福建省建瓯市第三中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份福建省建瓯市第三中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
建瓯三中2023-2024学年上期高二数学第一次月考试卷第I卷（选择题）一、单选题1．已知直线与直线平行，则“m＝2”是“平行于”的（   ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知为原点，，，则的边上的中线长为（    ）A．2 B．3 C．4 D．53．已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，则直线与所成角的余弦值为 （    ）A． B． C． D．4．已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（　　）A． B． C．5 D．55．已知圆与y轴交于A，B两点，圆心为C．若，则实数m的值为A． B． C．3 D．86．折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．7．两条平行线l1:,l2:的距离等于（    ）A． B． C． D．8．已知平行六面体中，，若，则x的值为（    ）A． B． C．1 D．二、多选题9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）.A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）A． B．C．） D．与夹角的余弦值为11．如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）A．平面B．C．直线与平面所成角为D．异面直线与所成角为12．在三棱锥中， 四点分别为棱的中点，则以下表述正确的是（    ）A．若，则B．C．若，则D．第II卷（非选择题）三、填空题13．已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程是           ．14．已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是           15．已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为      ．16．已知矩形中，，，，，E，F为垂足.将矩形沿对角线折起，得到二面角，若二面角的大小为，则        .四、解答题17．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1)。(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？  18.已知以点C为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线上（1）求圆C的方程；（2）设点Q(-1，)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积. 19．如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：．  20．已知梯形如图甲所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图乙所示的几何体．(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.  21．在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点.(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；(2)求直线到平面的距离.      22．如图，在三棱柱中，平面，分别是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；
参考答案：1．B【分析】根据两直线的位置关系、充分和必要条件等知识确定正确答案.【详解】当时，，解得或，经检验可知或都符合.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B2．B【分析】由中点坐标公式和距离公式求解.【详解】线段的中点坐标为，则的边上的中线长为.故选：B3．B【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量即可求出直线与所成角的余弦值.【详解】在正方体中，因DA，DC，DD1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，于是得，则有，所以直线与所成角的余弦值为.故选：B4．C【分析】先求出B（3，4，0），由此能求出||．【详解】解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），则||＝＝5．故选：C．5．A【分析】得到为等腰直角三角形，计算出半径，再根据圆的一般方程得半径，列方程解得结果.【详解】圆由得到为等腰直角三角形 故答案为A【点睛】本题考查了圆的一般方程里参数的值，根据条件得到半径是解题的关键.6．D【分析】分析题意，画出图形，分析重合的两个点之间的关系，O点落在线段上，O点与上的点关于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，求出对应点之间的斜率，即可求解【详解】如图，要想使折叠后O点落在线段上，可取上任意一点，作线段的垂直平分线，以为折痕可使与重合，因为，所以，且.又当折叠后与重合时，，所以 的取值范围是，故选：D7．C【分析】利用两条平行线间距离公式求解距离.【详解】由题：l1:,l2:所以两条平行线距离为：故选：C【点睛】此题考查平行线间距离公式，关键在于要将两条直线化成：的形式，方可求解；或者在一条直线上取一点，求该点到另一条直线的距离.8．B【分析】根据向量运算得到，得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．BC【分析】根据空间向量共面定理的知识确定正确答案.【详解】依题意构成空间的一个基底，A选项，由于，所以，，共面.B选项，由于不存在实数使，所以，，不共面，B选项正确.C选项，，由于不存在实数使，所以，，不共面，C选项正确.D选项，由于，所以，，共面.故选：BC10．BCD【分析】对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量垂直的性质，即可求解，对于D，结合向量的夹角公式，即可求解．【详解】因为，且，故A不正确；因为，，则，故B正确；因为，，故C正确；由于，，所以，所以D正确.故选:BCD.11．ABC【分析】连接，，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面，故A正确；由线面垂直的性质可以得到，故B正确；直线与平面所成角即直线与平面所成角为，故C正确；异面直线与所成角即为直线与所成角，故D错误.【详解】\如图，连接，.在正方形中，为的中点,，即也为的中点，在中，分别为的中点，，又平面，平面，平面，故A正确；平面，，，故B正确；，直线与平面所成角即直线与平面所成角为，故C正确；由题可知，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，为，故D错误.故答案为：ABC.12．ABC【分析】根据向量的数量积的运算律可判断A;判断四边形为平行四边形，可得，判断B;判断判断四边形为菱形可判断C;根据向量的定义可判断D.【详解】对于A：即即，两式相减得，即，故A正确；对于B：连接，如图， 四点分别为棱的中点，则，且，则四边形为平行四边形，故，故B正确；对于C：由可知，平行四边形为菱形，故，故C正确；对于D：，两向量所在直线为平行四边形对角线所在直线，两向量不共线，故，故D错误．故选： ．13．【分析】先判断△ABC的形状，从而利用直角三角形的性质求出圆心坐标与半径的值，即可求出外接圆的方程.【详解】由题知，直线AB的斜率不存在，直线AC的斜率为0，故 是以∠A为直角，BC为斜边的直角三角形.由中点坐标公式线段BC上的中点D（2，0），所以圆的圆心坐标为（2，0），半径r=DA= ,则△ABC的外接圆的方程为.故答案为.【点睛】能够根据三角形形状判断出△ABC外心的位置是解答此题的关键．14．【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解.【详解】空间内三点，，，所以，，，，由，易得，所以，所以点到直线的距离.故答案为：.15．【分析】本题首先可结合题意绘出空间直角坐标系，然后根据空间直角坐标系得出以及，最后根据即可得出结果.【详解】因为四棱柱使直四棱柱，为直角，，所以可以以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，因为，，所以，故异面直线与所成的角的余弦值为，故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间中两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式求出两向量的夹角的大小，从而得出结果.16．【分析】先通过向量的加法将用已知条件相关的向量即表示出来，平方后就会发现展开式的所有项都能求出答案，即可求解即的值.【详解】因为，所以，所以，即.故答案为：.17．．(1) m>－2.  (2) m<－2.  (3) 不可能为直角.【分析】(1)由倾斜角为锐角，则斜率大于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解；(2)由倾斜角为钝角，则斜率小于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解；(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，即可作出判定．【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k＝＝>0，解得m>－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k＝＝<0，解得m<－2.(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式及其应用，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理利用斜率公式列出不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．18．（1）；（2）.【解析】（1）求出的垂直平分线和直线的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；（2）求出点，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案；【详解】（1）依题意知所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点．的中点为，直线的斜率为1，的垂直平分线的方程为，即．由，得，即圆心．半径．故所求圆的标准方程为．（2）点在圆上，或(舍去)，，，直线的方程为：，点到直线的距离为4，的面积．【点睛】利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B，其圆心必在线段的中垂线上. 19证明见解析【分析】利用空间向量的数量积为0的方法证明两直线垂直.【详解】证明：设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则，，所以.所以．20．(1)证明过程见解析；(2).【分析】（1）根据面面垂直的性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.（1）∵平面平面，平面平面平面，，∴平面；（2）（2）建系如图：设平面的法向量，，，，， ，则，设，，，解得或（舍），，∴.20．(1)；(2). 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）证明出平面，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.【详解】（1）解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，易知平面的一个法向量为，，因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.（2）解：，则，所以，，因为平面，所以，平面，，所以，直线到平面的距离为.22．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，交于点，可知为的中点，连接，易知四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证得命题成立；（2）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标以及平面的法向量，利用线面角的公式求解即可．【详解】（1）证明：取的中点，连接，交于点，可知为的中点，连接，易知四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：本题考查线面平行的判定定理，考查线面角的求法，考查空间坐标系的应用，证明线面平行的方法是：1.利用定义：证明直线与平面无公共点；2.利用线面平行的判定定理：由直线与直线平行得出直线与平面平行；3.利用面面平行的性质：由两个平面平行，得一个平面内的直线必平行于另一个平面．