2024淮安、南通部分学校高三上学期11月期中监测数学含答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．（答案不唯一） 15．5 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．
17．【解】（1），
当，即时，，
此时，的取值集合为．
（2）．
设，因为，所以，
因为在区间上有且仅有1个极值点，
所以，
解得．
18．【解】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以可知，
又因为，所以．
（2）因为是边的中点，所以，
故，故．
由余弦定理得，故，
因为，所以．
又因为，
平方得，
所以，
故的长为．
19．【解】（1）法一：因为，
所以，
所以，
所以是常数列，
所以，
所以．
法二：因为
所以，①
所以，②
②-①，得，
所以，
所以是等差数列，
由得，
所以等差数列的公差，
所以．
（2）．
当为偶数时，
．
当为奇数时，．
所以（或）
20．【解】（1）导函数，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）当时，．
令，解得．
列表如下：
所以当时，取最小值，
所以．
（3）由（2）可知，，当且仅当时，等号成立，
所以，
，
所以．
当时，
．
所以对于任意成立时，整数的最小值为3．
21．【解】（1）连接，
因为是底面半圆弧上的两个三等分点，
所以有，又因为，
所以都为正三角形，
所以，
四边形是菱形，
记与的交点为，
为和的中点，
因为，
所以三角形为正三角形，
所以，所以，
因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，
因为，所以平面．
（2）因为点在底面圆内的射影恰在上，
由（1）知为的中点，为正三角形，所以，
所以底面，
因为四边形是菱形，所以，
即两两互相垂直，
以为正交基底建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则所以
取，则
设直线与平面的所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
22．【解】（1）的定义域为．
由得，，
当时，；当时，；当时，．
故的递增区间为，递减区间为．
（2）将变形为．
令，则上式变为，
即有，
于是命题转换为证明：．
不妨设，由（1）知．
要证，
即证，
由于在上单调递减，故即证，
由于，故即证，
即证在上恒成立．
令，
则，
，
所以在区间内单调递增，
所以，即成立．
所以．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
A
C
B
A
C
题号
9
10
11
12
答案
BC
BD
ACD
BCD
1
-
0
+
极小值