湖北省襄阳市保康县2023届九年级下学期中考模拟数学试卷（含解析）

这是一份湖北省襄阳市保康县2023届九年级下学期中考模拟数学试卷（含解析），共21页。


2023年湖北省襄阳市保康县中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答.
1．（3分）4的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C． D．﹣2
2．（3分）如图所示的几何体是由一些相同的正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（　　）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B．﹣3（a﹣b）＝b﹣3a
C．（mn）﹣3＝mn﹣3 D．a6÷a2＝a4
5．（3分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（　　）

A．37° B．43° C．53° D．54°
6．（3分）将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①a+b+c＝0；
②b＞2a；
③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；
④c＝﹣3a，
其中正确的命题是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上.
11．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（3分）截止2022年底，中国经济总量已经突破120万亿元，其中120万亿用科学记数法表示为 　 　元．
13．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝50°，则∠CAB的度数为 　 　．

14．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为　 　．

15．（3分）如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为　 　．

16．（3分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
18．（6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

19．（6分）为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．

请解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了　 　名学生，扇形统计图中C选项对应的圆心角为　 　度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1200名学生，试估计该校选择“不了解”的学生有多少人？
20．（7分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
21．（6分）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（尺规作图）：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥DA；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，求四边形ABCD的面积．


22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

23．（10分）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　 　辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
24．（11分）（1）问题发现：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由；
（2）类比引申：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足怎样等量关系时，仍有EF＝BE+DF？说明理由．
（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，猜想BD，DE，EC满足的等量关系，并写出推理过程．

25．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．


2023年湖北省襄阳市保康县中考数学模拟答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答.
1．
解析：解：4的平方根是±2；
故选：B．
2．
解析：解：这个几何体的主视图有2列，从左到右小正方形的个数为2，1，右边的小正方形在右下角，
故选：D．
3．
解析：解：彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是随机事件，
故选：D．
4．
解析：解：A，a5+a5＝2a5.故A不符合题意．
B，﹣3（a﹣b）＝3b﹣3a，不符合题意．
C，（mn）﹣3＝，不符合题意．
D，a6÷a2＝a4，符合题意．
故选：D．
5．
解析：解：∵AB∥CD，∠2＝37°，
∴∠2＝∠3＝37°，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝53°，
故选：C．

6．
解析：解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，所以D选项符合题意，
故选：D．
7．
解析：解：画树状图如图：

共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，
∴这两名工人恰好都是男工人的概率为＝，
故选：C．
8．
解析：解：在函数（k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数（k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，
当k＜0时，函数（k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
9．
解析：解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，
依题意，得：＝．
故选：B．
10．
解析：解：观察图象可知：
①当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
所以①正确；
②对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴②错误；
③∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，
∴③正确；
④∵当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∴④正确．
所以正确的命题是①③④．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上.
11．
解析：解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
12．
解析：解：120万亿＝120000000000000＝1.2×1014，
故答案为：1.2×1014．
13．
解析：解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝50°，
∴∠B＝∠D＝50°，
∴∠CAB＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
14．
解析：解：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝AB＝5，
∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；
故答案为：40．
15．
解析：解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为，
∴5m•5n＝，
∴mn＝．
把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，
∴k＝9mn＝9×＝12．
故答案为：12．
16．
解析：解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，
∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；
①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：
∵PE⊥BO，CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），
∴点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，
∵△PBE∽△CBO，
∴＝，即＝，
解得：PE＝3，
∴点P（﹣4，3）；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，
过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：
∵CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），
∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，
∴BC＝＝＝10，
∴BP＝2，
∵△PBE∽△CBO，
∴＝＝，即：＝＝，
解得：PE＝，BE＝，
∴OE＝8﹣＝，
∴点P（﹣，）；
综上所述：点P的坐标为：（﹣，）或（﹣4，3）；
故答案为：（﹣，）或（﹣4，3）．


三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.
17．
解析：解：原式＝•（x﹣2）+2（x﹣2）+x2﹣2x+1
＝1+2x﹣4+x2﹣2x+1
＝x2﹣2，
当x＝时，原式＝（）2﹣2＝1．
18．
解析：解：∵∠CBD＝∠A+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠ACB，
∴BC＝AB＝10（米）．
在直角△BCD中，CD＝BC•sin∠CBD＝10×＝5≈5×1.732＝8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
19．
解析：解：（1）24÷40%＝60（名），360°×＝108°，
故答案为：60，108；
（2）60×25%＝15（人），
补全条形统计图如图所示：

（3）1200×＝60（人），
答：估计该校1200名学生中选择“不了解”的大约有60人．
20．
解析：解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，
解得：k＞；
（2）∵k＞，
∴x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，
又∵x1•x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝2k+1，
∵|x1|+|x2|＝x1•x2，
∴2k+1＝k2+1，
∴k1＝0，k2＝2，
又∵k＞，
∴k＝2．
21．
解析：解：（1）如图，点D为所作；

（2）过A点作AE⊥BC于E点，如图，
在Rt△ABE中，∵∠B＝60°，
∴BE＝AB＝×2＝1，
∴AE＝BE＝，CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，CD⊥AD，
∴四边形AECD为矩形，
∴AD＝CE＝2，
∴四边形ABCD的面积＝×（2+3）×＝．
22．
解析：（1）证明：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝∠A；

（2）当MC＝MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；
解：连接DO，
∵DO＝CO，
∴∠1＝∠2，
∵DM＝CM，
∴∠4＝∠3，
∵∠2+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴直线DM与⊙O相切，
故当MC＝MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．

23．
解析：解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，
依题意，得：，
解得：．
答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
（2）∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆），
∴租车总辆数为8辆．
故答案为：8．
（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，
依题意，得：，
解得：2≤m≤5．
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4，5，
∴共有4种租车方案．
设租车总费用为w元，则w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w的值随m值的增大而增大，
∴当m＝2时，w取得最小值，最小值为2720．
∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
24．
解析：（1）证明：∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，

∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，
∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，
即∠EAF＝∠FAG，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝FG＝BE+DF；

（2）解：结论：∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF．
理由：∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，

∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE+DF；

（3）结论：BD2+CE2＝DE2．
理由是：把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，
则∠FAB＝∠CAE．

∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝45°，
又∵∠FAB＝∠CAE，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
则在△ADF和△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF＝DE，∠C＝∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2＝DF2，
∴BD2+CE2＝DE2．
25．
解析：解：（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（，﹣）代入，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝2，
∴C点坐标为（2，0），
∵PD⊥x轴，PE∥x轴，
∴∠ACO＝∠DEP，
∴Rt△DPE∽Rt△AOC，
∴，
∴PE＝PD，
∴PD+PE＝PD，
设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D点坐标为（a，﹣a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+，
∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当a＝时，PD+PE有最大值为；
（3）①当△AOC∽△DPA时，
∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，
∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，
即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；
②当△AOC∽△DAP时，

此时∠APG＝∠ACO，
过点A作AG⊥PD于点G，
∴△APG∽△ACO，
∴，
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），
则，
解得：m＝，
∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），
综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）．