山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

青大附中2022－2023学年度第一学期阶段性检测

九年级数学试题

考试范围：九上第1－3章；满分：120分，考试时间：120分钟

一、选择题（每题3分，共30分）

1．方程x2＝3x的解为（    ）

A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3

2．关于x的方程是一元二次方程，则m等于（    ）

A．0 B．－2 C．2 D．±2

3．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（    ）

A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形

C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形

4．用配方法解方程x2－4x＝2．下列配方正确的是（    ）

A．（x－2）2＝4 B．（x＋2）2＝6 C．（x－2）2＝8 D．（x－2）2＝6

5．在1，2，3，4四个数中，随机抽取两个不同的数，其乘积大于4的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于（    ）

A．米 B．6米 C．米 D．3米

7．在一个四边形ABCD中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC与BD需要满足的条件是（    ）

A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要条件

8．已知三角形的两边的长分别为2和10，第三边是方程x2－17x＋70＝01的两根之一，则此三角形的周长是（    ）

A．19 B．22 C．13 D．19或22

9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③⑤

10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若，且∠ECF＝45°，则CF长为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（每题3分，共18分）

11．某种品牌的电脑，原价是7200元/台，经过连续两次降价后，现价是3528元/台，平均每次降价的百分率为__________．

12．袋子中有8个白球和若干黑球，小华从袋子中任意摸出一球，记下颜色后放回袋子中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了100次后，共有32次摸出白球，据此估计袋中黑球有__________个．

13．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．

14．我校举办以“使命·成全·梦想”为主题的庆祝建校二十周年书画展活动，如图是该书画展览馆出入口示意图．小颖和小芳从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概是__________．

15．已知直线l的解析式为y＝2x＋2，菱形AOBA1，AO1B1A2，A2O2B2A3，…按图所示的方式放置，顶点A，A1，A2，A3，…均在直线l上，顶点O，O1，O2，…均在x轴上，则点的坐标是__________．

16．如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为__________．

三、解答题（共9个大题，共72分）

17．（本题共4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹

已知：如图，线段a和∠α，求作：矩形ABCD，使AB＝α，∠CAB＝∠α．

18．（本题共9分）解下列方程

（1）x2＋2x－4＝0 （2） （3）2（x－3）2＝x2－9

19．（本题共6分）已知关于x的方程x2－6x－m2＋3m＋5＝0．

（1）试说明此方程总有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是－1，求另一根．

20．（本题共6分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动，在“形象大使”选拔活动中，A，B，C，D这4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选中A和C的概率．

21．（本题共8分）已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）

（1）EF＝__________cm，GH＝__________cm；（用含x的代数式表示）

（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．

22．（本题共8分）如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．

（1）求证：BD＝AF；

（2）当△ABC满足怎样的条件时，四边形ADCF是菱形，说明理由．

23．（本题共10分）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：

信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；

信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；

信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）求甲、乙两种商品的零售单价：

（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元？

24．（本题共9分）综合与实践

【问题解决】：

（1）已知四边形ABCD是正方形，以B为顶点作等腰直角△BEF，BE＝BF，连接AE．如图1，当点E在BC上时，请直接写出AE和CF的关系是__________．

【问题探究】：

（2）如图2，点H是AE延长线与直线CF的交点，连接BH，将△BEF绕点B旋转，当点F在直线BC右侧时，求证：；

【问题拓展】：

（3）将△BEF绕点B旋转一周，当∠CFB＝45°时，若AB＝3，BE＝1，请直接写出线段CH的长是__________．（直接写答案）

25．（本题共12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．

（1）当t＝__________时，四边形ABQP是矩形；

（2）当t＝__________时，四边形AQCP是菱形；

（3）是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．

（4）在运动过程中，沿着AQ把△ABQ翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在PQ边上。

2022－2023九上数学阶段阶段检测答案和评分标准

一、选择题（每题3分，共30分）

1．D  2．B  3．D  4．D  5．A  6．A  7．A  8．B  9．B  10．A

二、填空题（每题3分，共18分）

11．30%  12．17  13．k＜1  14．14．  15．  16．

三、解答题（共72分）

17．作图题（本题4分）

线段AB，作角

垂直平分线

确定D点

结论

18．计算题（本题9分，每题3分）

（1）解：x2＋2x＝4

x2＋2x＋1＝4＋1

（x＋1）2＝5

（2）

解：

b2－4ac＝18－4×2＝10＞0

（3）解：2（x－3）2－（x＋3）（x－3）＝0

（x－3）（x－9）＝0

x1＝3，x2＝9．

19．解：（本题6分）

（1），

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）设方程的另一根为x，

则x＋（－1）＝6

解得x＝7，

∴方程的另一个根为7．

20．解：（本题6分）

共有12种等可能的结果数，其中选中A，C两位同学作为形象大使的共2种，

P（A，C两位同学作为形象大使）．

21．（本题8分）

解：（1）EF＝（30－2x）cm，GH＝（20－x）cm．

（2）根据题意，得：（30－2x）（20－x）＝300．

解得：x1＝5，x2＝30（不合题意，舍去），

答：减掉小正方形的边长为5cm．

22．（本题8分）

（1）∵E是AD的中点，∴AE＝DE，

∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，

∵∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB；

∴BD＝AF．

（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCF是菱形

∵AD是BC边上的中线，∴DC＝DB，

∵AF＝DB，∴AF＝DC．

∵AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线．

，∴平行四边形ADCF是菱形．

23．（本题10分）

解：假设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，

根据题意可得：

解得：

答：甲、乙零售单价分别为2元和3元

（2）根据题意得出：

即2m2－m＝0．

解得m＝0.5或m＝0（舍去），

答：当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1000元．

24．（本题9分）

（1）AE＝CF，AE⊥CF

（2）证明：如图，在AH上截取AL＝CH，连接BL，

∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBF＝90°－∠CBE，BE＝BF，

∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BAE＝∠BCF，

∴∠BAL＝∠BCH，∴△BAL≌△BCH（SAS），

∴BL＝BH，∠ABL＝∠CBH，

∴∠LBH＝∠LBC＋∠CBH＝∠LBC＋∠ABL＝∠ABC＝90°，

，

，．

（3）解：当∠CFB＝45°，且点F在直线BC右侧时，如图，

∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠EFB＝∠FEB＝45°，

∴∠EFB＝∠CFB，∴点E在CF上，点H与点E重合，

作BN⊥CF于点N，则∠BNF＝∠BNC＝90°，

∵BC＝AB＝3，BF＝BE＝1，

，

，

，

；

当∠CFB＝45°，且点F在直线BC左侧时，如图，设CF与AB交于点P，

∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBF＝90°＋∠ABF，BE＝BF，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴∠BAE＝∠BCF，AE＝CF，

∵∠APF＝∠BPC，

∴∠BAE＋∠APF＝∠BCF＋∠BPC＝90°，

∴∠AFC＝90°，∴∠AFC＋∠CFB＋∠BFE＝180°，

∴点F在AE上，点H与点F重合，

作BQ⊥AE于点Q，则∠BQE＝∠BQA＝90°，

，

，

，

综上所述，线段CH的长为或．

25．（本题12分）

（1）t＝3

（2）

（3）方法一：过Q作QM⊥AD，交AD于M，∠QMD＝∠QMA＝90°，

易证四边形ABQM是矩形，∴AM＝BQ＝t，QM＝AB＝3

∴MP＝6－2t，∴PQ2＝PM2＋QM2＝（6－2t）2＋32

∵矩形ABCD，∴∠D＝90°，∴PC2＝PD2＋CD2＝t2＋321分

∵PQ⊥PC，∴∠QPC＝90°，∴PQ2＋PC2＝CQ2

即：（6－2t）2＋32＋t2＋32＝（6－t）2

∴2t2－6t＋9＝0

∵△＝b2－4ac＝36－72＝－36＜0

∴方程无实数根

∴不存在某一时刻t使得PQ⊥PC

方法二：利用相似（△QMP∽△PDC）列方程得2t2－6t＋9＝0，方程无实数根

∴不存在某一时刻t使得PQ⊥PC

（4）

∵折叠

，

∵矩形ABCD，∴AD∥BC，

∴∠AQB＝∠PAQ，

∴PA＝PQ＝6－t，

在中，，

∴32＋（6－2t）2＝（6－t）2

即：t2－4t＋3＝0，解得：t1＝1，t2＝3

答：当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在PQ边上。