广东省汕头市金山中学2023-2024学年高三上学期阶段性考试数学试题

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知角a的始边与x轴非负半轴重合，终边过点,则=( )
A．B．C．D．
3．中，“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知等差数列的前n项和为，若,则=( )
A．7 B．－7 C．－10 D．10
5．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧
化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气按照国家标准，教室内空气中二氧化碳
日平均最高容许浓度应小于等于0 1%．经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化
碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规
律可以用函数，描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标
准至少需要的时间为( )（参考数据）
A．11分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟
6．已知，，则( )
A．B．C．D．
7．若过点可作曲线三条切线，则( )
A．B．
C．或D．
8．己知函数，若函数恰
有5个零点，且，，则
的取值范围是( )
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9．己知复数z满足，则( )
A．B．C．D．
10．已知AB为圆的直径，直线与y轴交于点M(A，B，M三点
不共线)，则( )
A． l与C恒有公共点 B．是钝角三角形
C．的面积的最大值为l D．l被C截得的弦的长度最小值为
11．如图，正方体的棱长为a，E是棱DD1的动点，则下列说法正确的
是( )
A．若E为DD1的中点，则直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．E为DD1的中点时，直线与平面所成的角正切
值为
D．过点，C，E的截面的面积的范围是
12．设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若
，且为奇函数，则下列说法中一定正确
的是( )
A．函数的图象关于对称 B．的周期为4
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中x2项的系数是 （用数字作答）
14．已知函数，若则= .
15．设函数，是定义在R上的偶函数，为其导函数，当x>0时，，
，则不等式的解集为 ．
16．已知函数，（其中，），T为的最小正周期，且
满足,若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范
围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．（本小题满分10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC边中点，且，求a的最小值.
18．（本小题满分12分）已知数列满足,
(1)记，求证：数列是等比数列；
(2)若求.
19．（本小题满分12分）己知函数在上有两个极值点，，
且
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，
20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面ABD平面BCD，
O为BD的中点，是边长为l的等边三角形，且
(1)证明：
(2)在棱AD上是否存在点E，使二面角E- BC-D的大小为
45°？若存在，并求出的值．
21．（本小题满分12分）已知，为双曲线C的焦点，点在C
上.
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若,
证明：直线AB过定点.
22．（本小题满分12分）己知函数,，其中k为实数．
(1)求的极值；
(2)若有4个零点，求k的取值范围．
数学参考答案
CBCBAADB BD ABD BCD ABC -5 5
17．解：(1)，由正弦定理得……1分
,……2分
,……3分
又,,……5分
(2)D为BC边中点，,即……6分
，……7分
，即，当且仅当时取等号，……8分
……9分
，即
故a的最小值为……10分
18．解：(1)因为,所以
故故……2分
当时，
故……5分
所以数列是首项为5，公比为2的等比数列；……6分
(2)由(1)知：，故……7分
其中
……8分
故
……9分
设……11分
故……12分
19．(1)解：…．．1分
函数在上有两个极值点，且
由题意知方程在上有两不等实根，……．2分
设，其图像的对称轴为直线
故有，解得
实数a的取值范围是……5分
(2)证明：由题意知x2是方程的较大的根，故……6分
由于,,…8分
设，，……9分
在单调递增，……10分
，即成立……11分
当时，……12分
20．(1)证明：,O为BD的中点
……1分
又平面ABD平面BCD,平面平面
平面ABD,平面BCD……3分
平面BCD,……4分
(2)解：分别取CB，CD的中点为F，G，连结OF，OG，
O为BD的中点，是边长为1的等边三角形
△BCD是直角三角形，,,……5分
CB，CD的中点为F，G，,
由(1)得，AO是三棱锥A- BCD底面BCD的高，是直角三角形
,……6分
以O点为坐标原点，分别以OF，OG, OA所在的直线为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系，
则,,,,
……7分
若在棱AD上存在点E，使二面角E-BC-D的大小为45°，设
，，，
…8分
是平面BCD的一个法向量……9分
设是平面BCE的一个法向量，则
即
取，，……10分
二面角E-BC-D的大小为45°
,即……11分
整理得，，解得，或（舍去）
即
在棱AD上存在点E，使二面角E-BC-D大小为45°，……12分
21解：(1)设双曲线C的方程为
由题意知,解得,双曲线C的方程为……4分
(2)设直线AB的方程为
消去y，得
则
，……6分
直线PA方程为
令则,同理……7分
由,可得
即……10分
当时，
此时直线AB方程为，恒过定点显然不可能；……11分
，此时直线AB方程为，恒过定点……12分
22解：解：(1)因为，
所以令解得
令，解得……2分
所以，在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即无极小值……4分
(2)由即可得
令，则…5分
设，则
由得由得
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，即，
所以存在，使得
即，①，…….7分
故在(0，x1)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在
上单调递增，故的极大值为极小值为和
对①式两边取对数可得，
将①②代入得
同理可得……9分
要使有四个零点，则必有
解得……10分
而
……11分
由零点存在定理可知，当时有且仅有4个零点，即有4个零点，
所以实数k的取值范围为……12分