河北省邯郸市肥乡区第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

2023~2024学年第一学期一调考试

高二数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章2.4.1.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知向量，那么等于（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率为（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知直线与直线互相垂直，则实数（    ）

A.    B.2    C.或2    D.或-2

4.在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（    ）

A.    B.

C.    D.

5.圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

6.已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.在正三棱柱中，，点分别为棱的中点，则点到平面的距离为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.正方体的梭长为是空间内的动点，且，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（    ）

A.    B.

C.    D.

10.已知空间向量，则下列说法正确的是（    ）

A.

B.

C.与夹角的余弦值为

D.若，则共面

11.已知直线与，则下列说法正确的是（    ）

A.与的交点坐标是

B.过与的交点且与垂直的直线的方程为

C.与轴围成的三角形的面积是

D.的倾斜角是锐角

12.如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的一点，且平面，则下列说法正确的是（    ）

A.    B.存在点，使得

C.的最小值为    D.的最大值为6

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线与直线平行，且经过点，则直线的方程为__________.

14.若点到直线的距离为3，则__________.

15.如图，在长方体中，是的中点，则异面直线与所成的角等于__________.

16.如图所示，点是直线上一点，过点作的垂线交曲线于点.若，则__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知直线经过直线与的交点.

（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；

（2）若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程.

18.（本小题满分12分）

如图，在棱长为2的平行六面体中，.

（1）求线段的长度；

（2）求直线与直线的夹角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

已知的三个顶点为.

（1）求的面积；

（2）求的外接圆的方程.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.点是校的中点.

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知直线.

（1）为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值；

（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.

22.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，为线段上的动点，.

（1）证明：；

（2）若直线与平面所成角的大小为，请确定点的位置.

2023~2024学年第一学期一调考试•高二数学

参考答案､提示及评分细则

1.D  .故选D.

2.B  因为倾斜角为，所以直线的斜率.故选B.

3.C  因为直线与直线互相垂直，所以，解得或.故选C.

4.C 

故选C.

5.D  由题意可设圆的标准方程为：，

圆的标准方程为：.故选D.

6.A  设对称点坐标，由题意知直线与垂直，

结合的斜率为1，得直线的斜率为-1，

所以，化简得，①

再由的中点在直线上，，化简得，②

联立①②，可得，所以对称点的坐标为.故选A.

7.C  取的中点，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，所以令，解得，所以平面的一个法向量为，所以点到平面的距离.故选C.

8.C  取的中点，连接，则，则，即，故动点的轨迹为以为球心，为半径的球.由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为，即动点的轨迹为正方体的外接球.取的中点，连接，

则.

由题可知，，则，则.所以的最小值为，故选C.

9.ACD  因为，因此向量共面，不能；

向量与不共线，又向量不能用和表示，即向量不共面，能；

因为，因此共面，C不能；

因为，因此共面，D不能.故选ACD.

10.BCD  ，又，故A错误；

，则，故B正确；

因为，所以，所以，故C正确；

因为，故D正确.故选BCD.

11.BC  与可得，解得交点坐标为，所以错误；

由所求直线与直线垂直得所求直线的斜率为，由点斜式得，即，所以正确；

如图，与轴相交于与轴相交于

与相交于，所以与轴围成的三角形的面积，所以C正确；

的斜率，所以的倾斜角是钝角，所以错误.故选.

12.ACD  以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

如图所示，则，，所以，，所以，所以平面，又平面，所以.故A正确；设，所以，所以.，即，所以，，解得，又，故B错误；

，所以，故C正确；，所以，，所以.故D正确.故选ACD.

13.  由题意知，，所以直线的方程为，即.

14.2  因为点到直线的距离为3，

可得，即，解得或，又因为，所以.

15.  取中点，连接，

四边形为平行四边形，，

异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角），

，

为等边三角形，，即异面直线与所成角为.

16.4  由图可知，设，则直线，

由解得，则，

到直线的距离为，依题意，，

所以，整理得.

17.解：（1）由解得即.

因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即；

（2）显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，令，解得，

令，解得，

所以，

解得或，所以直线的方程为或.

18.解：（1）易知，

因此

（2）

，

易知，由（1）知，故夹角的余弦值为.

19.解：（1），

直线的方程为，

点到直线距离为，

因此面积

（2）线段中点为，因此其中垂线的方程为

直线的斜率为，线段中点为，则中垂线方程，

联立求出外接圆圆心为，

外接圆半径为，

因此外接圆方程为.

20.（1）证明：连接.在菱形中，，所以.

在中，，所以，所以.

在中，，所以，所以.

又平面，所以平面.

又平面，所以；

因为四边形是菱形，所以.又平面

，所以平面.又平面，所以；

（2）解：记，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.

所以.

所以.设平面的一个法向量为.

所以即令，解得，

所以平面的一个法向量为.

因为是的中点，所以，所以，

又.设平面的一个法向量为.所以

即令，解得，所以平面的一个法向量为.

所以，即平面与平面所成角的余弦值为.

21.解：（1）已知直线，

整理得，

由

故直线过定点，

点到直线的距离最大，

可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，

即为最大值.

，

的斜率为，

可得，解得；

（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，则可设直线的方程为，

则，

.

（当且仅当时，取“=”），

故面积的最小值为12，此时直线的方程为.

22.（1）证明：如图，取的中点，连接，

，

平面平面，平面平面，

平面，

平面平面，

，

RtRt，

，

，

，

平面平面，

平面平面；

（2）解：如图，取的中点，连接，

为的中点，为的中点，四边形为矩形，，

两两垂直，以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

各点坐标如下：，

设，有，

有，

设平面的法向量为，

由，有

取，可得平面的一个法向量为

设直线与平面所成的角为，

又由，有，

，

可得，

又由，有，解得或，

故若直线与平面所成的角为，则点为线段的一个三等分点.