数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式学案及答案

这是一份数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式学案及答案，共5页。学案主要包含了学习目标，问题探究等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】 (1)熟练掌握基本不等式及其变形的应用．(2)基本不等式在解决实际问题中的应用．
题型 1基本不等式在生活中的应用
【问题探究】 课前每名同学准备一段铁丝，如何把这段铁丝折成一个面积最大的矩形？
例1 如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日．灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图象便不断走动，因剪纸图象为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯．现打算做一个体积为96 000 cm3的如图长方体状的走马灯(题中不考虑木料的厚薄粗细)．
(1)若底面大矩形的周长为160 cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？
(2)若灯笼高为40 cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？
题后师说
利用基本不等式解决实际问题的步骤
跟踪训练1 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．
题型 2基本不等式在几何中的应用
例2 如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x.
(1)用x表示DP，并求出x的取值范围；
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值．
学霸笔记：在实际问题中利用基本不等式求最值时，要特别注意使用基本不等式的条件“一正”(要求字母为正数)、“二定”(不等式的另一边必须为定值)、“三相等”(等号取得的条件)，满足这三条才能应用，否则会出现错误．

跟踪训练2如图，已知在一个半径为r的半圆形铁板中，截取一块矩形ABCD，使得矩形的顶点A、B在半圆的直径上，C、D在半圆弧上，若矩形ABCD的面积最大时，其最大值是________．
随堂练习
1.某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买m台设备的总成本为f(m)＝m2＋m＋200(单位：万元)．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备( )
A．100台 B．200台
C．300台 D．400台
2．为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为( )
A．30米 B．50米 C．80米 D．110米
3．欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长、宽分别为( )
A．15 m， m B．15 m， m
C．7 m， m D．7 m， m
4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________ m，面积最大为________ m2.
课堂小结
1.利用基本不等式求解实际问题，注意生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围．
2．利用基本不等式求解实际问题，切记利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等．
第2课时 基本不等式的实际应用
问题探究 提示：设矩形的边长分别为x，y，则周长C＝2x＋2y，∴x＋y＝，∴面积S＝xy≤＝，当且仅当x＝y＝时，等号成立．
例1 解析：
(1)设大矩形的长为x，宽为y，
依题有：2(x＋y)＝160，即x＋y＝80，则S＝xy≤＝1 600，
当且仅当x＝y＝40时，底面矩形面积最大．
(2)依题有S＝xy＝＝2 400，
框架用料最少等价于底面用料为2x＋3y最小即可，
2x＋3y≥2＝240，当2x＝3y，即y＝40，x＝60时取等号，
故当长为60 cm、宽为40 cm时，用料最少．
跟踪训练1 解析：设污水处理池的长为x米，则宽为米．
总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200
＝800×(x＋)＋12 000
≥1 600 ＋12 000
＝36 000(元)
当且仅当x＝(x>0)，
即x＝15时等号成立．
例2 解析：(1)矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，
∵AB＝x，∴AD＝－x＝12－x，
∵AB>BC＝AD，得x>12－x，
∴6在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB′，
∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，
在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，
∴DP＝12－(6(2)在Rt△ADP中，
S△ADP＝AD·DP＝(12－x)·(12－)＝108－(6x＋)(6∵6∴6x＋≥2 ＝72，当且仅当6x＝，即x＝6时，等号成立．
∴S△ADP＝108－(6x＋)≤108－72，
∴当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72.
跟踪训练2 解析：
设BC＝x，连结OC，得OB＝，所以AB＝2，所以矩形ABCD面积S＝2x，x∈(0，r)，S＝2x＝2≤x2＋r2－x2＝r2.当且仅当x2＝r2－x2，即x＝r时取等号，此时ymax＝r2.
答案：r2
[随堂练习]
1．解析：由题意，＝m＋1＋≥2 ＋1＝3，当且仅当＝，即m＝200时，等号成立，所以应购买200台，使得每台设备的平均成本最低．故选B.
答案：B
2．解析：设该矩形区域的长为x米，则宽为米，则所用警戒线的长度为2(＋x)≥2×2 ＝80米，当且仅当＝x，即x＝20时，取等号．则所用警戒线的长度的最小值为80米．故选C.
答案：C
3．解析：设矩形的长为x(0答案：A
4．解析：设矩形的宽为y，由三角形相似得：＝，0答案：20 400