2024届广州市高三年级调研测试数学试卷及参考答案

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1. 已知复数 满足 , 则
A. 1B. 2C. D.
2. 已知集合 , 则
A. B. C. D.
3. 已知向量 , 若 与 共线, 则向量 在向量 上的投影向量为
A. B. C. D.
4. 已知函数 是奇函数, 则
A. B. C. D.
5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的 《详解九章算法-商功》
中, 后人称为“三角垛”. “三角垛”的最上层有 1 个球, 第二层有 3 个球,第三层有 6 个球, ….. 记各层球数构成数列 , 且 为等差数列, 则数列 的前 100 项和为
A. B. C. D.
6. 直线 与圆 交于 两点, 则 的取值范围为
A. B. C. D.
7. 已知 , 则 的值为
A. B. C. D. 2
8. 若函数 在区间 上存在极小值点, 则 的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共4小题, 每小题5分, 共 20 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得 2 分.
9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排. 现从某小区随机调查了 200 户家庭十月份的用电量 (单位: ), 将数据进行适当分组后 (每组为左闭右开的区间),
A. 图中 的值为 0.015
B. 样本的第 25 百分位数约为 217
C. 样本平均数约为 198.4
D. 在被调查的用户中, 用电量落在 内的户数为 108
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,
过点 的直线 与双曲线 的右支相交于 两点, 则
A. 若 的两条渐近线相互垂直, 则 B. 若 的离心率为 , 则 的实轴长为 1
C. 若 , 则 D. 当 变化时, 周长的最小值为
11. 已知点 是函数 的图象的一个对称中心, 则
A. 是奇函数B.
C. 若 在区间 上有且仅有 2 条对称轴, 则
D. 若 在区间 上单调递减, 则 或
12. 如图, 在棱长为 2 的正方体 中, 已知 分别是棱 , 的中点, 为平面 上的动点, 且直线 与直线 的夹角为 , 则
A. 平面 B. 平面 截正方体所得的截面面积为
C. 点 的轨迹长度为
D. 能放入由平面 分割该正方体所成的两个空间几何体内部 (厚度忽略不计)
的球的半径的最大值为
三、填空题: 本题共4小题, 每小题5分, 共20分.
13. 已知抛物线 的焦点为 , 点 在 上, 轴, 若 ( 为坐标原点) 的面积为 2 , 则
14. 的展开式中 的系数为 (用数字作答).
15. 已知三棱雉 的四个顶点均在同一球面上, 平面 , , 且 与平面 所成角的正弦值为 , 则该球的表面积为
16. 已知函数 恰有两个零点, 则
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (10 分)
设数列 的前 项和为 , 且 .
(1) 求数列 的通项公式;
(2) 范数列 满足 求数列 的前 项和 .
18. (12 分)
如图, 在四棱锥 中, ,三棱锥 的体积为 .
(1) 求点 到平面 的距离;
(2) 若 , 平面 平面 , 点 在线段 上, ,求平面 与平面 夹角的余弦值.
19. (12 分)记 的内角 的对边分别为 ,已知 且 .
(1) 求证: ;
(2) 求 的取值范围.
20. (12 分)
已知函数 .
(1) 当 时, 求曲线 在点 处的切线方程;
(2) 当 时, , 求 的取值范围.
21. (12 分)
杭州亚运会的三个吉样物是琮琮、宸宸和莲莲, 他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖, 分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神, 海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神. 甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物, 方式一: 以盲盒方式购买, 每个盲盒 19 元, 盲盒外观完全相同, 内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个, 只有打开才会知道买到吉祥物的款式, 买到每款吉祥物是等可能的; 方式二: 直接购买吉祥物, 每个 30 元.
（1）甲若以方式一购买吉祥物, 每次购买一个盲盒并打开. 当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时, 用 表示甲购买的次数, 求 的分布列;(2) 为了集齐三款吉祥物, 甲计划先一次性购买盲盒, 且数量不超过 3 个, 若未集齐再直接购买吉祥物, 以所需费用的期望值为决策依据, 甲应一次性购买多少个盲盒?
22. (12 分)
在平面直角坐标系 中, 点 , 点 是平面内的动点. 若以 为直径的圆与圆 内切, 记点 的轨迹为曲线 .
(1) 求 的方程;
(2) 设点 , 直线 分别与曲线 交于点 异于 , 垂足为 , 求 的最小值.
2024届广州市高三年级调研测试数学试题参考答案及评分标准
评分说明:
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.
3. 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数. 选择题不给中间分.
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算骤.
17. 解：（1）因为 ,
当 时, , 则 . 1 分
当 时, , 2 分
(1)一(2)得 , 即 , 3 分所以 是首项为 1 , 公比为 2 的等比数列. 4 分
所以 . .5 分
(2) 因为 , 所以 7 分
所以
.
18. 解: (1)设点 到平面 的距离为 ,则 , .1 分
由题可知 , .2 分所以 ,
故 到平面 的距离为 . .4 分
(2) 取 的中点 , 连接 , 因为 , 所以 ,又平面 平面 , 平面 平面 平面 , , 所以 平面 .
.5 分
由 (1) 知 ..6 分
由题意可得 ,所以 , 故 .
法一 (坐标法) : 以 点为坐标原点, 为 轴, 为 轴, 过 点作 的平行线为 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则 ..7 分
依题意 ,所以 . 8 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 , 得 10 分
又平面 的法向量为 设平面 与平面 的夹角为 , 则
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 . 12 分
法二 (几何法) : 在线段 上取点 , 使得 , 连接 , 过点 作 ,垂足为 , 连接 .因为 , 所以 , .
因为 平面 , 所以 平面 ,