山东省临沂市沂水县第一中学2022-2023学年高一上学期期末线上自主测试数学试卷(含答案)

这是一份山东省临沂市沂水县第一中学2022-2023学年高一上学期期末线上自主测试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、集合的真子集的个数是( )
A.9B.8C.7D.6
2、条件,条件,若p是q的充分而不必要条件,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3、函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
4、若正实数a,b,c满足,则( )
A.B.C.D.
5、若且,函数,满足对任意的实数都有成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6、形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值,则“囧函数”与函数的图像交点个数为( )
A.1B.2C.4D.6
7、已知函数的最小正周期为,且时,函数取最小值,若函数在上单调递减,则a的最大值是( )
A.B.C.D.
8、定义在R上的函数满足,当时,,则( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、已知正实数a,b满足,且,则的值可以为( )
A.2B.3C.4D.5
10、已知函数（e为自然对数的底数）,则( )
A.为奇函数
B.方程的实数解为
C.的图象关于轴对称
D.,,且,都有
11、设a,b是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( )
A.B.
C.D.
12、已知函数（,）,,函数的图像过点,且关于直线对称,若对任意的,存在,使得,则实数m的可能取值是( )
A.B.C.-2D.-5
三、填空题
13、设函数,若,则______________.
14、函数的所有零点之和为_____________.
15、设函数,的最大值为M,最小值为N,那么_______________.
16、设函数,,若对,都,使得,则实数a的最大值为______________.
四、解答题
17、解答下列各题
(1)已知,求的值;
(2)已知,且,求的值;
18、已知函数的定义域为A,的值域为B.
(1)求A和B;
(2)若,求a的最大值.
19、已知函数（a,b为常数,且）,满足,方程有唯一解.
(1)求函数的解析式;
(2)如果是R上的奇函数,求的值;
(3)如果不是奇偶函数,证明：函数在区间上是增函数.
20、已知函数,（,,）.
(1)当,,且有最小值2时,求a的值;
(2)当,时,有恒成立,求实数t的取值范围.
21、已知定理：“若a,b为常数,满足,则函数的图像关于点中心对称”.设函数,.
(1)试判断的图像是否关于点成中心对称？说明理由;
(2)当时,判断函数的单调性,并求的最大值与最小值;
(3)若对任意的,总存在,使成立,求实数m的取值范围.
22、已知函数的定义域为,且满足,当时,有,且.
（1）判断并证明函数的单调性;
（2）求不等式的解集;
（3）对任意,恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：由于,
,又,
,1,2
,5,2,即集合
故真子集的个数为：.
故选：C.
2、答案：C
解析：设满足条件p与q的元素组成集合A与B,
p是q的充分而不必要条件,
,易得且,
当,即时,,与矛盾！
当,即时,,由得,即,
当,即时,,与矛盾！
综合上述,得.
故选：C.
3、答案：A
解析：函数的定义域为R,且对于任意,有,
函数为奇函数,故排除C,D,又,排除B.
故选：A.
4、答案：C
解析：c是正实数,且,,
由,得,
,,
,,,
,即,
综上可知,,
故选：C.
5、答案：D
解析：,
对任意的实数都有成立,
可知函数在R上单调递增,
,解得,
故选：D.
6、答案：C
解析：令,则函数有最小值.
,
当函数是增函数时,在上有最小值,
当函数是减函数时,在上无最小值,
.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示,
由图象可知,它们的图象的交点个数为4.
所以本题答案为C.
7、答案：D
解析：由题意,,
,,又,,
,时,,
又在上单调递减,所以,,即,a的最大值是.
故选：D.
8、答案：B
解析：当时,则,于是,
函数在上是增函数,在上是减函数,且为偶函数,
, ,故A错误;
, ,故B正确.
, , ,故C错误;
, , ,故D错误.
故选：B.
9、答案：CD
解析：由得到,则,即,
整理得,解得或,
当时,,,则;
当时,,,则.
故选：CD.
10、答案：ABD
解析：对于A,由题知,其定义域为R,因为,所以函数为奇函数,故A正确;
对于B,由,得,解得,故B正确;
对于C,因为是奇函数,所以图象关于原点对称,故C错误;
对于D,,
因为函数为R上的增函数,
所以为R上的增函数,
所以,,且,都有,故D正确.
故选：ABD.
11、答案：ABC
解析：对于A,显然,时不等式不成立;
对于B,,只有当时上式才成立,B中不等式不恒成立;
对于C,显然,时不等式不成立;
对于D,要证,只需证,
即证,显然成立,原不等式恒成立.
故选：ABC.
12、答案：CD
解析： 的图像关于直线对称,
,即,
由于,故,
又函数的图像过点,
,解得.
于是;
又“对任意,存在,使得”等价于“”,
当时,,
即,即.
于是,即,
又,
,
即.
m的取值范围是.
故选：CD.
13、答案：
解析：因为,所以,
当即时,,解得,舍去;
当即时,,解得,
故答案为：.
14、答案：36
解析：令,
得,
在同一坐标系中作出,的图象,如图所示：
由图象知：函数的零点有关于对称的6对,
所以函数的所有零点之和为,
故答案为：36.
15、答案：2023
解析：,
因为在上单调递增,
所以函数在区间上单调递增,
的最大值为,最小值为,
.
故答案为：2023.
16、答案：4
解析：对,都,使得,的值域是值域的子集;
令,则,令,
当,即时,,的值域为;
设的值域为A,则;
设的值域为B,若,则;
当时,的值域,满足;
当时,的对称轴为,,
解得：,;
当时,的最大值为,,满足题意;
综上所述：实数a的取值范围为,则a的最大值为4.
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）由,得,
所以
.
（2）,,
即,
又,所以,
于是,即.
,,
即,所以.
18、答案：(1)A为,B为
(2)3
解析：（1）由题意,函数,满足,
解得,所以函数的定义域为,
而函数在R上是增函数,
,,
所以函数的值域为,
故定义域A为,值域B为.
（2）由（1）可知,若,
则,解得,
所以a的最大值为3,此时满足,
故最大值为3.
19、答案：(1)或或
(2)
(3)证明见解析
解析：（1）由,得到,
①,,则,由得,即;
②若,,则,由得,即;
③,,由得,由得,
又由得,即.
函数的解析式为或或.
（2）若是R上的奇函数,由（1）知,
于是,.
（3）若不是奇、偶函数,由（1）知,
任取,且,
,
因为,
所以,,
所以,
即,
在区间是增函数.
20、答案：(1)a的值为2;
(2)实数t的取值范围是.
解析：（1）当时,.
若,则,解得,不成立;
若,则,解得,
综合上述,所求.
（2）由得,即,,
令,,,
函数在上单调递增,函数在上单调递增,
所以函数在上是增函数,
所以,所以,即,
所以实数t的取值范围为.
21、答案：(1)的图像关于点成中心对称;理由见解析
(2)单调递增,最大值为,最小值为-2;
(3)
解析：（1）因为,
所以
由定理可知,的图像关于点成中心对称.
（2）任取,且,
则,
,且,
,且,,
则,即,
在上是增函数,
则,
所以的最大值为,最小值为-2.
（3）若对任意的,总存在,使成立,只需函数的值域为函数的值域的子集.
因为函数的图像关于点对称,
所以函数在上单调递增,易求出函数的值域为,下讨论的值域.
①当时,,不符合题意舍去;
②当时,的值域为,要使
只需,解得;
③当时,的值域为,要使,
只需,解得;
综上,m的取值范围为.
22、答案：（1）在上单调递增,证明见解析;
（2）;
（3）.
解析：（1）设,则
,
所以函数在上单调递增.
（2）又因为和,
则,
所以
得
解得,即,故t的取值范围为;
（3）由于恒成立
恒成立,
设,
则,
令,则,
所以在区间上单调递增,
所以,
根据条件,只要,所以.
法二：由诱导公式知,令换元转化为二次函数求解.)
,
则,
当时,的最小值是,
根据条件,只要,所以.