人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 拓展七：导数双变量问题的7种考法总结-直击高考考点归纳-讲义

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拓展七：导数双变量问题7种考法总结知识点1 导数的双变量问题导数中有一类问题涉及到两个变量，例如 m 和 n、a和b 、和。显然涉及两个变量的问题我们是不会处理的，如何把两个变量转化为一个变量就成了我们问题解决的关键。方法一：换元法：也是最核心、最常见的方法。就是将式子齐次化，化成形如或的函数，进行了齐次化后可以令或者作为单元，这样就达到了减元的目的。方法二：一般可以通过联立的等式，通过对两式进行相加（相减）等操作，对所求式等进行化简。方法三：消元法：（利用根与系数的关系消元）如果两个变量是一个一元二次方程的根，则可以通过根与系数的关系来消元.通过韦达定理可求或，可以考虑用表示出，或者用表示出。方法四：构造函数法：对于等价双变量不等式问题，我们先令如 ，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为，问题也许就转化成了 的单调性问题。 还有其他的一些方法技巧性较强，我们在后面的题目中进行详细剖析。如：形如 的函数，可结合图像构造函数的切线方程，求斜率；知识点2 参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立问题利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.考点一 利用比值换元1．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数.(1)求出的极值点；(2)证明：对任意两个正实数，且，若，则.2．（2023·四川宜宾·高三统考期中）已知函数，在定义域内有两个不同的极值点(1)求的取值范围；(2)求证：3．（2023秋·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围.（2）设的两个极值点为，证明5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，，证明：考点二 利用差值换元6．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，证明：.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．（1）若，讨论的单调性；（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．8．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个不同零点，求证：.9．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）设函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若（其中），证明：；考点三 利用整体换元10．（2022·全国·高三专题练习）若，令，则的最小值属于（    ）A． B． C． D．11．（2022秋·上海虹口·高三上外附中校考阶段练习）已知函数，若存在，使得，则的最小值为__________.考点四 消元12．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．13．（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知函数，若函数在定义域上有两个极值点，，而且. （1）求实数的取值范围；（2）证明：.14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，在定义域上有两个极值点．(1)求实数a的取值范围；(2)求证:15．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设向量.(1)讨论函数的单调性；(2)设函数，若存在两个极值点，证明：.16．（2023·陕西铜川·校考一模）已知函数．(1)若存在使得成立，求a的取值范围；(2)设函数有两个极值点，且，求证：．考点五 极值点偏移17．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知函数．(1)证明：若，则；(2)证明：若有两个零点，，则．18．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数，且(1)求实数的值(2)若关于的方程有个不同的实数根，，求证：．19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若，求的取值范围；(2)证明：若存在，，使得，则．20．（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，证明：.21．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知函数（）．(1)讨论函数的单调性；(2)若方程有两个不相等的实数根，证明：．考点六 利用同构转化22．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意的，都有，则的最大值为（    ）A．1 B． C． D．23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，则的最大值为______．24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．25．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数.若，，且都有.则实数的取值范围是______.26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围__________.27．（2022秋·浙江杭州·高三统考期中）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若，函数，且，，，求的取值范围．考点七 任意性和存在性问题28．（2023春·山西太原·高二太原市实验中学校考期中）已知函数，，当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.29．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考开学考试）已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数满足，且，则的取值范围为_____．30．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，，且存在，，使得，求实数t的取值范围．31．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）设函数.（1）求函数的递增区间；（2）若对任意，总存在，使得，求实数k的取值范围.