2023-2024学年湖北省宜昌市第一中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省宜昌市第一中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知复数z=2+i，其中i是虚数单位，则z的虚部为( )
A. 2B. −iC. 1D. −1
2.已知空间向量a=(0,1,2)，b=(−1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量是( )
A. (−13,23,23)B. (−23,43,43)C. (−2,4,4)D. (−43,23,23)
3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币反面向上”，事件B=“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是( )
A. A与B为互斥事件B. P(A)=P(B)=14
C. A与B为相互独立事件D. A与B互为对立事件
4.直线l:xm+yn=1过点A(2,3)，则直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积最小值为( )
A. 6B. 12C. 18D. 24
5.贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的9倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为3:3:5，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为( )
A. 3:9:25B. 9:21:35C. 3:39:65D. 9:39:65
6.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，4，x，7，8，若该组数据的第60百分位数是众数的74倍，则该组数据的方差是( )
A. 5B. 367C. 377D. 387
7.已知△ABC满足2lnsinB=lnsinA+lnsinC，且两条直线方程分别为l1:xsin2A+ysinA+a=0，l2:xsin2B+ysinC+c=0，试判断两条直线位置关系是( )
A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交且不垂直
8.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)的直线l方程为x−x0a=y−y0b=z−z0c，经过点P(x0,y0,z0)且法向量为n=(λ,μ,ω)的平面方程为λ(x−x0)+μ(y−y0)+ω(z−z0)=0，已知：在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(0,0,1)的直线l方程为x2=y=1−z，经过点P的平面α的方程为x+y+2z−2=0，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )
A. 16B. 15C. 56D. 1114
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若十个学生参加知识竞赛的得分分别为90，82，87，93，90，92，88，87，90，85，则下列说法正确的是( )
A. 极差为11B. 众数为90C. 平均数为88D. 中位数是90
10.已知点P(2,3)与直线l:x−y+2=0，下列说法正确的是( )
A. 过点P且直线l平行的直线方程为x−y+1=0
B. 过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
C. 点P关于直线l的对称点坐标为(1,4)
D. 直线l关于点P对称的直线方程为x−y=0
11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥SO的侧面积为8 2π
B. 三棱锥S−ABC体积的最大值为83
C. ∠SAB的取值范围是(π4,π3)
D. 若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2( 3+1)
12.已知⊙O的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，下列说法正确的是( )
A. 四边形ABCD的面积为8 3
B. 该外接圆的直径为2 213
C. BO⋅CD=−4
D. 过点D作DF⊥BC交BC于点F，则DO⋅DF=8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0∼9之间随机整数的20组如下：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 237 989
通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.
14.平行于直线l:3x+4y−2=0，且与 l的距离是1的直线方程为__________.
15.已知圆柱体体积是1，设M，N分别是圆柱的上、下底面的中心，以圆柱的两底面作为圆锥体的底面，以M，N分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，则这两个圆锥体公共部分的体积是__________.
16.如图，已知△ABC为等边三角形，点 G是△ABC的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段 AC交于点E.设AD=λAB，AE=μAC，且λμ≠0.设△ADE的周长为c1，△ABC的周长为c2，设t=λμ，记f(t)=c1c2−t，则1λ+1μ=__________，f(t)的值域为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知坐标平面内两点M(m+3,3m+5)，N(2m−1,1).
(1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围;
(2)若直线MN的方向向量为a=(1,−2023)，求m的值.
18.在△ABC中，角 A， B， C的对边分别为a， b， c，且acsB=2ccsB−bcsA.
(1)求B;
(2)若b=3，BD为角B的平分线，点D在AC.上，且BD=2，求△ABC的面积.
19.某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了60名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值，以及该组数据的众数和中位数;
(2)若采用分层随机抽样的方法，从成绩在[60,70),[80,90)和[90,100]的三组中抽取6人，再从这6人中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率.
20.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60∘，我们将这种坐标系称为“斜60∘坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60∘坐标系”下向量的斜60∘坐标：i，j，k分别为“斜60∘坐标系”下三条数轴(x轴，y轴，z轴)正方向上的单位向量，若向量n=xi+yj+zk，则n与有序实数组[x,y,z]一一对应，称向量n的斜60∘坐标为[x,y,z]，记作n=[x,y,z].
(1)若a=[1,2,3]，b=[−1,1,2]，求a+b的斜60∘坐标;
(2)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60∘，建立“空间斜60∘坐标系”如下图所示.
①若BE=EB1，求向量ED1的斜60∘坐标;
②若AM=[3,t,0]，且AM⊥AC1，求|AM|.
21.如图，由直三棱柱ABC−A1B1C1和四棱锥D−BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90∘，AB=1，BC=BB1=2，DC1=DC= 5，平面CC1D⊥平面ACC1A1.
(1)M为三角形DCC1内(含边界)的一个动点，且AM⊥DC1，求M的轨迹的长度;
(2)在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成角的正弦值为 34?若存在，求BPBC的值;若不存在，说明理由.
22.如图所示， P是以AB为直径的圆的下半圆弧上的一动点(异于A、B两点)，C、D分别为A、B在过点P的直线l上的射影(A、B在直线l的上方)，记∠ABP=α，∠PBD=β，且i||直线l.
(1)若AB=2，求△ABP面积S的最大值及S取得最大值时α的值;
(2)若AB=2，用m表示向量AP、PB在向量i方向上的投影向量的模长之和，试问α、β满足什么条件时， m有最大值?
(3)若AC=1，BD= 3，β=10∘，求AP−BP的值.
湖北省宜昌一中2023-2024学年第一学期期中考试试题
高二数学参考答案
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数的概念，共轭复数的定义，属于基础题.
由题意，先求出 z，进而可得其虚部.
【解答】
解：∵z=2−i，
∴z的虚部是−1.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量的投影向量，属于基础题.
利用投影向量的定义即可求解.
【解答】解：由题意，得a⋅b=0×−1+1×2+2×2=6，b= −12+22+22=3
则向量a在向量b上的投影向量是a⋅b|b|bb=2b3=(−23,43,43).
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查事件的判断，考查古典概率的计算，属基础题.
确定全部事件和A，B，AB事件，再逐个判断即可.
【解答】
解：抛掷两枚质地均匀的硬币的全部事件：
(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，
事件A=“第一枚硬币反面向上”包括(反，正)，(反，反)，共2个，
事件B=“第二枚硬币正面向上"包括(反，正)，(正，正)，共2个，
事件AB包括(反，正)，共1个，
因为A与B有公共事件(反，正)，
故A与B为不是互斥事件，也不是对立事件
P(A)=24=12,P(B)=24=12,P(AB)=14
满足P(AB)=14=P(A)P(B)，故A与B为相互独立事件
故选C.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线的截距式方程的应用，利用基本不等式求最值，属中档题．
根据已知可得 2n+3m=mn，l与x、y正半轴围成的三角形的面积为 12mn =122n+3m，利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件.
【解答】
解：因为直线l： xm+yn=1过点 A(2,3)，
则 2m+3n=1，即 2n+3m=mn，
则直线l与x、y正半轴的交点坐标分别为(m,0)，(0,n)，且m>0，n>0，
直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积为 12mn =122n+3m，
因为 2n+3m=2n+3m×2m+3n=4nm+9mn+12≥2 4nm×9mn+12=24，
当且仅当2n=3m(即m=4，n=6)时等号成立，
所以直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积最小值为12.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了棱柱与棱台体积求解，属于中档题.
设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3 m ，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.
【解答】
解：设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3 m ，由上到下的三个几何体体积分别记为 V1,V2,V3 ，
则 V1=3mS ，
V2=13(S+9S+ 9S2)×3m=13mS ，
V3=13(S+9S+ 9S2)×5m=653mS ，
所以 V1:V2:V3=3mS:13mS:653mS=9:39:65
故选：D

6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一组数据的百分位数、方差和众数，考查运算求解能力，是基础题．
该组数据的第60百分位数是众数的74倍，求出x=7，从而该组数据的平均数为x−=5，由此能求出该组数据的方差．
【解答】解：一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，4，x，7，8，
该组数据的第60百分位数是众数的74倍，
∴x=4×74，解得x=7，
∴该组数据的平均数为x−=17(1+4+4+4+7+7+8)=5，
∴该组数据的方差是S2=17[(1−5)2+(4−5)2+(4−5)2+(4−5)2+(7−5)2+(7−5)2+(8−5)2]=367.
故选B.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查判断两条直线位置关系，涉及正弦定理，属于基础题.
由对数运算得sin2B=sinAsinC，且sinA，sinB，sinC>0，再利用正弦定理判断两直线的位置关系.
【解答】
解：因为△ABC满足2lnsinB=lnsinA+lnsinC，
则lnsin2B=ln(sinAsinC)，则sin2B=sinAsinC，且sinA，sinB，sinC>0
直线l1：xsin2A+ysinA+a=0与直线l2：xsin2B+ysinC+c=0的方程分别化为：
y=−xsinA−asinA， y=−xsin2BsinC−csinC.
即直线l1和直线l2的斜率分别为k1=−sinA，k2=−sin2BsinC.
∴k1=k2,又由正弦定理知asinA=csinC.
∴此两条直线重合．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线与平面成角问题，属于中档题．
根据题意，求出平面α的法向量，直线l的方向向量，再计算直线l与平面α所成角的正弦值即可．
【解答】
解：由题意知，平面α的方程为x+y+2(z−1)=0，直线l方程为 x−02=y−01=z−1−1，
所以平面α的法向量为 m=(1,1,2)，直线l的方向向量为 n=(2,1,−1)，
所以直线l与平面α所成角的正弦值为 |m⋅n||m|⋅|n|=1 6⋅ 6=16.
故选A.
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了极差、中位数、众数和平均数的知识，掌握各知识点的概念是解题的关键.
根据极差、中位数、众数和平均数的概念分别进行求解，即可得出答案.
【解答】
解：A、这组数据的极差是93−82=11，正确;
B、这组数据的众数是90，正确;
C、这组数据的平均数是90+82+87+93+90+92+88+87+90+8510=88.4，错误;
D、将这组数据从小到大排列：82，85，87，87，88，90，90，90，92，93，
这组数据的中位数是88+902=89，错误.
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查利用待定系数法求直线方程，训练了点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的方程的求法，属中档题．
【解答】
解：对于A：过点P且直线l平行的直线方程为x−y+m=0，
则2−3+m=0，则m=1，即直线方程为x−y+1=0，故A正确；
对于B：当直线不过原点时，过点P且截距相等的直线为x+y=m，则m=5，即x+y=5，此时与直线l一定垂直，
当直线过原点时，此时直线为y=32x，不与直线l垂直，故B错误；
对于C：设点P关于直线l的对称点坐标为Q(a,b)，
可得a+22−3+b2+2=0，①
斜率 b−3a−2=−1，②．
由①②解得：a=1，b=4.
则点P关于直线l的对称点坐标为(1,4)，故C正确；
对于D：直线l关于点P对称直线方程为x−y+b=0，
由题意， |2−3+2| 2=|2−3+b| 2，得b=0或b=2(舍去).
∴直线方程为x−y=0，故D正确．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查圆锥的几何性质，空间几何体中的最值问题，属于中档题
解题时根据圆锥侧面积公式可判断A，
根据三棱锥体积公式判断B，
利用特殊值判断C，
通过翻折计算判断D.
【解答】
解：易知圆锥母线长为 l= 22+22=2 2
A：圆锥 SO的侧面积 S=12×2π×2×2 2=4 2π，故A错误；
B：因为三棱锥 S−ABC高为定值，所以底面三角形ABC面积最大时，体积最大，
即此时B到AC距离最大，BO与AC垂直时最大，
此时 VS−ABC=13×2×12×2×4=83，故B对；
C：当AB=l=2 2