北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.2 一元二次不等式及其解法第2课时教学设计

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.2 一元二次不等式及其解法第2课时教学设计，共9页。教案主要包含了复习引入，新知探究，归纳小结，布置作业，目标检测等内容，欢迎下载使用。

教学目标
掌握含有字母的一元二次不等式问题的处理方法；了解不等式恒成立等综合性问题的解法；掌握简单的分式不等式的解法及应用.
教学重难点
1．含有字母的一元二次不等式问题的处理方法；
2．不等式恒成立等综合性问题的解法；
3．简单的分式不等式的解法.
课前准备
PPT课件
教学过程
一、复习引入
（1）一元二次不等式的解法：先看开口再看根，函数图象是根本，横轴上方y为正，根间根外想谨慎.
问题1：求不等式的解集.
这个不等式和一元二次不等式有什么关系？如何求解？
师生活动：师生一起分析，将展开后，是一元二次不等式，画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集.
追问：你能总结或，其中a＜b的解集吗？
师生活动：学生自己总结反思，写出结论.
二、新知探究
例4.求关于的不等式 QUOTE 的解集（其中是常数）.
问题2：该不等式与不等式有什么不同？这个不同点将使得该不等式的求解发生怎样的变化？
师生活动：学生关注到原不等式可以化简为，a与－1的大小关系不能确定，教师引导学生要分类讨论求解，分类的标准就是a与－1的大小关系，因此可以分三类.
预设的答案：
QUOTE ，对应二次方程两根为
对应抛物线开口向上，小于零的解集是“两根之间”
当 QUOTE 时，不等式的解集为 QUOTE ；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
变式1：求不等式的解集.
追问2：该不等式与例4中的不等式有何异同？又该如何分类求解？
师生活动：学生求得一元二次方程的两个实根，然后根据的大小关系，分三类求解.
预设答案：
解：当，即时，不等式解集为
当，即时，不等式解集为
当，即时，不等式解集为.
追问3：当时，变式1的解集又如何求解？
师生活动：学生思考对参数进行讨论，教师帮助梳理清楚分类标准：首先，该不等式是否为二次的，因此分为a=0和a≠0两类.第二，依据该不等式对应的二次函数图象开口方向不同，分为a＞0和a＜0两类.第三，当a＞0时，根据方程的两个根的大小关系又可以分为三类.
预设答案：
解：当时，不等式可化为，解得
当时，方程的根为
若，则，不等式解为
若a＞0，则
当，即时，不等式解集为
当，即时，不等式解集为
当，即时，不等式解集为
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
变式2：①不等式呢？
师生活动：学生自主思考，教师引导学生观察式子特点和例题的差异，对式子进行变形求解，要求学生紧紧围绕二次函数的特点寻找解题思路.师生一起总结：和例4相同；对应的一元二次方程的解无法确定，为此需要对的取值情况讨论，分三类进行.
预设答案：
解：对于，，所以当，即≤0时，不等式的解集为.
当或，即＞0时，不等式的解集为.
设计意图：通过问题串引导学生根据函数图象得到相应的一元二不等式的解集.学会对于含参的一元二次不等式的分类讨论，理清分类标准的依据，进一步认识一元二次函数，不等式和方程关系的整体性，体会数形结合思想，提高分析问题和解决问题的能力.
2．含参数的一元二次不等式求参数范围
例5. 若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_____
师生活动：教师指导学生借助一元二次函数图象完成.同时强调本题不等式没有说明是二次不等式，因此需要分类讨论.
预设答案：
解：当时，恒成立，因此适合；
当时，要使不等式对一切恒成立，则，解得
综上可知：的取值范围是[0，1].
追问4：若不等式解集为空集时，的取值范围是什么？
师生活动：学生独立完成，之后互相讨论，教师引导学生画出二次函数的简图，在构造不等式时，注意对的分类.
设计意图：从不同角度体会一元二次不等式与一元二次函数与方程根的关系，学会分类讨论，突出体现数形结合的思想及等价转化思想.
初步应用
(1)若不等式 QUOTE 的解集为，求实数的取值范围；
(2)求不等式 QUOTE 的解集；
(3)解关于的不等式 QUOTE .
预设的答案：
(1) 不等式的解集为．
当时，不等式为 QUOTE ，恒成立，所以符合题意；
当时，的解集为，则抛物线的开口只能向上，且 QUOTE ，即 QUOTE 解得.
综上，的取值范围 QUOTE
(2) 不等式 QUOTE 等价于 QUOTE 且 QUOTE ．
如果展开，其二次项系数为负，抛物线开口向下．
所以不等式的解集为 QUOTE .
（3）不等式
当 QUOTE 时，原不等式为 QUOTE ，解集为 QUOTE
当时， 原不等式为 QUOTE ，对应两根为，则
= 1 \* GB3 ①若 QUOTE ，则 QUOTE ，且对应抛物线开口向下，所以解集为 QUOTE
= 2 \* GB3 ②若，对应抛物线开口向上
= 1 \* rman i)，则，所以解集为 QUOTE
= 2 \* rman ii)，则， 所以解集为
= 3 \* rman iii)，则，所以解集为
综上，当 QUOTE 时，不等式解集为 QUOTE
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
【课堂练习一】
1．关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
师生活动：学生独立完成，学生代表做出解答.
预设的答案：D
原不等式可化为，对应方程的二根为，需对分三种情况讨论：
当时，，不等式解集为；
当时，，不等式解集为；
时，，不等式解集为.
故不等式的解集与有关，ABC均不正确.
故选：D.
【课堂练习二】
2．对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．B．
C． D．
师生活动：学生独立完成，学生代表做出解答.
预设的答案：AB
由，分类讨论如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或.
故选：AB.
设计意图：课堂练习主要让学生巩固含参数的一元二次不等式的解法，掌握讨论的依据.课堂练习一、课堂练习二分别从两根关系、二次项系数做出分析讨论.
四、归纳小结，布置作业
问题3：回顾本节内容思考下列三个问题：
1．三个“二次”的关系是什么？
2．求解一元二次不等式的基本步骤？
3．如何对含参的一元二次不等式的分类讨论？
师生活动：教师引导学生回顾本节知识.答案略.
设计意图：帮助学生梳理方法，提升数学运算素养.
作业布置：教材第37页3，4.第40页习题B组1，2.
五、目标检测
1．若，则不等式的解集（ ）
A．B．
C． D．
设计意图：考查学生对含参一元二次不等式解法的掌握情况.
2．已知一元二次不等式的解集为，则不等式解集为_____.
设计意图：考查学生对一元二次不等式逆向问题求解方法的掌握.
3．若集合，则实数的取值范围是___________.
设计意图：本题考查了一元二不等式的解法、集合包含关系判断及应用.
4．已知关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围_______.
设计意图：考查一元二次不等式的解集与判别式的关系，以及分类讨论思想和计算能力.
5．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是_________.
设计意图：此题考查含参的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，及对分类讨论掌握情况.
参考答案：
1．解：因为，所以，不等式的解集.
2．解：已知不等式可知，且2和3是方程的两根，由根与系的关系可知，，解得，所以不等式可以化为，因为，不等式，解得.
3．解：集合，则不等式无解，所以，解得，所以实数的取值范围是.
4．解：①当，即
当时，不等式化为，其解集为空集，因此满足题意；当时，不等式化为，即，其解集不为空集，因此不满足题意，应舍去.
②当，即时
因为关于的不等式的解集为空集．
所以，解得
综上可得：的取值范围是.
5．解：由题恰有2个整数解．
即恰有2个整数解．
所以，即.
当时，不等式解为．
因为，恰有两个整数解，即：1，2．
所以，解得：；
当时，不等式解为．
所以，恰有两个整数解，即：－1，－2．
所以，解得：．
综上所述：.