②当时，或
【分析】（1）根据“友谊线”的定义，可得，进而求得，再在中由勾股定理求解即可；
（2）①根据“友谊线”的定义，易得，，设，则，，结合等边三角形的性质可得，，即可获得答案；②过点作，垂足为，分两种情况讨论，借助全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等分别求解即可；
【解析】（1）解：∵是等腰中腰上线段和的“友谊线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，可有；
（2）①∵是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，
是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
设，则，，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
∴；
②过点作，垂足为，
（i）如图4，满足，
∵是等边三角形中腰上线段和的“友谊线”，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（ii）如图4，满足，
与（i）同理，可证，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
综上所述，当时，或．
【点睛】本题主要考查了新定义“友谊线”、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，理解新定义“友谊线”并综合运用相关知识是解题关键．
19．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，用a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：由解得又因为x＞1，y＜0所以解得a的取值范围是 ．
因为x+y＝a，所以a的取值范围就是x+y的取值范围．
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围．
【答案】（1）0＜a＜2；（2）①2＜x+y＜6；②3-m＜a+b＜4-m．
【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；
②解方程组得：，根据x＜0，y＞0可得1.5＜a＜2，进一步得到a+b的取值范围．
【解析】解：（1），
∵解不等式①得：a＞0，
解不等式②得：a＜2，
∴不等式组的解集为0＜a＜2，
故答案为：0＜a＜2；
（2）①设x+y=a，则，
解得：，
∵x＞3，y＜1，
∴，
解得：2＜a＜6，
即2＜x+y＜6；
②解方程组得：，
∵x＜0，y＞0，
∴，
解得：1.5＜a＜2，
∵a-b=m，a+b=2a-(a-b)
3-m＜a+b＜4-m．
故答案为：3-m＜a+b＜4-m．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
20．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知木棒a长度为35厘米、木棒b长度为70厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒c与木棒a、b首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c长度的取值范围；
（2）有一木棒长度为130厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e的长度之和恰好为130厘米），若在a、d、e中任选2根木棒，它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d长度的取值范围；
（3）若木棒d的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘米？
【答案】（1）木棒c长度的取值范围是35cm＜c＜105cm；（2）35cm＜d＜95cm；（3）最小的周长是141cm，最大的周长是209cm．
【分析】（1）根据三角形的三边长关系，即可得到答案；
（2）分3种情况：①如果a、d、b能组成三角形，②如果a、e、b能组成三角形，③如果d、e、b能组成三角形，分别求出d的取值范围，进而即可得到答案；
（3）分3种情况：①如果a、d、b能组成三角形，②如果a、e、b能组成三角形，③如果d、e、b能组成三角形，分别求出组成的三角形里最小的周长以及最大的周长，进而即可得到答案．
【解析】（1）根据三角形的三边关系，得70﹣35＜c＜70+35，即35＜c＜105．
∴木棒c长度的取值范围是：35cm＜c＜105cm；
（2）a＝35cm，b＝70cm，d+e＝130cm．
①如果a、d、b能组成三角形，那么35cm＜d＜105cm；
②如果a、e、b能组成三角形，那么35cm＜e＜105cm，
∵d+e＝130cm，
∴25cm＜d＜95cm；
③如果d、e、b能组成三角形，那么|e﹣b|＜d＜e+b，即|130﹣d﹣70|＜d＜130﹣d+70，
解得：30cm＜d＜100cm，
综上所述，35cm＜d＜95cm；
（3）若木棒d的长为偶数，
①如果a、d、b能组成三角形，那么d最小值为36cm，最大值为104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
②如果a、e、b能组成三角形，则d最小值为26cm，最大值为94cm，那么e最小值为36cm，最大值为104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
③如果d、e、b能组成三角形，那么周长是：130+70＝200（cm）．
综上所述，最小的周长是141cm，最大的周长是209cm．
【点睛】本题主要考查三角形的三边长关系以及不等式组的实际应用，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式组，是解题的关键．
21．（2022秋·浙江·八年级专题练习）【阅读思考】阅读下列材料：
已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2
又∵x＞1
∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0 ①
同理1＜x ＜2 ②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y 的取值范围是0＜x+y ＜2
【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x ﹣y ＝3，且x ＞ 2，y ＜1，则x+y的取值范围是 ；
【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，试确定x﹣y的取值范围．
【答案】（1）1＜x+y＜5；（2）0＜x﹣y＜10．
【分析】（1）模仿材料的计算方法，即可求出答案；
（2）根据已知算式求出y、x的范围，再求出答案即可．
【解析】解：（1）∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，
∴-1＜y＜1①
同理可得：2＜x＜4②
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是：1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）∵x+y＝2，
∴x＝2﹣y，
又∵x＞1，
∴2﹣y＞1，
∴y＜1，
又 ∵y＞﹣4，
∴﹣4＜y＜1，
∴﹣1＜﹣y＜4①，
同理得：1＜x＜6②，
由①+②得：0＜x﹣y＜10，
∴xy的取值范围是：0＜x﹣y＜10．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、列代数式等知识点，能分别求出x、y的范围是解此题的关键，注意：求解过程类似．
22．（2019·浙江杭州·八年级统考期中）我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年风力日平均风速不小于的时间共约160天，其中日平均风速不小于时间约占60，为了充分利用风能这种绿色资源，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用A、B两种型号的风力发电机。根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：
根据上面的数据回答：
（1）若这个发电厂购买x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为_______；
（2）已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元，该发电厂拟购买风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电机厂每年的发电量不少于，请你提供符合条件的购机方案。
【答案】(1) 12600x;(2) 可购5台A型风力发电机，5台B型风力发电机；或可购6台A型风力发电机，4台B型风力发电机．
【分析】（1）根据日平均风速在3m/s到6m/s之间的天数×36+日平均风速不小于的天数×150=一台A型风力发电机一年的至少发电量，然后再乘以x即为所求.
（2）先求出一台B型发电机年至少发电量，然后设购买x台A型风力发电机，则B型风力发电机为（10-x）台，根据“费用不超过2.6万元”和“每年的发电量不少于102000kw•h”列不等式组，取整数解．
【解析】解：（1）根据题意，日平均风速在3m/s到6m/s之间的时间为100天，日平均风速不小于时间约为60天，故A型风力发电机每年发电量至少为100×36+150×60=12600kw•h，
所以x台A型风力发电机每年发电量至少为12600x kw•h，故填：12600x.
（2）B型风力发电机每年发电量至少为100×24+90×60=7800kw•h，
设购x台A型风力发电机，则B型风力发电机为（10-x）台，
所以
解得5≤x≤6
则x=5或6，10-x=5或4
所以可购5台A型风力发电机，5台B型风力发电机；或可购6台A型风力发电机，4台B型风力发电机．
【点睛】本题考查不等式组的应用，能找准关键描述语，列出不等式（组）是解决此题的关键.另外一年风力日平均风速不小于的时间共约160天的意思是日平均风速在3m/s到6m/s之间的时间为100天和日平均风速不小于时间约为60天.
日平均风速v（m/s）
日发电量
A型
0
B型
0
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