2022~2023学年江苏省南通市崇川区启秀中学八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省南通市崇川区启秀中学八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.列图形中，是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是
( )
A. AB=2cm，BC=6cm，AC=3cm
B. BC=3cm，AC=5cm，∠B=90∘
C. ∠A=∠B=∠C=60∘
D. AB=4cm，AC=6cm，∠C=30∘
3.如图，已知∠CAE=∠BAD，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E.其中能使ΔABC≅ΔAED的条件有
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.在ΔABC内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到AC的距离等于P到BC的距离．下列尺规作图正确的是
( )
A. B.
C. D.
5.已知点P(a,3)和点Q(4,b)关于x轴对称，则(a+b)2019的值
( )
A. 1B. −1C. 72019D. −72019
6.如图，ΔABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50∘，则∠DEF的度数是
( )
A. 75∘B. 70∘C. 65∘D. 60∘
7.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ΔABC为等腰三角形，则点C的个数是
( )
A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个
8.如图，在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，ΔABC的面积是30cm2，AB=13cm，AC=7cm，则DE的长
( )
A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm
9.如图，在ΔABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE//BC交AB于E，交AC于G，若EG=2，且GC=6，则BE长为
( )
A. 8B. 7C. 10D. 9
10.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AD=CE，连接AE，BD交于点F，∠CBD，∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．
有下列结论：
①ΔABD≅ΔCBG；
②∠BGE=30∘；
③∠ABG=∠BGF；
④AB=AH+FG．
其中，正确的结论个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，ΔABC≅ΔDBC，∠A=45∘，∠ACD=80∘，则∠DBC的度数为 ∘．
12.如图，ΔABC中，∠BAC=100∘，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则∠FAN= _.
13.如图，在ΔABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=20∘，DE⊥AC于E，则∠EDC= ∘．
14.在ΔABC中，若AB=5，AC=7，则中线AD的最小整数值是 ．
15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40∘，求底角的度数 ．
16.如图，已知ΔABC中，∠A=60∘，D为AB上一点，且AC=2AD+BD，∠B=4∠ACD，则∠DCB的度数是 ．
17.如图，在ΔABC中，AB=AC，BC=4，ΔABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则ΔBDM周长的最小值为 ．
18.如图，在ΔOAB和ΔOCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40∘，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40∘；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的是 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
已知：如图，C是AB的中点，AE=BD，∠A=∠B.求证：∠E=∠D．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠1=∠2，AD=EC．
(1)求证：ΔABD≅ΔEDC；
(2)若AB=2，BE=3，求CD的长．
21.(本小题8分)
在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，ΔABC的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系，点A的坐标为(−5,2)．
(1)画出与ΔABC关于y轴对称的A1B1C1；
(2)通过画图在x轴上确定点Q，使得QA与QB之和最小，画出QA与QB并直接写出点Q的坐标．Q的坐标为__．
22.(本小题8分)
如图，在ΔABC中，∠A=90∘，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，试探究线段DE与DF之间的关系，并说明理由．
23.(本小题8分)
如图，ΔABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
(1)求∠BPQ的度数；
(2)若PQ=4，PE=1，求AD的长．
24.(本小题8分)
如图，D为ΔABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．
(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；
(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．
25.(本小题8分)
如图1，在ΔABC中，∠BAC=75∘，∠ACB=35∘，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
(1)求证：ΔBCD为等腰三角形；
(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD=AB+BE；
(3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究(2)中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．
26.(本小题8分)
新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．
解决问题：
(1) ①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是 ；②如图1，已知ΔABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC上，连接EF，与AD交于点G.若SΔAEG=SΔDGF，则EF (填“是”或“不是”)ΔABC的一条二分线．
(2)如图2，四边形ABCD中，CD平行于AB，点G是AD的中点，射线CG交射线BA于点E，取EB的中点F，连接CF.求证：CF是四边形ABCD的二分线．
(3)如图3，在ΔABC中，AB=CB=CE=7，∠A=∠C，∠CBE=∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED=∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解： A ， B ， D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选： C ．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据三角形三边的关系对 A 进行判断；根据全等三角形的判定方法对 B 、 C 、 D 进行判断．
【解答】解： A 、因为 AB+ACB 、 BC=3cm ， AC=5cm ， ∠B=90∘ ，根据“ HL ”可判断此三角形为唯一三角形，所以 B 选项符合题意；
C 、利用 ∠A=∠B=∠C=60∘ 不能确定三角形的大小，所以 C 选项不符合题意；
D 、利用 AB=4cm ， AC=6cm ， ∠C=30∘ 可画出两三角形，所以 D 选项不符合题意．
故选： B ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据全等三角形的判定解决此题．
【解答】解：①由 ∠CAE=∠BAD ，得 ∠CAB=∠DAE .增加 AB=AE ，那么 AB=AE ， ∠CAB=∠DAE ， AC=AD ，推断出 ΔABC≅ΔAED ，故①符合题意．
②由 ∠CAE=∠BAD ，得 ∠CAB=∠DAE .添加 BC=ED ， ΔABC 与 ΔAED 不一定全等，故②不符合题意．
③由 ∠CAE=∠BAD ，得 ∠CAB=∠DAE .增加 ∠C=∠D ，那么 ∠C=∠D ， ∠CAB=∠DAE ， AC=AD ，推断出 ΔABC≅ΔAED ，故③符合题意．
④由 ∠CAE=∠BAD ，得 ∠CAB=∠DAE .增加 ∠B=∠E ，那么 ∠B=∠E ， ∠CAB=∠DAE ， AC=AD ，推断出 ΔABC≅ΔAED ，故④符合题意．
综上：符合题意的有①③④，共3个．
故选： C ．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】由题意得，点 P 是线段 AC 的垂直平分线与 ∠ACB 的平分线的交点，再根据各选项的尺规作图判断即可．
【解答】解：由题意得，点 P 是线段 AC 的垂直平分线与 ∠ACB 的平分线的交点，
对于 A 选项，点 P 是 ∠ACB 的平分线与边 AB 的交点，
故 A 选项错误；
对于 B 选项，点 P 是线段 AC 的垂直平分线与线段 BC 的垂直平分线的交点，
故 B 选项错误；
对于 C 选项，点 P 是线段 BC 的垂直平分线上一点，
故 C 选项错误；
对于 D 选项，点 P 是线段 AC 的垂直平分线与 ∠ACB 的平分线的交点，
故 D 选项正确．
故选： D ．
【点评】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出 a ， b 的值，进而得出答案．
【解答】解： ∵ 点 P(a,3) 和点 Q(4,b) 关于 x 轴对称，
∴a=4 ， b=−3 ，
∴(a+b)2019=1 ．
故选： A ．
【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确得出 a ， b 的值是解题关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】首先证明 ΔDBE≅ΔECF ，进而得到 ∠EFC=∠DEB ，再根据三角形内角和计算出 ∠CFE+∠FEC 的度数，进而得到 ∠DEB+∠FEC 的度数，然后可算出 ∠DEF 的度数．
【解答】解： ∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
在 ΔDBE 和 ΔECF 中，
BD=EC∠B=∠CEB=CF ，
∴ΔDBE≅ΔECF(SAS) ，
∴∠EFC=∠DEB ，
∵∠A=50∘ ，
∴∠C=(180∘−50∘)÷2=65∘ ，
∴∠CFE+∠FEC=180∘−65∘=115∘ ，
∴∠DEB+∠FEC=115∘ ，
∴∠DEF=180∘−115∘=65∘ ，
故选： C ．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和的定理，关键是掌握三角形内角和是 180∘ ．
7.【答案】C
【解析】【分析】当 AB 是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与 A 、 B 顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当 AB 是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， AB 垂直平分线上的格点都可以作为点 C ，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
① AB 为等腰 ΔABC 的底边时，符合条件的 C 点有4个；
② AB 为等腰 ΔABC 其中的一条腰时，符合条件的 C 点有4个．
故选： C ．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
8.【答案】A
【解析】【分析】根据角平分线的性质得到 DE=DF ，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解： ∵AD 为 ∠BAC 的平分线， DE⊥AB ， DF⊥AC ，
∴DE=DF ，
∴SΔABC=12×AB×DE+12×AC×DF=30(cm2) ，即 12×13×DE+12×7×DF=30 ，
解得 DE=DF=3cm ，
故选： A ．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】先证明 ∠ACD=∠EDC 得到 GD=GC=6 ，然后证明 ∠ABD=∠EDB 得到 BE=DE=EG+DG ．
【解答】解： ∵CD 平分 ∠ACF ，
∴∠ACD=∠FCD ，
∵DE//BF ，
∴∠FCD=∠EDC ，
∴∠ACD=∠EDC ，
∴GD=GC=6 ，
∵BD 平分 ∠ABC ，
∴∠ABD=∠FBD ，
∵DE//BF ，
∴∠FBD=∠EDB ，
∴∠ABD=∠EDB ，
∴BE=DE=EG+DG=2+6=8 ．
故选： A ．
【点评】本题考查了角平分线的定义：角的平分线把角分成相等的两部分．证明 BE=DE 是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】①不正确．若 ΔABD≅ΔCBG ，则 AD=CG=CE ，与条件不符．
②正确．证明 ∠BGE=12∠BFE ， ∠BFE=60∘ 即可．
③正确．证明 ∠BGF=30∘+12∠EAC ， ∠ABG=30∘+12∠ABD 即可．
④正确．过点 G 作 GT⊥BD 于 T ， GJ⊥AE 于 J ， GK⊥BC 于 K ，想办法证明 GF=GC ， AH=AG 即可．
【解答】解：若 ΔABD≅ΔCBG ，则 AD=CG ，
∵AD=CE ，
∴CE=CG ，
∴ΔCEG 为等边三角形，
显然与条件不符，故①不正确，
∵ΔABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC ， ∠ACB=∠BAC=60∘ ，
在 ΔABD 和 ΔCAE 中，
AB=AC∠BAD=∠ACE=60∘AD=CE ，
∴ΔABD≅ΔCAE(SAS) ，
∴∠CAE=∠ABD ，
∵∠BFE=∠BAE+∠ABD ，
∴∠BFE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60∘ ，
∵∠AEC=∠EBF+∠BFE ，
∴∠AEC=∠FBE+60∘ ，
∵∠CBD 、 ∠AEC 的平分线交于 AC 边上的点 G ，
∴∠GEC=12∠AEC=12∠FBE+30∘ ， ∠GBE=12∠CBD=12∠FBE ，
∵∠GEC=∠GBE+∠BGE ，
∴∠BGE=30∘ ，故②正确，
∵FG 平分 ∠DFE ， BG 平分 ∠FBE ，
同法可得 ∠BGF=12∠AEB=12(∠EAC+∠C)=12∠EAC+30∘ ，
∵∠ABG=∠ABD+∠DBG=∠ABD+12(60∘−∠ABD)=12∠ABD+30∘ ，
∵∠ABD=∠EAC ，
∴∠ABG=∠BGF ，故③正确，
过点 G 作 GT⊥BD 于 T ， GJ⊥AE 于 J ， GK⊥BC 于 K ，
∵GB 平分 ∠DBC ， GE 平分 ∠AEC ，
∴GT=GK=GJ ，
∵∠GFJ=∠C=60∘ ， ∠GJF=∠GKC=90∘ ，
∴ΔGJF≅ΔGKC(AAS) ，
∴GF=GC ，
∵∠BAH+∠EAC=∠EAC+∠AGF=60∘ ，
∴∠BAH=∠AGF ，
∵∠AHG=∠ABG+∠BAH ， ∠AGH=∠BGF+∠AGF ，
∴∠AHG=∠AGH ，
∴AH=AG ，
∴AH+GF=AG+GC=AC=AB ，
∴AB=AH+FG ，故④正确，
故选： C ．
【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
11.【答案】95
【解析】【分析】根据全等三角形的性质求出 ∠D=∠A=45∘ ， ∠ABC=∠DBC ， ∠ACB=∠DCB ，求出 ∠DCB ，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解： ∵ΔABC≅ΔDBC ， ∠A=45∘ ，
∴∠D=∠A=45∘ ， ∠ABC=∠DBC ， ∠ACB=∠DCB ，
∵∠ACD=80∘ ，
∴∠BCD=∠ACB=40∘ ，
∴∠DBC=180∘−∠D−∠DCB=95∘ ，
故答案为：95．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出 ∠D=∠A=45∘ ， ∠ABC=∠DBC ， ∠ACB=∠DCB 是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
12.【答案】20∘
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出 ∠B+∠C 的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到 FA=FB ， NA=NC ，得到 ∠BAF=∠B ， ∠CAN=∠C ，计算即可．
【解答】解： ∵∠BAC=100∘ ，
∴∠B+∠C=80∘ ，
∵EF ， MN 分别为 AB ， AC 的垂直平分线，
∴FA=FB ， NA=NC ，
∴∠BAF=∠B ， ∠CAN=∠C ，
∠FAN=∠BAC−∠BAF−∠CAN=100∘−80∘=20∘ ，
故答案为： 20∘ ．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13.【答案】20
【解析】【分析】由“ SSS ”可证 ΔADB≅ΔADC ，可得 ∠CAD=∠BAD=20∘ ， ∠ADB=∠ADC=90∘ ，由 DE⊥AC 和三角形的内角和定理求出 ∠ADE=70∘ ，代入 ∠EDC=∠ADC−∠ADE 求出即可．
【解答】解： ∵AB=AC ， BD=CD ， AD=AD ，
∴ΔADB≅ΔADC(SSS) ，
∴∠CAD=∠BAD=20∘ ， ∠ADB=∠ADC=90∘ ，
∵DE⊥AC ，
∴∠ADE=90∘−∠CAD=70∘ ，
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90∘−70∘=20∘ ．
故答案为：20．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质求出 ∠ADC 和 ∠ADE 的度数，题目比较好，难度适中．
14.【答案】2
【解析】【分析】延长 AD 到 E ，使 AD=DE ，连接 BE ，证 ΔADC≅ΔEDB ，推出 EB=AC ，根据三角形的三边关系求出即可．
【解答】解：延长 AD 到 E ，使 AD=DE ，连接 BE ，
∵AD 是 ΔABC 的中线，
∴BD=CD ，
在 ΔADC 与 ΔEDB 中，
BD=CD∠ADC=∠BDEAD=DE ，
∴ΔADC≅ΔEDB(SAS) ，
∴EB=AC ，
根据三角形的三边关系得： BE−AB∴2∵AE=2AD ，
∴1中线 AD 的最小整数值是2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出 2<2AD<12 是解此题的关键．
15.【答案】65∘ 或 25∘
【解析】【分析】分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角．
【解答】解：当该三角形为锐角三角形时，如图1，
可求得其顶角为 50∘ ，
则底角为 12×(180∘−50∘)=65∘ ，
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
可求得顶角的外角为 50∘ ，则顶角为 130∘ ，
则底角为 12×(180∘−130∘)=25∘ ．
综上可知该三角形的底角为 65∘ 或 25∘ ．
故答案为： 65∘ 或 25∘ ．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等边对等角和三角形内角和为 180∘ 是解题的关键．
16.【答案】20∘
【解析】【分析】通过作辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质，得到角相等，边相等，根据三角形全等，得到角相等，利用外角的性质列方程求解．
【解答】解：如图延长 AB 到 E 使 BE=AD ，连接 CE ，
∴AE=AD+DB+BE=2AD+BD ，
∵AC=2AD+BD ，
∴AE=AC ， ∵∠A=60∘ ，
∴ΔAEC 是等边三角形，
∴∠E=∠ACE=60∘ ，
∵∠ABC=4∠ACD ，
设 ∠ACD=x ，则 ∠ABC=4x ，
在 ΔADC 与 ΔEBC 中， AD=BE∠A=∠EAC=EC ，
∴ΔADC≅ΔEBC ，
∠ACD=∠ECB=x ，
∴∠ABC=∠E+∠BCE ，
∴4x=60∘+x ， ∴x=20∘ ，
∴∠BCD=60∘−20∘−20∘=20∘ ，
故答案为： 20∘
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，外交的性质，列方程求解等知识点．
17.【答案】8
【解析】【分析】连接 AD ，由于 ΔABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 AD⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再根据 EF 是线段 AB 的垂直平分线可知，点 B 关于直线 EF 的对称点为点 A ，故 AD 的长为 BM+MD 的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接 AD ， AM ，
∵ΔABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，
∴AD⊥BC ，
∴SΔABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12 ，解得 AD=6cm ，
∵EF 是线段 AB 的垂直平分线，
∴ 点 B 关于直线 EF 的对称点为点 A ， AM=BM ，
∴AD 的长为 BM+MD 的最小值，
∴ΔBDM 的周长最短 =(BM+MD)+BD=AD+12BC=6+12×4=6+2=8 ．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是轴对称 − 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
18.【答案】①②④
【解析】【分析】由 SAS 证明 ΔAOC≅ΔBOD 得出 ∠OCA=∠ODB ， AC=BD ，①正确；
由全等三角形的性质得出 ∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得： ∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，得出 ∠AMB=∠AOB=40∘ ，②正确；
作 OG⊥MC 于 G ， OH⊥MB 于 H ，如图所示：则 ∠OGC=∠OHD=90∘ ，由 AAS 证明 ΔOCG≅ΔODH(AAS) ，得出 OG=OH ，由角平分线的判定方法得出 MO 平分 ∠BMC ，④正确；
由 ∠AOB=∠COD ，得出当 ∠DOM=∠AOM 时， OM 才平分 ∠BOC ，假设 ∠DOM=∠AOM ，由 ΔAOC≅ΔBOD 得出 ∠COM=∠BOM ，由 MO 平分 ∠BMC 得出 ∠CMO=∠BMO ，推出 ΔCOM≅ΔBOM ，得 OB=OC ，而 OA=OB ，所以 OA=OC ，而 OA>OC ，故③错误；即可得出结论．
【解答】解： ∵∠AOB=∠COD=40∘ ，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，
即 ∠AOC=∠BOD ，
在 ΔAOC 和 ΔBOD 中， OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD ，
∴ΔAOC≅ΔBOD(SAS) ，
∴∠OCA=∠ODB ， AC=BD ，①正确；
∴∠OAC=∠OBD ，
由三角形的外角性质得： ∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，
∴∠AMB=∠AOB=40∘ ，②正确；
作 OG⊥MC 于 G ， OH⊥MB 于 H ，如图2所示：
则 ∠OGC=∠OHD=90∘ ，
在 ΔOCG 和 ΔODH 中， ∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD ，
∴ΔOCG≅ΔODH(AAS) ，
∴OG=OH ，
∴MO 平分 ∠BMC ，④正确；
∵∠AOB=∠COD ，
∴ 当 ∠DOM=∠AOM 时， OM 才平分 ∠BOC ，
假设 ∠DOM=∠AOM
∵ΔAOC≅ΔBOD ，
∴∠COM=∠BOM ，
∵MO 平分 ∠BMC ，
∴∠CMO=∠BMO ，
在 ΔCOM 和 ΔBOM 中， ∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO ，
∴ΔCOM≅ΔBOM(ASA) ，
∴OB=OC ，
∵OA=OB
∴OA=OC
与 OA>OC 矛盾，
∴ ③错误；
正确的有①②④；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】证明： ∵C 是 AB 的中点，
∴AC=BC ，
在 ΔACE 和 ΔBCD 中，
AE=BD∠A=∠BAC=BC ，
∴ΔACE≅ΔBCD(SAS) ，
∴∠E=∠D ．

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证 ΔACE≅ΔBCD 是解题的关键．
只要证明 ΔACE≅ΔBCD ，根据全等三角形对应角相等的性质即可解题．
20.【答案】【小题1】
证明： ∵AB//CD ，
∴∠ABD=∠EDC ．
在 ΔABD 和 ΔEDC 中，
∠ABD=∠EDC∠1=∠2AD=EC ，
∴ΔABD≅ΔEDC(AAS) ，
【小题2】
∵ΔABD≅ΔEDC ，
∴AB=DE=2 ， BD=CD ，
∴CD=BD=DE+BE=2+3=5 ．

【解析】1. 由“ AAS ”即可证 ΔABD≅ΔEDC
2. 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
结合(1)可得 AB=DE ， BD=CD ，可得结论．
21.【答案】【小题1】
解：如图所示，△ A1B1C1 即为所求；
【小题2】
如图所示，点 Q 即为所求，点 Q 的坐标为 (−3,0) ，
故答案为： (−3,0) ．

【解析】1. 分别找出 A 、 B 、 C 关于 y 轴的对应点位置，再连接即可；
2. 此题主要考查了作图− 轴对称变换，作图时要先找到图形的关键点，再找对称点的对应点位置，再连接即可．
作出点 B 关于 x 轴的对应点，再连接 A 、 B′ ，与 x 轴的交点即为所求．
22.【答案】解： DE=DF ， DE⊥DF ，理由如下：
连接 AD ，
∵AB=AC ， ∠BAC=90∘ ， D 为 BC 的中点，
∴AD=12BC=BD=CD ， ∠BAC=∠CAD=45∘=∠B=∠C ，
在 ΔBDE 和 ΔADF 中，
BD=AD ∠B=∠DAF BE=AF ，
∴ΔBDE≅ΔADF(SAS) ，
∴DE=DF ， ∠BDE=∠ADF ，
∵∠BDE+∠ADE=90∘ ，
∴∠ADF+∠ADE=90∘ ，
即 ∠EDF=90∘ ，
∴DE⊥DF ，
综上， DE=DF ， DE⊥DF ．

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
连接 AD ，由“ SAS ”可证 ΔBDE≅ΔADF ，可得 DE=DF ， ∠BDE=∠ADF ，由余角的性质可得 ∠EDF=90∘ ，可得结论．
23.【答案】【小题1】
∵ΔABC 为等边三角形，
∴AB=CA ， ∠BAE=∠C=60∘ ，
在 ΔADC 与 ΔBEA 中，
AB=CA ∠BAE=∠C AE=CD ，
∴ΔADC≅ΔBEA(SAS) ，
∴∠ABE=∠CAD ，
∴∠BAD+∠ABP=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60∘ ，
∴∠BPQ=∠BAD+∠APD=60∘ ；
【小题2】
由(1)知 ∠BPQ=60∘ ，
∵BQ⊥AD ，
∴∠PBQ=30∘ ，
∴PQ=12BP ，
∵PQ=4 ，
∴BP=8 ，
∴BE=BP+PE=9 ，
∵ΔADC≅ΔBEA ，
∴AD=BE=9 ．

【解析】1. 根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理 SAS 证得 ΔAEB≅ΔCDA ，利用全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得 ∠BPQ=60∘ ；
2. 本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
利用(1)的结果求得 ∠PBQ=30∘ ，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到 2PQ=BP=8 ，根据线段的和差及全等三角形的性质求解即可．
24.【答案】【小题1】
证明：连接 DC ， DB ，
∵DG 是 BC 的垂直平分线，
∴DC=DB ，
∵DE⊥AB ， DF⊥AC ，
∴∠DEB=∠DFC=90∘ ，
在 和 中，
BE=CFDB=DC ，
，
∴DE=DF ，
∵DE⊥AB ， DF⊥AC ，
∴AD 为 ∠CAB 的角平分线；
【小题2】
解：在 和 中，
AD=AD DF=DE ，
，
∴AE=AF ，
，
∴BE=CF ，
∴AB−AE=AF−AC ，
∴AB+AC=AE+AF=2AE ，
∵AB=8 ， AC=6 ，
∴AE=7 ．

【解析】1. 连接 DC ， DB ，根据线段垂直平分线的性质得出 DC=DB ，根据全等三角形的判定定理推出 ，根据全等三角形的性质得出 DE=DF ，根据角平分线性质定理得逆定理即可得解；
2. 本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识点，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
根据全等三角形的性质得出 AE=AF ，根据 BE=CF 求出 AB−AE=AF−AC ，推出 AB+AC=AE+AF=2AE ，再代入求出 AE 即可．
25.【答案】【小题1】
在 ΔABC 中， ∠BAC=75∘ ， ∠ACB=35∘ ，
∴∠ABC=180∘−∠BAC−∠ACB=70∘ ，
∵BD 平分 ∠ABC ，
∴∠DBC=12∠ABD=35∘ ，
∴∠DBC=∠ACB=35∘ ，
∴ΔBCD 为等腰三角形；
【小题2】
证法一：如图2，在 AC 上截取 AH=AB ，连接 EH ，
由(1)得： ΔBCD 为等腰三角形，
∴BD=CD ，
∴BD+AD=CD+AD=AC ，
∵AE 平分 ∠BAC ，
∴∠EAB=∠EAH ，
∴ΔABE≅ΔAHE(SAS) ，
∴BE=EH ， ∠AHE=∠ABE=70∘ ，
∴∠HEC=∠AHE−∠ACB=35∘ ，
∴EH=HC ，
∴AB+BE=AH+HC=AC ，
∴BD+AD=AB+BE ；
证法二：如图3，在 AB 的延长线上取 AF=AC ，连接 EF ，
由(1)得： ΔBCD 为等腰三角形，且 BD=CD ，
∴BD+AD=CD+AD=AC ，
∵AE 平分 ∠BAC ，
∴∠EAF=∠EAC ，
∴ΔAEF≅ΔAEC(SAS) ，
∴∠F=∠C=35∘ ，
∴BF=BE ，
∴AB+BE=AB+BF=AF ，
∴BD+AD=AB+BE ；
【小题3】
探究(2)中的结论不成立，正确结论： BD+AD=BE−AB ，理由是：
如图4，在 BE 上截取 BF=AB ，连接 AF ，
∵∠ABC=70∘ ，
∴∠AFB=∠BAF=35∘ ，
∵∠BAC=75∘ ，
∴∠HAB=105∘ ，
∵AE 平分 ∠HAB ，
∴∠EAB=12∠HAB=52.5∘ ，
∴∠EAF=52.5∘−35∘=17.5∘=∠AEF=17.5∘ ，
∴AF=EF ，
∵∠AFC=∠C=35∘ ，
∴AF=AC=EF ，
∴BE−AB=BE−BF=EF=AC=AD+CD=AD+BD ．

【解析】1. 先根据三角形内角和得： ∠ABC=70∘ ，由角平分线及已知角可得： ∠DBC=∠ACB=35∘ ，可得结论；
2.
证法一：如图2，在 AC 上截取 AH=AB ，连接 EH ，证明 ΔABE≅ΔAHE ，则 BE=EH ， ∠AHE=∠ABE=70∘ ，所以 EH=HC ，得 AB+BE=AH+HC=AC=AD+CD=BD+AD ；
证法二：如图3，在 AB 的延长线上取 AF=AC ，连接 EF ，证明 ΔAEF≅ΔAEC ，则 ∠F=∠C=35∘ ，得 BF=BE ，可得结论；
3. 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理及外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
正确画图4，作辅助线，构建等腰三角形，根据角的大小证明： AF=AC=EF ，由线段的和与差可得结论．
26.【答案】【小题1】
三角形的中线
是
【小题2】
∵EB 的中点 F ，
∴SΔCBF=SΔCEF ，
∵AB//DC ，
∴∠E=∠DCG ，
∵G 是 AD 的中点，
∴DG=AG ，
在 ΔCDG 和 ΔEAG 中，
∠E=∠DCG∠EGA=∠CGDAG=DG
∴ΔCDG≅ΔEAG(AAS) ，
∴SΔAEG=SΔDCG ，
∴S四边形AFCD=SΔCEF ，
∴S四边形AFCD=SΔCBF ，
∴CF 是四边形 ABCD 的二分线．
【小题3】
如图，延长 CB 使 BH=CD ，连接 EH ，
AB=CB=CE=7 ， ∠A=∠C ， ∠CBE=∠CEB ， D ， E 分别是线段 BC ， AC 上的点，且 ∠BED=∠A ，
∵BC=7
∴BD+CD=7
∴BD+BH=7=HD
∵∠BED=∠A ， ∠BED+∠DEC=∠A+∠ABE
∴∠ABE=∠CED ，且 AB=CE=7 ， ∠A=∠C
∴ΔABE≅ΔCED(ASA)
∴AE=CD ， BE=DE ， ∠AEB=∠EDC ， SΔABE=SΔEDC ，
∴AE=BH ，
∵∠CBE=∠CEB
∴∠AEB=∠EBH
∴∠EBH=∠EDC ，且 BE=DE ， BH=CD
∴ΔBEH≅ΔDEC(SAS) 、
∴SΔBEH=SΔDEC ，
∴SΔBEH=SΔDEC=SΔABE ，
∴SΔHED=S四边形ABDE ，
∵EF 是四边形 ABDE 的一条二分线，
∴SΔDEF=12S四边形ABDE=12SΔHED ，
∴DF=12DH=72

【解析】1.
∵ 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
∴ 三角形的中线是三角形的二分线，
故答案为三角形的中线
② ∵AD 是 BC 边上的中线
∴SΔABD=SΔACD=12SΔABC ，
∵SΔAEG=SΔDGF ，
∴S四边形BDGE+SΔAEG=S四边形BDGE+SΔDGF ，
∴SΔBEF=SΔABD=12SΔABC ，
∴EF 是 ΔABC 的一条二分线
故答案为：是
2. 根据 EB 的中点 F ，所以 SΔCBF=SΔCEF ，由 AB//DC ， G 是 AD 的中点，证明 ΔCDG≅ΔEAG ，所以 S四边形AFCD=SΔCEF ，所以 S四边形AFCD=SΔCBF ，可得 CF 是四边形 ABCD 的二分线；
3. 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键．
延长 CB 使 BH=CD ，连接 EH ，通过全等三角形的判定可得 SΔBEH=SΔDEC=SΔABE ，可得 SΔHED=S四边形ABDE ，即可得 DF=12DH=72 ．