高中数学3.1 函数的概念及其表示精品复习练习题

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1．函数的概念
(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(functin)，记作y=f(x)，xA.
(2)函数的四个特征：
①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
2．函数的三要素
(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).
(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
3．函数的相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
4．区间的概念
设a，b是两个实数，而且a(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
(2)满足不等式a(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
5．函数的表示法
函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
6．抽象函数与复合函数
(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
【题型1 对函数概念的理解】
【方法点拨】
定义法：对于给定的对应关系，判断是否满足函数的概念，即可判断对应关系是否是函数.
【例1】（2021秋•海安市校级月考）下列对应中：
（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；
（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；
（3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z；
（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．
其中，是函数的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（3）（4）
【变式1-1】（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．②
【变式1-2】（2021秋•宾县校级月考）下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（ ）
A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1|
B．A＝B＝R，f(x)=1x
C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3
D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0
【变式1-3】（2021春•九龙坡区期末）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中表示A到B的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 同一函数的判断】
【方法点拨】
对于给定的两个函数，分析两函数的定义域、对应关系是否相同，即可判断两函数是否是同一函数．
【例2】（2022•民勤县校级开学）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
A．y1=x2，y2=(x)2
B．y1＝|x|，y2=x2
C．y1=x2−1x−1，y2＝x+1
D．y1=x+1⋅x−1，y2=x2−1
【变式2-1】（2022•河东区模拟）下列函数与f（x）＝x+1是同一个函数的是（ ）
A．g(x)=3x3+1B．g(x)=x2x+1
C．g(x)=x2+1D．g（x）＝elnx+1
【变式2-2】（2021秋•黑龙江期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（ ）
A．y＝|x|B．y=x2xC．y＝（x）2D．y=3x3
【变式2-3】（2021秋•成都期末）下列函数表示同一函数的是（ ）
A．y＝x+1与y=x2x+1B．y＝x3与y＝（x﹣1）3
C．y＝|x|与y=(x)2D．y＝x0与y=1x0
【题型3 函数的定义域问题】
【方法点拨】
(1)根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式.
(2)已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.
【例3】（2022秋•开福区校级月考）函数f（x）=1x+4−x2的定义域为（ ）
A．[﹣2，2]B．[0，2]C．（0，2]D．[﹣2，0）∪（0，2]
【变式3-1】（2022秋•宛城区校级月考）若函数f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，则函数g(x)=f(x2)x−1的定义域为（ ）
A．[1，4]B．（1，4]C．[1，14]D．（1，14]
【变式3-2】（2022春•疏勒县校级期末）函数y=x−2x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x≥2且x≠0D．x≠0
【变式3-3】（2022春•阎良区校级期末）若函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为R，则a的范围是（ ）
A．[0，4]B．[0，4）C．（0，4]D．（0，4）
【题型4 函数的值域问题】
【方法点拨】
(1)已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，在由函数解析式求解；
(2)已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值或取值范围.
【例4】（2022春•定南县校级月考）函数y=2x−x−1的值域为（ ）
A．(−∞，−158]B．(−∞，−158)C．(158，+∞)D．[158，+∞)
【变式4-1】（2021秋•宁乡市期末）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）
A．y=x2−2x+1B．y=x+2x+1 （x∈（0，+∞））
C．y=1x2+2x+1 （x∈N）D．y=1|x+1|
【变式4-2】（2022春•水富市校级期中）若函数f(x)=x−2+m在区间[a，b]上的值域为[a，b]（b＞a≥2），则实数m的取值范围为（ ）
A．(14，4]B．[14，4]C．(74，2]D．[74，2]
【变式4-3】（2022春•天河区校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函数f(x)=12x2−3x+4(1＜x＜4)，则函数y＝[f（x）]的值域为（ ）
A．[12，32)B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}
【题型5 求函数值或由函数值求参】
【方法点拨】
(1)已知函数解析式求函数值，将自变量代入解析式，求解即可．
(2)由函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解.
【例5】（2021秋•香坊区校级期中）已知函数f(x)={x+1−x+3(x≤1)(x＞1)，则f[f(52)]的值为（ ）
A．52B．32C．12D．−12
【变式5-1】（2022春•祥云县期末）已知函数y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（a）＝10，则a的值是（ ）
A．3或﹣3B．﹣3或5C．﹣3D．3或﹣3或5
【变式5-2】（2021秋•凌河区校级期末）设函数f(x)=12x−1(x≥0)1x(x＜0)，若f（a）＝a，则实数a的值为（ ）
A．±1B．﹣1C．﹣2或﹣1D．±1或﹣2
【变式5-3】（2021秋•库尔勒市校级期末）已知函数f（x）=x，(x≥0)x2，(x＜0)，则f（f（﹣2））的值是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【题型6 函数的表示法】
【方法点拨】
根据函数的三种表示方法的特点，具体问题具体分析，用适合的表示法表示出函数关系.
【例6】（2021•青岛模拟）甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点
【变式6-1】（2021秋•城关区校级期中）给出函数f（x），g（x）如表，则f[g（x）]的值域为（ ）
A．{4，2}B．{1，3}
C．{1，2，3，4}D．以上情况都有可能
【变式6-2】（2021秋•钦州月考）一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，要使总利润达到最大值，则该客车的营运年数是（ ）
A．15B．10C．9D．6
【变式6-3】（2022秋•青羊区校级月考）某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了akm，觉得有点累，休息后沿原路返回bkm（b＜a）．想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．x
1
2
3
4
f（x）
4
3
2
1
x
1
2
3
4
g（x）
1
1
3
3
x（年）
4
6
8
…
y＝ax2+bx+c
7
11
7
…