12三角恒等变换-浙江省2023-2024学年高一上学期数学期末复习专题练习（人教版）

这是一份12三角恒等变换-浙江省2023-2024学年高一上学期数学期末复习专题练习（人教版），共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）若，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
2．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·浙江温州·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知正实数，满足，则的最大值是（ ）
A．0B．C．D．
5．（2022上·浙江宁波·高一校联考期末）已知，则函数的最大值为（ ）
A．-1B．1C．D．
6．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）已知，则（ ）
A．B．3C．D．
7．（2022上·浙江衢州·高一统考期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022上·浙江台州·高一统考期末）（ ）
A．B．C．0D．1
二、多选题
9．（2023上·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，
B．存在，使的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．若在上有且仅有4个零点，则的取值范围
D．在上单调递增
10．（2023上·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023上·浙江·高一期末）如图，已知两点在单位圆O上，且都在第一象限，点是线段的中点，点是射线与单位圆O的交点，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022上·浙江宁波·高一校联考期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2022上·浙江温州·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．最小正周期为B．关于直线对称
C．在上单调递减D．最大值为
14．（2022上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）下列各式中值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022上·浙江丽水·高一统考期末）下列各式中，值可取的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2021上·浙江湖州·高一统考期末）存在函数满足：对任意都有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
17．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）若，且，，则 .
18．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末） ．
19．（2023上·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）已知，则 .
20．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）已知函数，若函数在区间内没有零点，则实数的最大值是 .
21．（2023上·浙江温州·高一统考期末）若，则 .
22．（2023上·浙江宁波·高一校联考期末）已知，则的值为 .
四、解答题
23．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知是锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值．
24．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知函数的图象最高点与相邻最低点N的距离为4．
(1)求函数的解析式；
(2)设，若，求函数的单调减区间．
25．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）已知函数.
(1)求出的最小正周期及单调递增区间；
(2)若，求使成立的的取值集合.
26．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知．
(1)求的周期；
(2)求在区间上的最小值；
27．（2023上·浙江湖州·高一期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和在区间上的值域；
(2)若，函数在区间上单调递增，求的值．
28．（2021上·浙江金华·高一统考期末）观察下列各等式：
，
，
．
(1)尝试再写出一个相同规律的式子；
(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．
29．（2023上·浙江·高一期末）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将的图象向左平移个单位，得到的图象，求的值域．
参考答案：
1．C
【分析】根据诱导公式可得，利用拼凑角有，再用正切的两角和公式求解即可.
【详解】因为，所以,
所以
故选：C
2．B
【分析】根据题意，由二倍角公式化简，即可得到结果.
【详解】因为，则，且，则，
故选:B
3．A
【分析】通过三角函数恒等变换化简，考虑证明当时，，并利用三角函数线完成证明，由此确定的大小.
【详解】因为，，，
所以，
，
在平面直角坐标系中以原点为顶点，轴的正半轴为始边作角，，
设角和单位圆的交点为,过点作垂直与轴，垂足为，过点
作单位圆的切线与的终边交于点, 则，，设劣弧
的弧长为，则，因为，所以，
因为，所以，，
又，，
所以，，
所以，故，
故选：A.
4．D
【分析】由题意，利用换元思想，利用三角函数的性质，可得答案.
【详解】令，，，
则
，
当且仅当时，取的最大值，且最大值是.
故选：D.
5．A
【分析】由题意，然后由二次函数的性质可得答案.
【详解】
设则
所以转化为求，则其对称轴方程为
由，则
所以在上单调递增。
故当时有最大值为
故选：A
6．D
【分析】根据正切的两角差公式直接求解即可.
【详解】
故选：D
7．D
【分析】利用平方关系求得，再根据结合两角和的余弦公式即可得解.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以.
故选：D.
8．A
【分析】逆用正弦的差角公式进行求解.
【详解】
故选：A
9．ABD
【分析】由二倍角公式化简得，A由已知得的周期为，即可得参数值；B由函数平移写出解析式，根据对称性求参数并确定存在性；C整体法及余弦函数图象列不等式求参数范围；D整体法及区间单调性列不等式组求范围，即可判断.
【详解】由题设，
A：要使，即中最大和最小值各有一个，又，
所以的周期为，故，正确；
B：的图象向左平移个单位长度得关于原点对称，
所以，，则，，又，
当时，正确；
C：由题设上有4个零点，
结合余弦函数性质知：，则，错误；
D：当时，，
因为，所以，，
所以，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】A选项，利用同角三角函数关系，求出正弦值；BC选项，利用倍角公式，化弦为切，代入求值；D选项，利用诱导公式计算即可.
【详解】A选项，因为，所以，即，
因为，所以，解得，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，，D正确.
故选：BCD
11．AB
【分析】由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断A；由中点坐标公式及三角函数定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；利用特值法可判断D.
【详解】A项：
，故A正确；
B项：，故B正确；
C项：，故C错误；
D项：取，则，此时，故D错误．
故选：AB.
12．AC
【分析】利用三角函数恒等变换公式分析判断
【详解】对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C， ，所以C正确，
对于D，
，所以D错误，
故选：AC
13．BC
【分析】根据两角和的余弦公式、二倍角公式和辅助角公式求出，利用正弦函数的性质依次求出最小正周期、最大值、对称轴和单调减区间即可.
【详解】
，
所以函数的最小正周期为，最大值为，故AD错误；
令，即对称轴为，故B正确；
令，解得，，
当时，函数的单调减区间为，
又，所以在上单调递减，故C正确.
故选：BC.
14．ACD
【分析】逆用两角和的正切公式、二倍角公式、两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.
【详解】A：，符合题意；
B：，不符合题意；
C：，符合题意；
D：，符合题意，
故选：ACD
15．BD
【分析】利用余弦的二倍角公式化简可判断A；由两角和与差的正弦公式化简可判断BC；.
由正切的两角和的展开公式化简可判断D.
【详解】，故A错误；
，
由得
可得B正确；.
，故C错误；
，
故D正确.
故选：BD.
16．CD
【解析】分别取、可得、，A错误；同理，取、可得、，B错误；利用三角恒等变换将整理为关于的二次函数可判断C；同理可判断D.
【详解】A：取时，，，
取时，，，故A不正确；
B：取时，，，
取时，，，故B错误；
C：，
令，则，C正确；
D：
令，则，D正确.
故选：CD
17．
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】因为且，所以，
又因为且，所以，
所以，
故答案为：
18．
【分析】结合二倍角和辅助角公式求解即可.
【详解】.
故答案为：.
19．/
【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果.
【详解】.
故答案为：.
20．
【分析】化简函数解析式，先求出整体的范围，由在区间内没有零点得出不等式，解出的范围，再结合的取值，即可求解.
【详解】，
由可得，
又在区间内没有零点，则，
解得，
又，解得，又，所以或，
当时，；当时，；
综上：的最大值为.
故答案为：.
21．
【分析】利用两角差的余弦公式将等式整理成，再根据同角三角函数的基本关系可写出，根据三角恒等变换化简即可求得结果.
【详解】由可得，
，将等式两边同时除以可得，
，所以；
所以.
故答案为：
22．/
【分析】切化弦展开后化简代入计算即可.
【详解】∵
故答案为：.
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由同角的平方关系即可得到结果；
（2）根据题意，由二倍角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由，，可得，所以；
（2）因为，且，
∴．
24．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，，，从而可得，则，再由求得，从而可求得解析式；
（2）由（1）可得，化简得，由可得，从而令，求解即可得减区间.
【详解】（1）由题意得，，，即，
所以，则，
又，得，，
所以；
（2），
所以
，
由，，令，则，
所以的单调递减区间为．
25．(1)；
(2)
【分析】（1）根据三角函数的最小正周期公式求得的最小正周期，利用整体代入法求得单调递增区间.
（2）由，根据三角恒等变换的知识求得的取值集合.
【详解】（1）的最小正周期；
由，
可得，
的单调递增区间是.
（2）
，，
，即.
的取值集合是.
26．(1)
(2)
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数，再结合周期的公式求解即可；
（2）利用三角函数的图象及性质求解即可.
【详解】（1），
即，
所以函数的周期为.
（2）由，
则，所以，
所以当，
则，
即在区间上的最小值为.
27．(1)最小正周期为，值域为
(2)4
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，从而求得其最小正周期，再利用正弦函数的图像性质即可求得在上的值域；
（2）先利用正弦函数的单调性得到，从而得到，再由推得，从而得到，由此得解.
【详解】（1）因为，
所以函数的最小正周期为，
因为，所以，
所以.
（2）因为，
又，所以，
因为在区间上单调递增，
又在递增，
所以，
即，解得，
又，所以，解得，
所以，此时，故正整数的值为4．
28．(1)
(2)若，则；证明见解析
【分析】（1）根据已知的3个例子即可发现规律求解，
（2）根据已知式子发现规律，利用弦切互化以及正切的和角关系公式即可求解.
【详解】（1）．
（2）若，则．
证明：．
又因为，
所以，
化简得．
29．(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，由整体法求单增区间；
（2）由三角恒等变换化简函数，由换元法转成二次函数求值域.
【详解】（1）由题：，
令，解得，故的单调递增区间为；
（2）由题及（1）得：
所以，
令，则，
当时，，所以．