新教材2023_2024学年高中数学第2章函数3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性分层作业北师大版必修第一册

第二章§3　函数的单调性和最值

第1课时　函数的单调性

A级 必备知识基础练

1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　)

A.y=2x+1 

B.y=x2+7

C.y=3-x 

D.y=x2+2x+1

2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是(　　)

A.(-∞,1) 

B.(1,+∞)

C.(-∞,2) 

D.(2,+∞)

3.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则(　　)

A.f(a)>f(2a) 

B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a) 

D.f(a2+1)<f(a)

4.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)<f(1-a),则实数a的取值范围是(　　)

A.,+∞ 

B.,1

C.(0,2) 

D.(0,+∞)

5.函数y=f(x)(x∈[-4,4])的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为(　　)

A.[-4,-2] 

B.[-2,1]

C.[1,4] 

D.[-4,-2]∪[1,4]

6.若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上(　　)

A.单调递增 

B.单调递减

C.先增后减 

D.先减后增

7.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m=　　　　　. 

B级 关键能力提升练

8.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-1,0)∪(0,1) 

B.(-1,0)∪(0,1]

C.(0,1) 

D.(0,1]

9.下列有关函数单调性的说法不正确的是(　　)

A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数

B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数

C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数

D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数

10.若函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是(　　)

A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)]

B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)

C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]

D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)

11.若函数f(x)=是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为　　　　　. 

12.已知函数f(x)=,若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2),则实数a的取值范围是　　　　　. 

13.已知函数f(x)=mx+(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=.

(1)求m,n的值;

(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;

(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.

C级 学科素养创新练

14.已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为　　　　　. 

15.设f(x)是定义在R上的函数,对任意m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0<f(x)<1.求证:

(1)f(0)=1;

(2)当x∈R时,恒有f(x)>0;

(3)f(x)在R上是减函数.

参考答案

§3　函数的单调性和最值

第1课时　函数的单调性

1.ABD　函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.

2.B　易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为直线x=1,所以函数的单调递减区间是(1,+∞).

3.D　选项D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)<f(a).而在其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.

4.B　因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)<f(1-a),所以解得<a<1,所以实数a的取值范围是(,1).故选B.

5.B

6.B　由于函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-<0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上单调递减.

7.-8　∵函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴其图象对称轴为直线x=-=-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.

8.D　f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,

∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,∴a≤1.

∵g(x)=在区间[1,2]上单调递减,∴a>0,∴0<a≤1.

9.C　根据增函数、减函数的定义,知两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B正确;对于D,g(x)为增函数,则-g(x)为减函数,f(x)为减函数,f(x)+(-g(x))为减函数,选项D正确;对于C,若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的单调性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-x时,f(x)+g(x)=+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.

10.D　因为a+b≤0,所以a≤-b,b≤-a,

又函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,

所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),

所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

11.[-3,-1]　由题意可得解得-3≤a≤-1,

则实数a的取值范围是[-3,-1].

12　由“若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2)”可知函数f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增.

而f(x)==a+,故有1-2a<0,解得a>,即a的取值范围为

13.解(1)∵f(1)=m+=2,f(2)=2m+,

(2)f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.证明如下,

由(1)得f(x)=x+

设1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+=(x1-x2)=(x1-x2)

∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,∴2x1x2-1>1,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).

∴f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.

(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,

∴只需1+2x2>x2-2x+4,

∴x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.

即实数x的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).

14.(-∞,16]　任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=[x1x2(x1+x2)-a].

要使函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,需满足f(x2)-f(x1)>0在[2,+∞)上恒成立.

∵x2-x1>0,x1x2>4>0,

∴a<x1x2(x1+x2)恒成立.

又x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16,

即a的取值范围是(-∞,16].

15.证明(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),

∵f(n)≠0,∴f(0)=1.

(2)由题意知,当x>0时,0<f(x)<1;

当x=0时,f(0)=1>0;

当x<0时,-x>0,

∴0<f(-x)<1.

∵f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x)=1,

∴f(x)=>0.

故x∈R时,恒有f(x)>0.

(3)设任意的x1,x2∈R,且x1>x2,

则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).

∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].

由(2)知,f(x2)>0.

∵x1-x2>0,

∴0<f(x1-x2)<1,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

故f(x)在R上是减函数.