高中3.1 函数的概念及其表示一课一练

第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示课时训练

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB，动点P从点A出发，按照A→D→C→B路径沿边运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，则函数y＝f（x）的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

2．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知二次函数满足，则

A． B． C． D．

4．已知函数是定义在R上的增函数，则函数的图象可能是

A． B． C． D．

5．将函数的图象按向量平移，得到的函数图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和等于

A．2 B．4 C．6 D．8

6．函数在，上的最小值为，最大值为1，则的最大值为

A． B． C．2 D．

7．已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

8．下列说法正确的是_____________.

（1）函数在上单调递增；

（2）函数的图象是一直线；

（3）若集合中只有一个元素，则；

（4）若函数在区间上是减函数，则

三、解答题

9．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品(百台），其总成本为万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收入满足，假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：

（1）要使工厂有盈利，产品数量应控制在什么范围？

（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？

10．已知函数．

（1）求的值；

（2）当的定义域为时，求的值域；

11．已知函数

（1）用分段函数的形式表示该函数；

（2）画出该函数的图象；

（3）写出该函数的定义域，值域．

12．给定函数，，．，用表示，中的最小者，记为．

(1)请用图象法和解析法表示函数；

(2)根据图象说出函数的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数的最大值和最小值．

13．已知函数是定义在R上的奇函数，且．

(1)求函数的解析式，以及零点．

(2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明．

(3)判断函数在区间上的单调性．（只需写出结论）

(4)在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域R上的示意图．

14．已知函数．

（1）若，求的值；

（2）求的值．

15．已知函数．

（）画出函数图象．

（）写出函数的单调区间和值域．

（）当取何值时，方程有两不等实根？只有一个实根？无实根？

参考答案：

1．A

【分析】根据三角形的面积公式，结合点P的不同位置进行判断即可.

【详解】解：P点在AD上时，△APB是底边AB不变，高在增加，图象成一次函数形式递增；排除C，D，

P点在DC上时，△APB是底边AB不变，高不变，图象是水平一条直线；

P在CB上时，AB不变，高在减小，图象是递减的一次函数，

故选：A．

2．B

【分析】利用函数的奇偶性，单调性以及特殊值即可.

【详解】函数为奇函数，故A错误；

，故D错误；

当x趋向于正无穷时，函数值也趋向于正无穷，故C错误；

当x从大于0的方向趋向于0时，函数值也趋向于 正无穷，故B正确；

故选：B．

3．B

【分析】先由题意设，根据题中条件，求出对应系数，得到函数解析式，进而可求出结果.

【详解】由题意，设，

则

，

又，

所以，解得，

因此，

所以，．

故选B

【点睛】本题主要考查求函数值的问题，会用待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型.

4．B

【详解】试题分析：把图象在左边的去掉，作轴右边部分的关于轴对称，得图象，再向右平移1 个单位得的图象，最后再向下平移1个单位，得的图象，函数在是增函数，在上是减函数．故选B．

考点：函数的图象，图象变换．

5．D

【详解】函数按向量平移后为，的图像有公共的对称中心，画出函数与的图像如下：

交点分别为，根据对称性可知、、、都关于点对称，故，所以所求的横坐标之和为.

点睛：本题考查的函数的对称性，在解决此类问题时，结合函数图像能带来方便．平移后的函数是关于点对称，而且也是关于点对称，那么两个函数的交点也是关于点对称，所以可以求出横坐标之和．

6．A

【分析】由绝对值的意义可得的两段解析式，画出的图象，求得使和1的值，结合图象即可得到的最大值.

【详解】解：函数，

当时，，

当时，，

作出的图象，

由图象可得时，，解得；

时，，解得，

即有在内的最大值为1，最小值为−1，

的最大值为.

故选：A.

【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用数形结合思想方法，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.

7．D

【分析】根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解.

【详解】根据可得，可转化为，

又，

所以，即，

因为是定义在上的增函数，所以只需满足，解得：.

故选：D.

【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.

8．（1）（3）

【分析】根据函数的单调性、函数的图象，集合的定义判断各选项．

【详解】（1）是向右平移1个单位，向上平移一个单位而得到，在上单调递增函数，正确；

（2）的图象是一条直线上的孤立点，∴不是一条直线；不正确；

（3）集合只有一个元素，时方程无解，时，，，正确；

（4）函数的对称轴为 ，

又函数在区间上是减函数，，，不正确.

故答案为：（1）（3）

9．(1)大于300台小于1050台； (2) 600台

【分析】(1) 由于销售收入是一个关于产品数量的一个分段函数，另外计算工厂的盈利需要将销售收入减去总的成本万元，所以在两段函数中分别求出盈利大于零的时候产品数量的范围，及可求得结论.

(2)通过二次函数的最值的求法，结合一次函数的单调性，即可得到盈利最大值时对应的产品数的值.

【详解】依题意得，设利润函数为，则，

所以，（1）要使工厂有盈利，则有，故或，即或，解得或，即 ，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内

（2）当时，

故当时，有最大值4.5.而当时，.

所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．

10．（1）-2；（2）.

【解析】（1）根据，直接代入求解..

（2）将函数变形为，由，利用反比例函数的性质求解.

【详解】（1）∵，

.

（2）函数

当时，

所以

所以值域为．

11．（1）；（2）图象见解析；（3）的定义域为R，值域为．

【分析】（1）分去绝对值，写成分段函数的形式即可；

（2）根据上一问的解析式，画出分段函数的图像；

（3）根据图像得到函数的定义域和值域．

【详解】（1）；

（2）图象如下：

（3）的定义域为R，值域为．

12．(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）求得的交点坐标，根据的定义，将其写成分段函数即可，再根据常见函数的图象，画图即可；

（2）数形结合，即可求得单调区间，结合函数单调性和区间端点处的函数值，即可求得最值.

【详解】（1）令，即，解得，或．

根据题意，

故其函数图象如下所示：

.

（2）数形结合可知，函数的单调区间是；

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

由，，，知，

当时，取得最大值，最大值为8，

当时，取得最小值，最小值为-1．

13．(1)，零点为；

(2)在上是单调递减，证明见解析．

(3)函数在区间上单调递增．

(4)函数图象见解析；

【分析】（1）依题意根据奇函数的性质得到，再由，即可求出、，从而求出函数解析式，再令，求出，即可得到函数的零点．

（2）利用函数单调性的定义进行证明即可

（3）结合函数单调性的性质给出结论即可

（4）结合函数的单调性作出草图即可．

(1)

解： 是定义在上的奇函数，

，

，

又，解得，

．

令，即，解得，所以函数的零点为；

(2)

解：在上是单调递减．

证明：设，

则，

，

，，，

，即，

在上单调递减．

(3)

解：函数在区间上单调递增．

证明：设，

则，

，

，，，

，即，

在上单调递增．

(4)

解：因为，函数图象如下所示：

14．（1）（2）

【分析】（1）利用解析式求的值；

（2）由求值即可.

【详解】（1）∵函数

（2）

【点睛】关键点睛：解决第二问的关键是利用求值.

15．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】）分别画出当，和的图像，即为函数的图像；

（）根据图像可写出函数的单调区间和值域．

（）由图像可得答案.

【详解】

（）如图所示；

（）由图像可得函数的单调增区间：，单调减区间：，值域：；（）方程有两个不相等实数根：，方程有一个实数根：或，方程无实数根：．