【期中模拟卷】苏教版2019 2023-2024学年高二数学 选修1第一章+直线与方程综合测试卷

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第1章 直线与方程（单元重点综合测试）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，若l1⊥l2，则a的值为(　 )
A．－ B． C．1 D．－2
【答案】A
【解析】　∵l1⊥l2，显然两直线的斜率存在且都不为0，∴×＝－1，解得a＝－．故选A．
2．已知直线x＋2y＋3＝0与直线2x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　 )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】　因为直线x＋2y＋3＝0与直线2x＋my＋1＝0平行，所以＝，可得m＝4，所以2x＋4y＋1＝0，即x＋2y＋＝0，所以由两平行直线间距离公式可得d＝＝．故选A．
3．直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　 )
A．2x＋y－4＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－4＝0
【答案】D
【解析】　直线x－2y＋2＝0上的点(－2,0)关于直线x＝1对称的点A(4,0)，直线x－2y＋2＝0上的点(0,1)关于直线x＝1对称的点B(2,1)，故直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程，即直线AB的方程为＝，即x＋2y－4＝0，故选D．
4．已知直线2x＋y＋5＝0与直线kx＋2y＝0互相垂直，则它们的交点坐标为(　 )
A．(－1，－3) B．(－2，－1)
C． D．(－1，－2)
【答案】B
【解析】　由直线2x＋y＋5＝0与直线kx＋2y＝0互相垂直，可得2k＋2＝0，即k＝－1，
所以直线kx＋2y＝0的方程为x－2y＝0．由⇒得它们的交点坐标为(－2，－1)．故选B．
5．若直线l的斜率k的变化范围是[－1，]，则它的倾斜角α的变化范围是(　 )
A．0°≤α≤60°
B．135°≤α<180°
C．60°≤α<135°
D．0°≤α≤60°或135°≤α<180°
【答案】D
【解析】当k＝时，α＝60°；当k＝－1时，α＝135°．如图，易知－1≤k≤时，0°≤α≤60°或135°≤α<180°，故选D．
6．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　 )
A．3 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【解析】　由题意知l1∥l2，点M在直线l1，l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线的方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，所以点M在直线x＋y－6＝0上．则M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3．故选A．
7．若直线l1：y－2＝(k－1)x和直线l2关于直线y＝x＋1对称，那么直线l2恒过定点(　 )
A．(2,0) B．(1，－1)
C．(1,1) D．(－2,0)
【答案】C
【解析】∵l1：kx＝x＋y－2，由得l1恒过定点(0,2)，记为点P，∴与l1关于直线y＝x＋1对称的直线l2也必恒过一定点，记为点Q，且点P和Q也关于直线y＝x＋1对称．设Q(m，n)，则⇒即Q(1,1)，∴直线l2恒过定点(1,1)，故选C．
8．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为(　 )
A． B．
C．3 D．3
【答案】D
【解析】　当k＝0时，点P(2,2)到直线x－y－4＝0的距离为2；
当k≠0时，解方程组得两直线交点P的坐标为，
所以点P到直线x－y－4＝0的距离为＝，
为求得最大值，考虑正数k，则有＝≤，当且仅当k＝1时取等号，
所以≤＝3．故选D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知直角三角形ABC的顶点B(2,4)，C(－2,6)，且∠BAC＝90°，点A在直线2x－y＋5＝0上，则点A的坐标可能为(　 )
A．(1,7) B．(2,9)
C．(－1,3) D．(－2,1)
【答案】AC　
【解析】因为点A在直线2x－y＋5＝0上，可设A(x，2x＋5)，根据题意可知AB⊥AC，
且直线AB，AC的斜率都存在，故有kAB×kAC＝－1，即×＝－1，解得x＝1或x＝－1，
故点A的坐标为(1,7)或(－1,3)．故选A、C．
10．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是(　 )
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
【答案】ABD
【解析】　对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；
由方程组可得(2k＋1)x＝0，对任意的k，此方程有解，可得l1与l2有交点，故B正确；
当k＝－时，＝成立，此时l1与l2重合，故C错误；
由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为＝－1－≠－1，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．
11．若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的有(　 )
A．直线l2的斜率为定值
B．当c＝25时，PQ的最小值为
C．当PQ的最小值为1时，c＝20
D．c≠10
【答案】ABD
【解析】　∵l1∥l2，＝3，≠5，∴a＝6，c≠10，故A、D正确；∵PQ的最小值为两平行直线间的距离，∴当c＝25时，d＝＝，故B正确；当PQ的最小值为1时，d＝＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误．
12．在平面直角坐标系中，直线l：y＝k(x－2)＋3与坐标轴分别交于点A，B，则下列选项中是真命题的有(　 )
A．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有一条
B．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有二条
C．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有三条
D．存在正实数m使得△OAB面积为m的直线l恰有四条
【答案】BCD
【解析】　由题意知k≠0，
直线l：y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴交点的坐标分别为A，B(0,3－2k)，
所以S△OAB＝××|3－2k|＝
＝2，
作出其图象如图所示，

由图可知，当012时，k有四解．故选B、C、D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．设直线l的方程是ax＋3y－2＝0，其倾斜角为α，若α∈，则a的取值范围为________．
【答案】(－∞，－)∪(3，＋∞)
【解析】由ax＋3y－2＝0得y＝－x＋，所以tan α＝－，
因为α∈，所以tan α>或tan α<－1，
又tan α＝－，所以－>或－<－1，
所以a<－或a>3．
14．已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________．
【答案】
【解析】由题意，直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)，
可化为直线的点斜式方程y－1＝k(x－2)，可得直线l过定点P(2,1)，
又由点A(5,0)，可得PA＝＝，
当直线l与PA所在的直线垂直时，此时点A(5,0)到l的距离取得最大值，最大值为．
15．已知△ABC的顶点A(4,3)，AB边上的高所在直线方程为x－y－3＝0，D为AC中点，且BD所在直线方程为3x＋y－7＝0，那么顶点B的坐标是________；直线BC的方程为______________．
【答案】(0,7)　19x＋y－7＝0
【解析】由A(4,3)及AB边上的高所在直线为x－y－3＝0，设AB所在直线方程为y＝－x＋b，
由A(4,3)可得b＝7，所以AB所在直线方程为x＋y－7＝0，
又BD所在直线方程为3x＋y－7＝0，
由得B(0,7)．设C(m，n)，
又A(4,3)，D为AC的中点，则D，
由已知得得C，所以kBC＝＝－19，
所以直线BC的方程为y＝－19x＋7，即19x＋y－7＝0．
16．已知点A(－3,1)，点M，N分别是x轴和直线2x＋y－5＝0上的两个动点，则AM＋MN的最小值等于________．
【答案】
【解析】如图，作点A(－3,1)关于x轴的对称点A′(－3，－1)，则AM＋MN＝A′M＋MN，
最小值即为A′(－3，－1)到直线2x＋y－5＝0的距离，
d＝＝，所以AM＋MN的最小值为．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2．
(1)求直线l1与l2的交点坐标；
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．
【解析】(1)设l2的方程为2x－y＋m＝0，因为l2在x轴上的截距为，
所以3－0＋m＝0，m＝－3，即l2：2x－y－3＝0．
联立得
所以直线l1与l2的交点坐标为(2,1)．
(2)当l3过原点时，l3的方程为y＝x．
当l3不过原点时，设l3的方程为＋＝1(a≠0)，
又直线l3经过l1与l2的交点，所以＋＝1，得a＝，l3的方程为2x＋y－5＝0．
综上，l3的方程为x－2y＝0或2x＋y－5＝0．
18．(本小题满分12分)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0．
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
【解析】(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔解得a＝－1．
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2．
法二：由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2⇔⇔可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2．
(2)由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝．
19．(本小题满分12分)已知G(1,0)为正方形的中心，且这个正方形的一条边所在的直线方程为3x＋y－5＝0，求这个正方形其他三条边所在直线的一般方程．
【解析】设另外的三条边所在直线的一般方程为3x＋y＋C1＝0及x－3y＋C＝0，
设点G(1,0)到直线3x＋y－5＝0的距离为d，
则d＝＝，
点G(1,0)到另外三条边所在直线距离也为d，
则＝，所以C1＝－1(C1＝－5舍去)，直线方程为3x＋y－1＝0．
＝，所以C＝－3或1，
直线方程为x－3y＋1＝0和x－3y－3＝0．
所以另三边所在直线方程为3x＋y－1＝0，x－3y＋1＝0和x－3y－3＝0．
20．(本小题满分12分)已知直线l1经过A(3,4)，B(0，－5)两点，直线l1，l2关于直线l0：y＝x对称．
(1)求直线l2的方程；
(2)直线l2上是否存在点P，使点P到点F(1,0)的距离等于到直线l：x＝－1的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解析】(1)直线l1的斜率k＝＝3，则直线l1的方程为y＋5＝3x，即3x－y－5＝0．
设点M(x，y)为直线l2上任意一点，
则点M(x，y)关于l0：y＝x的对称点M′(y，x)在直线l1上，即3y－x－5＝0，
所以直线l2的方程为x－3y＋5＝0．
(2)假设存在符合条件的点P，使点P到点F(1,0)的距离等于到直线l：x＝－1的距离．
设点P(x，y)，则＝|x＋1|，
所以点P在y2＝4x的图象上．
又因为点P在直线l2上，
由解得或
所以存在符合条件的点P，其坐标为(1,2)或(25,10)．
21．(本小题满分12分)已知直线l过定点P(－2,1)，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点．
(1)若△AOB的面积为4，求直线l的方程；
(2)求OA＋OB的最小值，并求此时直线l的方程；
(3)求PA·PB的最小值，并求此时直线l的方程．
【解析】(1)设直线l的方程为＋＝1，其中a<0，b>0，
因为过点P(－2,1)，所以－＋＝1，
因为△AOB的面积为4，所以S△AOB＝(－ab)＝4，
联立解得
所以直线l的方程为－＋＝1，
即x－2y＋4＝0．
(2)因为OA＋OB＝b－a，
所以OA＋OB＝b－a＝(b－a)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当a＝－－2，b＝1＋时取等号，
所以直线l的方程为x－y＋2＋＝0．
（3）因为A，P，B三点共线，
所以AP·PB＝·＝(－2－a,1)·(2，b－1)＝－2a＋b－5＝(－2a＋b)·－5
＝－－＋4＋1－5＝－－≥4，当且仅当a＝－3，b＝3时取等号，
所以直线l的方程为x－y＋3＝0．
22．(本小题满分12分)已知四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0)，A(6,2)，B(4,6)，C(2,6)，直线y＝kx把四边形OABC分成两部分，S表示靠近x轴的部分的面积．
(1)求S＝f(k)的函数表达式；
(2)当k为何值时，直线y＝kx将四边形OABC分为面积相等的两部分？
【解析】(1)如图所示，由题意得
kOA＝，kOB＝，kOC＝3，
lOA：x－3y＝0，lAB：2x＋y＝14，lBC：y＝6．
①当 由解得故P1，
所以点P1到直线OA的距离d＝·，
|OA|＝2，所以S＝×|OA|×d＝；
②当≤k<3时，直线y＝kx与线段BC交于点P2，所以S△OP2C＝×|P2C|×6＝，
又因为S四边形OABC＝S△AOB＋S△OBC＝14＋6＝20，
所以S＝S四边形OABC－S△OP2C＝26－．
故S＝f(k)＝
(2)若要使直线y＝kx将四边形OABC分为面积相等的两部分，
结合(1)知只需＝10，解得k＝．