2024济南实验中学高二上学期开学检测数学试题含解析

山东省实验中学2023～2024学年暑假学情调研测试

高二数学试题 

2023．08

说明：本试卷满分120分.试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间90分钟.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若（是虚数单位），则复数的模为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数的模.

【详解】因为，所以，

所以，故选D.

【点睛】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.

2. 如图所示，△表示水平放置的△的直观图，在轴上，和轴垂直，且 ，则△的边上的高为 （    ）

A.    B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由原图形与直观图的面积比为求解．

【详解】设的边上的高为，因为，所以，又，所以.

故选：B.

3. 设，，，若，则与夹角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据题意求出,再代入公式即可.

【详解】因为，，

所以,

又因为

所以解得.

所以

所以.

故选：B.

4. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示．估算月经济损失的平均数为，中位数为，则（    ）

A. 50 B. 75 C. 90 D. 100

【答案】C

【解析】

【分析】根据频率分布直方图的性质，所有的矩形块面积之和等于1，可求得的值，根据中位数的定义可求得，再根据频率分布直方图估算平均数可求得，进而即得.

【详解】根据频率分布直方图的性质，所有的矩形块面积之和等于1，

，

第一块小矩形的面积为，第二块小矩形的面积为，所以中位数在第二组，

故，

又平均数，

故.

故选：C.

5. 数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】将已知等式结合进行化简，得到，并利用正弦定理可得，代入 “三斜求积”公式并将看成整体并利用二次函数性质得解.

【详解】，

，

又，

所以，

所以，

所以，

所以 ，

由正弦定理得 

的面积，

，

将看成整体并利用二次函数性质得，当 即 a=2时， 的面积S 有最大值为.

故选：A .

6. 在下列条件中，使与，，一定共面的是（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】与，，一定共面的充要条件是，

对于A选项，由于，所以不能得出共面.

对于B选项，由于，所以不能得出共面.

对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面.

对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.

故选：C

【点睛】本小题主要考查四点共面的条件，属于基础题.

7. 已知直线:，直线:，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据直线的垂直，即可求出tanα=2，再根据二倍角公式即可求出．

【详解】因为l1⊥l2，所以，

所以tanα=2，

所以.

故选：B．

【点睛】本题考查了两直线的垂直的充要条件，以及正切二倍角公式，属于容易题.

8. 若过直线上一点M向圆Γ：作一条切线于切点T，则的最小值为（    ）

A.  B. 4 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】要使最小，则圆心到直线距离最小，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求解.

【详解】圆Γ：的圆心坐标为，半径为2，

要求的最小，则圆心到直线的距离最小，为，

∴的最小值为，

故选：D.

【点睛】本题主要考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属于基础题.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9. 已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中不正确的为（    ）

A. 若，，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据线面平行、垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，若，，则与可能平行、相交或异面，A错误；

对于B，若，，则或，B错误；

对于C，若，，则可能平行或相交，C错误；

对于D，若，则在内必存在直线，使得；

又，，，，D正确.
故选：ABC.

10. 如图，已知正方体的棱长为，、分别为、的中点，在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（    ）

A. 三棱锥的体积与点位置无关

B. 若为中点，三棱锥的体积为

C. 若为中点，则过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是

D. 若与重合，则过点、、作正方体的截面，截面为三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】根据锥体的体积、正方体的截面等知识对选项进行分析，由此确定正确答案．

【详解】对于A选项，由正方体可得平面平面，平面

所以平面，又，所以点到平面的距离为定值即的长

因为，由于三角形的面积固定，所以三棱锥的体积与点位置无关，A选项正确；

对于B选项，，所以，B选项错误；

对于C选项，当为中点时，连接，

则是的中点，连接，

由于，分别是，的中点，所以，

由于，则，

即过点，，作正方体的截面是等腰梯形，

，

等腰梯形的高为，

所以等腰梯形的面积为，C选项正确；

对于D选项，当与重合时，

延长交的延长线于，连接，交于，连接，

延长交的延长线于，连接，交于，连接，

则五边形是过点，，作正方体的截面，D选项错误．

故选：AC．

11. 在锐角中,若,且,则不能取到的值有（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由得到,再根据正弦定理将化简整理可得,由为锐角三角形得到,根据正弦定理可得,最后结合两角差的正弦公式、辅助角公式即可求解.

【详解】由,

又,

所以,则.

因为,

根据正弦定理得,

故,

即,

所以,

即,

根据正弦定理得,

所以,

因为为锐角三角形,且,

所以,即,

解得,

所以

,

因为,所以,则,

所以,

即.

故选:ACD.

12. 下列命题正确的是（     ）

A. 已知空间向量，且，则实数

B. 过点，斜率是的直线方程是

C. 已知直线与直线平行，则实数为2

D. 圆心为且和轴相切的圆的方程是

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据向量平行、直线方程、直线平行、圆的方程等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，由于，所以，所以A选项正确.

B选项，过点，斜率是的直线方程是，B选项正确.

C选项，当是时，两直线方程为，，

两条直线的斜率分别为，所以两直线不平行，C选项错误.

D选项，由于圆的圆心为且与轴相切，即圆的半径为，

所以圆方程为，所以D选项正确.

故选：ABD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）

13. 某单位有职工人，其中业务人员人，管理人员人，后勤服务人员人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为的样本，如果采取比例分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为 ________

【答案】

【解析】

【分析】根据分层抽样原则直接求解即可.

【详解】抽到管理人员的人数为.

故答案为：.

14. 已知正四棱锥底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱锥外接球的表面积为 ________

【答案】

【解析】

【分析】先求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积.

【详解】如图所示正四棱锥，设，则平面，

由于平面，所以，

则，

设是外接球的球心，是外接球的半径，

则，即，

所以外接球的表面积为.

故答案为：

15. 已知是边长为的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是 ________．

【答案】

【解析】

【分析】以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，由此可得点轨迹方程，设，利用向量数量积坐标运算和三角恒等变换知识可化简得到，结合正弦函数值域可求得结果.

【详解】以中点为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，

，点轨迹是以为圆心，为半径的圆，

点轨迹方程为：，不妨设，

，，，

，

，

，，

即的取值范围为.

故答案：.

16. 与圆相交所得的弦长为2，且在轴上截距为的直线方程是__________

【答案】

【解析】

【分析】先求出圆心和半径，再根据题意设直线方程为，然后求出圆心到直线的距离，再根据圆心距，弦和半径的关系列方程可求出，从而可求出直线方程.

【详解】由，得，则圆有圆心为，半径为，

由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为，

则圆心到直线的距离为，

因为与圆相交所得的弦长为2，

所以，解得，

所以直线方程为，即直线方程为，

故答案为：

四、解答题（本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字、证明过程或演算步骤）

17. 如图，，原点是的中点，点的坐标为，，，点在平面上，且，．

（1）求向量的坐标．

（2）求与的夹角的余弦值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）过作于，求得的值，得到点的坐标，进而求得的坐标；

（2）分别求得向量的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）过作于，

则，，

所以的坐标为，

又因为，所以．

（2）依题设有点坐标为，所以，，

则与的夹角的余弦值为．

【点睛】本题主要考查空间直角坐标系的应用，以及空间向量的夹角公式的应用，其中解答中正确书写点的坐标，熟练应用向量的夹角公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

18. 某校后勤服务中心为了解学校食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图．下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），……，[90，100]．

（1）学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；

（2）学校每周都会随机抽取3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量.校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，会立即让后勤分管处亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的50名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中，评分在之间的会给“差评”，评分在之间的会给“中评”，评分在之间的会给“好评”，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周校长会让后勤分管处亲自检查食堂服务质量的概率．

【答案】（1），食堂不需要内部整顿   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率之和为求得，求得平均数，由此确定正确答案.

（2）根据相互独立事件、对立事件的知识求得本周校长会让后勤分管处亲自检查食堂服务质量的概率.

【小问1详解】

，

解得.

因为，所以食堂不需要内部整顿.

【小问2详解】

由图可知，这三组的频率分别为0.1、0.5、0.4；

用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为0.1、0.5、0.4；

记3名学生分别为甲、乙、丙；

设本周校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为，

则事件即为：甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙中评、

乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评；

即

.

即本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率为.

19. 在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；

（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）二面角的余弦值为.

【解析】

【详解】

【分析】分析：（Ⅰ）连接AC交BE于O，并连接EC，FO，由题意可证得四边形ABCE为平行四边形，则，//平面.

（Ⅱ）由题意可得，且，则，故.

（Ⅲ）取中点，连，由题意可知的平面角，由几何关系计算可得二面角的余弦值为．

详解：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，

,为中点

AE//BC，且AE=BC

四边形ABCE为平行四边形

O为AC中点

又F为AD中点

，

，

//平面

（Ⅱ）由BCDE为正方形可得

由ABCE为平行四边形可得//

为即

，

侧面底面侧面底面平面

，

，

.

（Ⅲ）取中点，连，

，，

平面，

的平面角，

又，

，

所以二面角的余弦值为．

点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：

①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；

②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．

(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．

20. 在中，角、、的对边分别为，，.

（1）若．，，求的值．

（2）若为锐角三角形中，，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，求得，，再利用正弦定理求得.

（2）利用余弦定理和基本不等式求得，根据锐角三角形的性质、函数的单调性求得的取值范围.

【小问1详解】

在中，由，以及正弦定理可得：，，

，，，可得．

，，，，，

由正弦定理得.

【小问2详解】

（当且仅当时，取等号），

因为三角形是锐角三角形，所以，

所以，所以，

因为，

设，，

所以，

因为函数在上是减函数，在上是增函数，

，，

所以的取值范围为．