2024省双鸭山一中高三上学期10月月考试题数学含答案

双鸭山市第一中学2023—2024学年度高三（上）学期

数学月考试题

本试卷满分150分，考试时间120分钟

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（原创）集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．（原创）设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（改编）已知向量，的夹角为，且，，则（    ）

A． B．7 C．61 D．61

4．（改编）若函数是定义域在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

5．（原创）如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）

A．8 B．12 C．32 D．16

6．（改编）中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该甁器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为6cm）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为20cm，底面直径，底面直径，，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（    ）

A． B． C． D．

7．（改编）已知是公差等差数列，是的前n项和，，若，，成等比数列，则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．

8．已知函数，，若与的图像上分别存在点M，N，使得M，N关于直线对称，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（原创）下列说法中不正确的是（    ）

A．若，则 B．若与共线，则或

C．若，为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量

10．（改编）已知函数的一个对称中心为，则（    ）

A．的最小正周期为

B．

C．直线是函数图像的一条对称轴

D．若函数在上单调递减，则

11．（改编）已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有（    ）

A．若，，则外接圆半径为4

B．若，则

C．若，则为直角三角形

D．若，，，则

12．在平面四边形ABCD中，A，C在BD两侧，点D为动点，的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设数列的前n项和为，则（    ）

A．为递增数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．

三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．（原创）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是______．

14．（改编）已知，，，则______．

15．（原创）已知表示不超过x的最大整数，在数列中，，，记为数列的前n项和，则______．

16．如图所示，在中，已知，，，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且为等边三角形．则的面积的最小值是______．

四、解答题（本题共6个小题，共70分，17题10分，其他每题12分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（改编）等比数列的公比为2，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求A；

（2）若，，求中BC边中线AD长．

19．如图，在正四面体中，，E，F，R分别是SB，SC，SA的中点，取SE，SF的中点M，N，点Q为平面SBC内一点

（1）求证：平面平面AEF

（2）若平面AEF，求线段RQ的最小值．

20．已知函数的两个相邻的对称中心的距离为．

（1）求在上的单调递增区间；

（2）当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值．

21．已知等差数列为递增数列，，

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，求的前n项和；

（3）若数列满足，求的前n项和的最大值､最小值．

22．已知函数．

（1）若，求函数的单调区间及在处的切线方程；

（2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围。

（请在各题目的答题卡和答题纸区域内作答，超出答题限定区域的答案无效．）

双鸭山市第一中学2023—2024学年度高三（上）学期数学月考试题

参考答案

13．或   14．    15．4962    16．

17．（1）已知等比数列的公比为2，且，，成等差数列，

∴，∴，解得，

∴，；

（2），

∴；

综上，

18．（1）因为，由正弦定理得，

即，

即，

所以，又，所以，

又，所以；

（2）由余弦定理得，

即，所以，因为为中BC边的中线，所以，

则，所以．

19．（1）∵M，N分别为SE，SF的中点，∴，

又∵平面AEF，平面AEF，∴平面AEF，

∵R，M分别为SA，SE的中点，∴，

又∵平面AEF，平面AEF，∴平面AEF，

又∵，平面MNR，平面MNR，

∴平面平面AEF．

（2）由（1）知，平面平面AEF，∴若平面SBC内存在一点Q使平面AEF，

则Q在线段MN上，∴线段RQ的最小值为R到直线MN的距离，即在边MN上的高，

∵E，F分别为SB，SC的中点，M，N分别为SE，SF的中点，∴，

又∵，

∴，，

又∵R，M分别为SA，SE的中点，∴，同理，

∴当Q为MN中点时，，此时在边MN上的高，RQ取最小值，

∴线段RQ的最小值．

20．（1）

，

由题意知，的最小正周期为，所以，解得，∴，

令，解得

取，则，取，则，

所以在上的单调递增区间为．

（2）由（1）知，当时，，

由的对称性可知，解得，

所以．

21．（1）因为，所以，所以，

又，且为递增数列，则可解得，，所以公差为2，

所以．

（2）因为，

所以①，

②，

①②得，

；

（3），

记的前n项和为，

则，

当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，

当n为偶数时随着的增大而增大，可得，

所以的最大值为，最小值为．

22．（1）当时，，

由，有，由有，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的减区间为，增区间为；

又，所以切点为，切线斜率，

所以切线方程，即切线方程为．

（2），，

设，则

∵，∴，在上单调递增，

，

①当，即时，，在上单调递增，

则，∴，故．

②当，即时，，

，，即，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

则，

∴，∴．

由，令函数，且，，

在上单调递增，，

∵，∴．