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人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.1 统计5.1.2 数据的数字特征第2课时精练
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1．随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )
A．7.2元，0.56元2B．7.2元，元C．7元，0.6元2D．7元，元
2．如果数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．设数据是郑州市普通职工个人的年收入，若这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
4．样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( )
A．B．C．D．2
5．一组数据从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为（ ）
A．9B．4C．3D．2
二.填空题
6．乐乐家共有七人，已知今年这七人岁数的众数为、平均数为、中位数为、标准差为。则年后，下列说法中正确的有__________（请把所有正确结论的序号写出）
①这七人岁数的众数变为； ②这七人岁数的平均数变为；
③这七人岁数的中位数变为； ④这七人岁数的标准差变为.
7．同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低;反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列 ,满足,则_____(结论用数学式子表示)
8．在过去的184天里，我们走过了一段成功、精彩、难忘的世博之旅，190个国家、56个国际组织以及中外企业踊跃参展，200多万志愿者无私奉献，7308万参观者流连忘返，网上世博永不落幕，这一切共同铸就了上海世博会的辉煌.这段美好的时光将永远在我们心中珍藏！以下是国庆七天长假里入园人数部分统计表(入园人数单位：万人)
若这七天入园人数的平均值比总体平均值少4.37万，则这七天入园人数的中位数为_________．（精确到0.01万人）
参考数据：25.40+44.75+43.13+43.21+29.84+21.92=208.25
三、解答题
9．某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：
（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作，平均值记作，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；
（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；
（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01）
10．有20种不同的零食，每100g可食部分包含的能量（单位：kJ）如下：
110 120 123 165 432 190 174 235 428 318
249 280 162 146 210 120 123 120 150 140
（1）以上述20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差
（2）设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本.
（3）利用上面的抽样方法，再抽取容量为7的样本，这个样本的平均数和标准差与（2）中的结果一样吗？为什么？
（4）利用（2）中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10,13,16,19的样本，分析样本容量与样本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系.
【提升练习】
1．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
2．已知甲组数据：156，，165，174，162，乙组数据：159，178，，161，167，其中，.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则（ ）
A．8B．10C．11D．12
3．已知是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，，这四个数据的平均数为1，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．不存在
4．2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
5．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班，如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”，这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：
初一年级 平均值为2，方差为2
初二年级 平均值为1，方差大于0
高一年级 中位数为3，众数为4
高二年级 平均值为3，中位数为4
从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（ ）
A．初一年级B．初二年级C．高一年级D．高二年级
6．2020年年初，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为，，，，（单位：十万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.
7．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值______，病人等待时间方差的估计值______.
8．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
9．，，三班共有140名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）
（1）试估计班的学生人数；
（2）再从，，三班中各随机抽取一名学生，设新抽取的学生该周锻炼时间分别为7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不需要证明）.
10．某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并分成了以下几组（单位：万元）：，，，，，.统计结果如下表所示（统计表中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）：
（1）求这100天该大型超市日纯利润的平均数及中位数；
（2）利用上述样本分布估计总体分布，解决下面问题：该大型超市总经理根据每天的纯利润给员工制定了两种奖励方案：
方案一：记日纯利润为万元，当时，奖励每位员工40元/天；当时，奖励每位员工80元/天；当时，奖励每位员工120元/天；
方案二：日纯利润低于总体中位数时每名员工发放奖金50元/天，日纯利润不低于总体中位数时每名员工发放80元奖金/天；
“小张恰好为该大型超市的一位员工，则从统计角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？
5.1.2数据的数字特征(2)
【基础练习】
1．随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )
A．7.2元，0.56元2B．7.2元，元C．7元，0.6元2D．7元，元
【答案】A
【解析】
【详解】
先计算这50个学生午餐费的平均值是，
所以方差是,故选A．
2．如果数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【解析】
根据平均数的概念，其平均数为，方差为，故选C.
3．设数据是郑州市普通职工个人的年收入，若这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【答案】B
【解析】
∵数据x1，x2，x3，…，xn是郑州普通职工n(n⩾3,n∈N∗)个人的年收入，
而xn+1为世界首富的年收入
则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，
故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.
故选B
4．样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( )
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】
依题意得m＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s2＝ (12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.选D
5．一组数据从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为（ ）
A．9B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】
由题意得该组数据的中位数为；众数为2．
∴，
∴．
∴该组数据的平均数为，
∴该组数据的方差为
，
∴该组数据的标准差为3．
故选C．
二.填空题
6．乐乐家共有七人，已知今年这七人岁数的众数为、平均数为、中位数为、标准差为。则年后，下列说法中正确的有__________（请把所有正确结论的序号写出）
①这七人岁数的众数变为；
②这七人岁数的平均数变为；
③这七人岁数的中位数变为；
④这七人岁数的标准差变为.
【答案】①②③
【解析】
根据众数、平均数、中位数概念得年后，相应增加5，而标准差不变.
所以这七人岁数的众数变为；平均数变为；中位数变为；标准差不变为.
即正确的有①②③.
7．同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低;反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列 ,满足,则_____(结论用数学式子表示)
【答案】（），（）
【解析】
根据平均数的公式可以知道,一组数据若是按照从小到大的顺序排列起来,可以做出这组数据的平均数,如果把这组数据中的一部分较小的数据去掉,则这组数据的平均数减小,若把这写数据中的较大的一些数据去掉,则这组数据的平均数增大,
故答案为: （），（）
8．在过去的184天里，我们走过了一段成功、精彩、难忘的世博之旅，190个国家、56个国际组织以及中外企业踊跃参展，200多万志愿者无私奉献，7308万参观者流连忘返，网上世博永不落幕，这一切共同铸就了上海世博会的辉煌.这段美好的时光将永远在我们心中珍藏！以下是国庆七天长假里入园人数部分统计表(入园人数单位：万人)
若这七天入园人数的平均值比总体平均值少4.37万，则这七天入园人数的中位数为_________．（精确到0.01万人）
参考数据：25.40+44.75+43.13+43.21+29.84+21.92=208.25
【答案】
【解析】
因为总体平均值是,
七天入园人数的平均值比总体平均值少4.37万,
七天入园人数的平均值是
,
七个数据从小到大排列为:21.92,25.40,29.84,39.20,43.13,43.21,44.75
中位数是39.20
故答案为39.20
三、解答题
9．某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：
（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作，平均值记作，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；
（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；
（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01）
【答案】（1）；（2）；（3）平均数4.30人，方差
【解析】
解：（1）由方差的计算公式得：
人口数方差为；
（2）263户家庭，则中位数为第户家庭的人口数，
，，
所以中位数为4；
（3）平均数：
，
标准差：
10．有20种不同的零食，每100g可食部分包含的能量（单位：kJ）如下：
110 120 123 165 432 190 174 235 428 318
249 280 162 146 210 120 123 120 150 140
（1）以上述20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差
（2）设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本.
（3）利用上面的抽样方法，再抽取容量为7的样本，这个样本的平均数和标准差与（2）中的结果一样吗？为什么？
（4）利用（2）中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10,13,16,19的样本，分析样本容量与样本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系.
【答案】（1）平均数为199.75，总体标准差为95.26；（2）抓阄法；（3）（2）和（3）的计算结果不相同的概率相当大，而相同的概率很小；（4）由于样本的随机性，也有极个别（小概率）的例外情况.
【解析】
（1）总体平均数为199.75.
总体标准差为95.26.
（2）可以使用抓阄法进行抽样.
（3）由样本的随机性，知（2）和（3）的计算结果不相同的概率相当大，而相同的概率很小.
（4）随着样本容量的增加，分别用样本平均数和样本标准差估计总体平均数和总体标准差的效果会越来越好（即精度会越来越高）.但是由于样本的随机性，也有极个别（小概率）的例外情况.
【提升练习】
1．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
【答案】A
【解析】
由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.
本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，
根据方差公式可知方差不变.
2．已知甲组数据：156，，165，174，162，乙组数据：159，178，，161，167，其中，.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则（ ）
A．8B．10C．11D．12
【答案】A
【解析】
由题知：，，
将甲组数据从小到大排列得：156，162，165，，174，故中位数为165；
要使两组数据的中位数相同，将乙组数据从小到大排列得：159，161，，167，178，所以，故；
所以乙组数据为：159，178，165，161，167，平均数为，
甲组数据的平均数为 ，解之得：，
所以.
故选：A.
3．已知是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，，这四个数据的平均数为1，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】A
【解析】
是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，则；
1，3，，这四个数据的平均数为1，
，
；
；
，，；
是单调增函数，
的最小值是（3）．
故选：
4．2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
【答案】A
【解析】
A．去掉最高分、最低分后，中位数仍旧是处于中间位置（从小到大排列）的那个数，不发生改变；
B．去掉最高分、最低分后，平均数是否发生改变与去掉的分数有关，不能确定是否变化；
C．去掉最高分、最低分后，方差的确定和平均数、数据个数有关，因此方差也不确定；
D．去掉最高分、最低分后，极差可能发生改变，亦可能不改变.
故选：A.
5．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班，如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”，这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：
初一年级 平均值为2，方差为2
初二年级 平均值为1，方差大于0
高一年级 中位数为3，众数为4
高二年级 平均值为3，中位数为4
从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（ ）
A．初一年级B．初二年级C．高一年级D．高二年级
【答案】A
【解析】
能反应“学生视力保护达标年级”的是平均值和方差；平均值反应数据的平均水平，方差反应数据的波动大小，方差越大，波动越大.
高一年级，知道中位数与众数，不能判断出是否达标，高二年级知道平均数与中位数，也不能判断是否达标；故排除CD；
初二年级，方差大于0，但不确定具体取值，因此初二年级也不能判断是否达标；
初一年级，平均数和方差均为2，满足题意，因为若有一个数据大于5，方差必然大于2.
故选A
6．2020年年初，口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为，，，，（单位：十万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.
【答案】1.6
【解析】
依题意，得.
设，，，，的平均数为，
根据方差的计算公式有
.
，
即，
.
故答案为：1.6
7．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值______，病人等待时间方差的估计值______.
【答案】9.5 28.5
【解析】
（1）；
（2）
故答案为：（1）9.5；（2）28.5
8．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
【答案】①③
【解析】
①甲地：个数据的中位数为，众数为，根据数据得出：甲地连续天的日平均温度的记录数据可能为：、、、、，其连续天的日平均气温均不低于；
②乙地：个数据的中位数为，总体均值为，当个数据为、、、、，可知其连续天的日平均温度有低于，故不确定；
③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，若有低于，假设取，此时方差就超出了，可知其连续天的日平均温度均不低于，如、、、、，这组数据的平均值为，方差为，但是进一步扩大方差就会超过，故③对．
则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．
9．，，三班共有140名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）
（1）试估计班的学生人数；
（2）再从，，三班中各随机抽取一名学生，设新抽取的学生该周锻炼时间分别为7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不需要证明）.
【答案】（1）60； (2) .
【解析】
由题意得：三个班共抽取14个学生，其中班抽取6个，故抽样比，
故班有学生人.
（2）．
10．某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并分成了以下几组（单位：万元）：，，，，，.统计结果如下表所示（统计表中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）：
（1）求这100天该大型超市日纯利润的平均数及中位数；
（2）利用上述样本分布估计总体分布，解决下面问题：该大型超市总经理根据每天的纯利润给员工制定了两种奖励方案：
方案一：记日纯利润为万元，当时，奖励每位员工40元/天；当时，奖励每位员工80元/天；当时，奖励每位员工120元/天；
方案二：日纯利润低于总体中位数时每名员工发放奖金50元/天，日纯利润不低于总体中位数时每名员工发放80元奖金/天；
“小张恰好为该大型超市的一位员工，则从统计角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？
【答案】（1）平均数为6.85万元，中位数为万元；（2）方案一
【解析】
（1）这100天该大型超市日纯利润的平均数为：
（万元）.
前2组频率之和为，前3组频率之和为，
故中位数位于第3组.
设中位数为，则有，解得，
即这100天该大型超市日纯利润的中位数为万元.
（2）设选择方案一时小张每天的奖金为元，
则的可能取值为40，80，120，其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，
所以获得奖金的平均数（元）.
设选择方案二时小张每天的奖金为元，
则获得奖金的平均数（元）.
因为，所以从统计角度看，小张选择方案一更有利.
餐费（元）
6
7
8
人数
10
20
20
日期
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
入园人数
25.40
X
44.75
43.13
43.21
29.84
21.92
家庭人口数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
家庭数
20
29
48
50
46
36
19
8
4
3
等待时间/分
频数
6.5
7
7.5
7
8
9
10
11
4.5
6
7.5
9
10.5
12
组别
频数
5
20
30
30
10
5
餐费（元）
6
7
8
人数
10
20
20
日期
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
入园人数
25.40
X
44.75
43.13
43.21
29.84
21.92
家庭人口数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
家庭数
20
29
48
50
46
36
19
8
4
3
等待时间/分
频数
6.5
7
7.5
7
8
9
10
11
4.5
6
7.5
9
10.5
12
组别
频数
5
20
30
30
10
5
1．随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )
A．7.2元，0.56元2B．7.2元，元C．7元，0.6元2D．7元，元
2．如果数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．设数据是郑州市普通职工个人的年收入，若这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
4．样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( )
A．B．C．D．2
5．一组数据从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为（ ）
A．9B．4C．3D．2
二.填空题
6．乐乐家共有七人，已知今年这七人岁数的众数为、平均数为、中位数为、标准差为。则年后，下列说法中正确的有__________（请把所有正确结论的序号写出）
①这七人岁数的众数变为； ②这七人岁数的平均数变为；
③这七人岁数的中位数变为； ④这七人岁数的标准差变为.
7．同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低;反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列 ,满足,则_____(结论用数学式子表示)
8．在过去的184天里，我们走过了一段成功、精彩、难忘的世博之旅，190个国家、56个国际组织以及中外企业踊跃参展，200多万志愿者无私奉献，7308万参观者流连忘返，网上世博永不落幕，这一切共同铸就了上海世博会的辉煌.这段美好的时光将永远在我们心中珍藏！以下是国庆七天长假里入园人数部分统计表(入园人数单位：万人)
若这七天入园人数的平均值比总体平均值少4.37万，则这七天入园人数的中位数为_________．（精确到0.01万人）
参考数据：25.40+44.75+43.13+43.21+29.84+21.92=208.25
三、解答题
9．某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：
（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作，平均值记作，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；
（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；
（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01）
10．有20种不同的零食，每100g可食部分包含的能量（单位：kJ）如下：
110 120 123 165 432 190 174 235 428 318
249 280 162 146 210 120 123 120 150 140
（1）以上述20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差
（2）设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本.
（3）利用上面的抽样方法，再抽取容量为7的样本，这个样本的平均数和标准差与（2）中的结果一样吗？为什么？
（4）利用（2）中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10,13,16,19的样本，分析样本容量与样本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系.
【提升练习】
1．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
2．已知甲组数据：156，，165，174，162，乙组数据：159，178，，161，167，其中，.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则（ ）
A．8B．10C．11D．12
3．已知是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，，这四个数据的平均数为1，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．不存在
4．2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
5．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班，如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”，这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：
初一年级 平均值为2，方差为2
初二年级 平均值为1，方差大于0
高一年级 中位数为3，众数为4
高二年级 平均值为3，中位数为4
从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（ ）
A．初一年级B．初二年级C．高一年级D．高二年级
6．2020年年初，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为，，，，（单位：十万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.
7．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值______，病人等待时间方差的估计值______.
8．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
9．，，三班共有140名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）
（1）试估计班的学生人数；
（2）再从，，三班中各随机抽取一名学生，设新抽取的学生该周锻炼时间分别为7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不需要证明）.
10．某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并分成了以下几组（单位：万元）：，，，，，.统计结果如下表所示（统计表中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）：
（1）求这100天该大型超市日纯利润的平均数及中位数；
（2）利用上述样本分布估计总体分布，解决下面问题：该大型超市总经理根据每天的纯利润给员工制定了两种奖励方案：
方案一：记日纯利润为万元，当时，奖励每位员工40元/天；当时，奖励每位员工80元/天；当时，奖励每位员工120元/天；
方案二：日纯利润低于总体中位数时每名员工发放奖金50元/天，日纯利润不低于总体中位数时每名员工发放80元奖金/天；
“小张恰好为该大型超市的一位员工，则从统计角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？
5.1.2数据的数字特征(2)
【基础练习】
1．随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )
A．7.2元，0.56元2B．7.2元，元C．7元，0.6元2D．7元，元
【答案】A
【解析】
【详解】
先计算这50个学生午餐费的平均值是，
所以方差是,故选A．
2．如果数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【解析】
根据平均数的概念，其平均数为，方差为，故选C.
3．设数据是郑州市普通职工个人的年收入，若这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【答案】B
【解析】
∵数据x1，x2，x3，…，xn是郑州普通职工n(n⩾3,n∈N∗)个人的年收入，
而xn+1为世界首富的年收入
则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，
故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.
故选B
4．样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( )
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】
依题意得m＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s2＝ (12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.选D
5．一组数据从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为（ ）
A．9B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】
由题意得该组数据的中位数为；众数为2．
∴，
∴．
∴该组数据的平均数为，
∴该组数据的方差为
，
∴该组数据的标准差为3．
故选C．
二.填空题
6．乐乐家共有七人，已知今年这七人岁数的众数为、平均数为、中位数为、标准差为。则年后，下列说法中正确的有__________（请把所有正确结论的序号写出）
①这七人岁数的众数变为；
②这七人岁数的平均数变为；
③这七人岁数的中位数变为；
④这七人岁数的标准差变为.
【答案】①②③
【解析】
根据众数、平均数、中位数概念得年后，相应增加5，而标准差不变.
所以这七人岁数的众数变为；平均数变为；中位数变为；标准差不变为.
即正确的有①②③.
7．同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低;反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列 ,满足,则_____(结论用数学式子表示)
【答案】（），（）
【解析】
根据平均数的公式可以知道,一组数据若是按照从小到大的顺序排列起来,可以做出这组数据的平均数,如果把这组数据中的一部分较小的数据去掉,则这组数据的平均数减小,若把这写数据中的较大的一些数据去掉,则这组数据的平均数增大,
故答案为: （），（）
8．在过去的184天里，我们走过了一段成功、精彩、难忘的世博之旅，190个国家、56个国际组织以及中外企业踊跃参展，200多万志愿者无私奉献，7308万参观者流连忘返，网上世博永不落幕，这一切共同铸就了上海世博会的辉煌.这段美好的时光将永远在我们心中珍藏！以下是国庆七天长假里入园人数部分统计表(入园人数单位：万人)
若这七天入园人数的平均值比总体平均值少4.37万，则这七天入园人数的中位数为_________．（精确到0.01万人）
参考数据：25.40+44.75+43.13+43.21+29.84+21.92=208.25
【答案】
【解析】
因为总体平均值是,
七天入园人数的平均值比总体平均值少4.37万,
七天入园人数的平均值是
,
七个数据从小到大排列为:21.92,25.40,29.84,39.20,43.13,43.21,44.75
中位数是39.20
故答案为39.20
三、解答题
9．某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：
（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作，平均值记作，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；
（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；
（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01）
【答案】（1）；（2）；（3）平均数4.30人，方差
【解析】
解：（1）由方差的计算公式得：
人口数方差为；
（2）263户家庭，则中位数为第户家庭的人口数，
，，
所以中位数为4；
（3）平均数：
，
标准差：
10．有20种不同的零食，每100g可食部分包含的能量（单位：kJ）如下：
110 120 123 165 432 190 174 235 428 318
249 280 162 146 210 120 123 120 150 140
（1）以上述20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差
（2）设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本.
（3）利用上面的抽样方法，再抽取容量为7的样本，这个样本的平均数和标准差与（2）中的结果一样吗？为什么？
（4）利用（2）中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10,13,16,19的样本，分析样本容量与样本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系.
【答案】（1）平均数为199.75，总体标准差为95.26；（2）抓阄法；（3）（2）和（3）的计算结果不相同的概率相当大，而相同的概率很小；（4）由于样本的随机性，也有极个别（小概率）的例外情况.
【解析】
（1）总体平均数为199.75.
总体标准差为95.26.
（2）可以使用抓阄法进行抽样.
（3）由样本的随机性，知（2）和（3）的计算结果不相同的概率相当大，而相同的概率很小.
（4）随着样本容量的增加，分别用样本平均数和样本标准差估计总体平均数和总体标准差的效果会越来越好（即精度会越来越高）.但是由于样本的随机性，也有极个别（小概率）的例外情况.
【提升练习】
1．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
【答案】A
【解析】
由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.
本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，
根据方差公式可知方差不变.
2．已知甲组数据：156，，165，174，162，乙组数据：159，178，，161，167，其中，.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则（ ）
A．8B．10C．11D．12
【答案】A
【解析】
由题知：，，
将甲组数据从小到大排列得：156，162，165，，174，故中位数为165；
要使两组数据的中位数相同，将乙组数据从小到大排列得：159，161，，167，178，所以，故；
所以乙组数据为：159，178，165，161，167，平均数为，
甲组数据的平均数为 ，解之得：，
所以.
故选：A.
3．已知是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，，这四个数据的平均数为1，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】A
【解析】
是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，则；
1，3，，这四个数据的平均数为1，
，
；
；
，，；
是单调增函数，
的最小值是（3）．
故选：
4．2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
【答案】A
【解析】
A．去掉最高分、最低分后，中位数仍旧是处于中间位置（从小到大排列）的那个数，不发生改变；
B．去掉最高分、最低分后，平均数是否发生改变与去掉的分数有关，不能确定是否变化；
C．去掉最高分、最低分后，方差的确定和平均数、数据个数有关，因此方差也不确定；
D．去掉最高分、最低分后，极差可能发生改变，亦可能不改变.
故选：A.
5．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班，如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”，这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：
初一年级 平均值为2，方差为2
初二年级 平均值为1，方差大于0
高一年级 中位数为3，众数为4
高二年级 平均值为3，中位数为4
从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（ ）
A．初一年级B．初二年级C．高一年级D．高二年级
【答案】A
【解析】
能反应“学生视力保护达标年级”的是平均值和方差；平均值反应数据的平均水平，方差反应数据的波动大小，方差越大，波动越大.
高一年级，知道中位数与众数，不能判断出是否达标，高二年级知道平均数与中位数，也不能判断是否达标；故排除CD；
初二年级，方差大于0，但不确定具体取值，因此初二年级也不能判断是否达标；
初一年级，平均数和方差均为2，满足题意，因为若有一个数据大于5，方差必然大于2.
故选A
6．2020年年初，口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为，，，，（单位：十万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.
【答案】1.6
【解析】
依题意，得.
设，，，，的平均数为，
根据方差的计算公式有
.
，
即，
.
故答案为：1.6
7．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值______，病人等待时间方差的估计值______.
【答案】9.5 28.5
【解析】
（1）；
（2）
故答案为：（1）9.5；（2）28.5
8．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
【答案】①③
【解析】
①甲地：个数据的中位数为，众数为，根据数据得出：甲地连续天的日平均温度的记录数据可能为：、、、、，其连续天的日平均气温均不低于；
②乙地：个数据的中位数为，总体均值为，当个数据为、、、、，可知其连续天的日平均温度有低于，故不确定；
③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，若有低于，假设取，此时方差就超出了，可知其连续天的日平均温度均不低于，如、、、、，这组数据的平均值为，方差为，但是进一步扩大方差就会超过，故③对．
则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．
9．，，三班共有140名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）
（1）试估计班的学生人数；
（2）再从，，三班中各随机抽取一名学生，设新抽取的学生该周锻炼时间分别为7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不需要证明）.
【答案】（1）60； (2) .
【解析】
由题意得：三个班共抽取14个学生，其中班抽取6个，故抽样比，
故班有学生人.
（2）．
10．某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并分成了以下几组（单位：万元）：，，，，，.统计结果如下表所示（统计表中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）：
（1）求这100天该大型超市日纯利润的平均数及中位数；
（2）利用上述样本分布估计总体分布，解决下面问题：该大型超市总经理根据每天的纯利润给员工制定了两种奖励方案：
方案一：记日纯利润为万元，当时，奖励每位员工40元/天；当时，奖励每位员工80元/天；当时，奖励每位员工120元/天；
方案二：日纯利润低于总体中位数时每名员工发放奖金50元/天，日纯利润不低于总体中位数时每名员工发放80元奖金/天；
“小张恰好为该大型超市的一位员工，则从统计角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？
【答案】（1）平均数为6.85万元，中位数为万元；（2）方案一
【解析】
（1）这100天该大型超市日纯利润的平均数为：
（万元）.
前2组频率之和为，前3组频率之和为，
故中位数位于第3组.
设中位数为，则有，解得，
即这100天该大型超市日纯利润的中位数为万元.
（2）设选择方案一时小张每天的奖金为元，
则的可能取值为40，80，120，其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，
所以获得奖金的平均数（元）.
设选择方案二时小张每天的奖金为元，
则获得奖金的平均数（元）.
因为，所以从统计角度看，小张选择方案一更有利.
餐费（元）
6
7
8
人数
10
20
20
日期
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
入园人数
25.40
X
44.75
43.13
43.21
29.84
21.92
家庭人口数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
家庭数
20
29
48
50
46
36
19
8
4
3
等待时间/分
频数
6.5
7
7.5
7
8
9
10
11
4.5
6
7.5
9
10.5
12
组别
频数
5
20
30
30
10
5
餐费（元）
6
7
8
人数
10
20
20
日期
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
入园人数
25.40
X
44.75
43.13
43.21
29.84
21.92
家庭人口数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
家庭数
20
29
48
50
46
36
19
8
4
3
等待时间/分
频数
6.5
7
7.5
7
8
9
10
11
4.5
6
7.5
9
10.5
12
组别
频数
5
20
30
30
10
5
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