2023-2024学年河南省南阳市第九完全学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年河南省南阳市第九完全学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列二次根式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列运算，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.要使式子有意义，的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D. 且

4.若，则下列等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.若方程是关于的一元二次方程，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

6.一元二次方程的根的情况是(    )

A. 无实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

7.如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是(    )

A.
B.
C.
D.

8.某厂四月份生产零件万个，第二季度共生产零件万个设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，已知，另外两条直线交于点，并与这两条平行线分别交于点、和、，若，，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，已知，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.如果是整数，则正整数的最小值是          ．

12.已知方程，则的值为______ ．

13.在实数范围内定义运算“”和“”，其规则为：，，则方程的解为______．

14.矩形的两边长分别为和，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则______．

15.在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即已知为米，则线段的长为______米．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
计算：
；
．

17.本小题分
解下列方程：
；
．

18.本小题分
已知，关于的一元二次方程，请完成下面的问题．
若此方程有一个根是，请求出另一个根及的值．
求证：此方程一定有两个不相等的实数根．

19.本小题分

如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．
如果，，，求的长；
如果：：，，求的长．

20.本小题分

如图，用长为的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
如果要围成面积为的花圃，那么的长是多少米？
能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

21.本小题分

如图，直线交、于、，交的延长线于，且：：，，求：的值．

22.本小题分
年月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，已知月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
若此头盔的进价为元个，经测算当售价为元个时，月销售量为个；售价每上涨元，则月销售量减少个，为使月销售利润达到元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元个？

23.本小题分

如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为，当点运动到点时，两点停止运动．
当点在线段上运动时，、两点之间的距离______用含的代数式表示
在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的若存在，求的值；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
故选：．
根据最简二次根式的意义求解．
本题考查了最简二次根式，理解最简二次根式的解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的乘法，减法法则，完全平方公式，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得且．
故选：．
根据被开方数是非负数，分母不为零，可得，由此求出的取值范围即可．
本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件，分母不为零是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键．直接利用比例的性质得出，之间关系进而得出答案．
【解答】
解：由得，故此项等式不成立；
B.由得，故此项等式不成立；
C.由得，故此项等式不成立；
D.由得，故此项等式成立，
故选D．

5.【答案】 

【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
且，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

7.【答案】 

【解析】解：直线，
，
，，，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：该厂四月份生产零件万个，且该厂五、六月份平均每月的增长率为，
该厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，
又该厂第二季度共生产零件万个，
．
故选：．
根据该厂四月份的产量及五、六月份平均每月的增长率，即可得出该厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，再结合该厂第二季度共生产零件万个，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
，
解得：，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：，
，故A错误，
，故B错误；
，即，故C正确；
，即，故D错误．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】【分析】
先将二次根式化简，再根据二次根式的性质解答即可．
本题考查了二次根式的性质．
【解答】
解：因为是整数，可得：正整数的最小值是，
故答案为：．

12.【答案】 

【解析】解：设，则原方程化为：，
解得：，舍去，
所以的值为．
故答案为：．
设，则原方程化为，利用直接开平方法求出即可．
本题考查换元法解一元二次方程，能正确进行换元是解此题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义得：，，
所求方程化为：，即，
解得：．
故答案为：
根据题中的新定义将方程化为普通方程，利用完全平方公式将方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程配方法及因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了相似多边形的性质，注意分清对应边是解决本题的关键．根据相似多边形的性质即可得到结论．
【解答】
解：原矩形的长为，宽为，
小矩形的长为，宽为，
小矩形与原矩形相似，


故答案为．

15.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
根据，建立方程求解即可．
【解答】
解：，
设，则，
，
，
即，
解得：，舍去，
线段的长为米．
故答案为

16.【答案】解：

；


． 

【解析】先计算乘方、分母有理化，最后加减；
先计算除法，化简二次根式，再合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的关键．

17.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
整理成一般式，得：，
，，，
，
则，
，． 

【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
整理成一般式，再利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

18.【答案】解：设此方程的另一个根是，由根与系数关系得：，
，
由，
．
另一个根为，，的值为；
证明：，
，
，
原方程有两个不相等的实数根． 

【解析】设此方程的另一个根是，由根与系数关系得：，，解得即可；
要证明方程有两个不相等的实数根，即证明即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．同时考查了一元二次方程根与系数的关系．

19.【答案】解：．
，
；
．
，
，
． 

【解析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出的长；
由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出的长，即可得出的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

20.【答案】解：设的长是米，则的长为米，
根据题意得：，
解得或，
经检验，或都满足题意，
答：的长是米或米；
能围成面积比更大的花圃，理由如下：
设围成长方形花圃面积是平方米，
根据题意得：，
墙的最大可用长度为，
，
，
，
当时，最大值是，
能围成的花圃最大面积是，
能围成面积比更大的花圃，最大面积是． 

【解析】设的长是米，则的长为米，根据题意得：，即可解得答案；
设围成长方形花圃面积是平方米，根据题意得：，根据二次函数性质可得答案．
本题考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程组和函数关系式．

21.【答案】解：过点作交于点，
，
，，
：：，
：：：，
，
：，
：：：． 

【解析】可过点作，进而由平行线的性质得出与的值，进而通过线段之间的转化即可得出结论．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够通过作辅助线再通过线段之间的转化，从而熟练求解．

22.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为；
设该品牌头盔的售价定为元个，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该品牌头盔的售价应定为元个． 

【解析】设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，利用月份的销售量月份的销售量该品牌头盔销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设该品牌头盔的售价定为元个，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用月销售利润每个头盔的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23.【答案】解：
的面积为，
当时，，，
，
，
即，
，
该一元二次方程无实数根，
该范围下不存在；
当时，，，
，
，
即，
解得或舍去，
综上所述，存在，当时，的面积是面积的． 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．
依据，，即可得到：当点在线段上运动时，、两点之间的距离；
分两种情况：当时，当时，分别依据的面积是面积的，列方程求解即可．
【解答】
解：中，，，，
中，，
又点从点开始沿射线向点以的速度移动，
，
当点在线段上运动时，、两点之间的距离；
故答案为：；

见答案