2023学年二轮复习解答题专题二十五：抛物线上面积类综合问题

2023年二轮复习解答题专题二十五：

抛物线上面积类综合问题

方法点睛

在处理相应二次函数有关的面积类综合问题时，结合相应的图形特征，学会灵活转化和计算，注意运用全等，勾股及相似等相关知识，体现数形结合及代数式的运算计巧，对于相应交点，学会联立方程组来求取点坐标

典例分析

类型一：由已知面积来定未知面积类问题

例1： （2022青海中考） 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.

          图1                     图2

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）

类型二：图形面积的最大值问题

例2：（2022广安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．

（1）求此抛物线的函数解析式．

（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．

类型三：与面积倍分有关的综合题

例3：（2022内江中考）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；

（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；

（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．

专题过关

1.（2022枣庄中考）（12分）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的关系式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；

（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；

（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2. （2022沈阳中考）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．

（1）①求抛物线的函数表达式

②并直接写出直线AD的函数表达式．

（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，面积记为，的面积记为，当时，求点E的坐标；

（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为，点C的对应点，点G的对应点，将曲线，沿y轴向下平移n个单位长度（）．曲线与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形是平行四边形，直接写出P的坐标．

3．（2022日照中考）（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．

（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；

（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；

（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM﹣S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．

4. （2022泸州中考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．

（1）求，的值；

（2）经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；

（3）是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

5. （2022乐山中考）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；

（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．

6. （2022成都中考） 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．

（1）当时，求，两点的坐标；

（2）连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；

（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

7．（2022烟台中考）（14分）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；

（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

8. （2022泰安中考） 如图，抛物线的图象经过点C，交x轴于点（点A在点B左侧），且连接，D是上方的抛物线一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接，，是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，垂直于点F，使得中有一个锐角等于与的两倍？若存在，求点D得横坐标，若不存在，请说明理由．

9. （2022通辽中考） 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；

（3）点是抛物线上一点，若，求点的坐标．

10. （2022包头中考） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；

（3）如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

11. （2022营口中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；

（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．

12. （2022盘锦中考）如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；

（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．

13. （2022泰州中考）如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点B(3，1).

（1）求这两个函数的表达式；

（2）当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；

（3）平行于轴的直线l与函数的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.

14. （2022连云港中考）已知二次函数，其中．

（1）当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；

（2）求证：二次函数的顶点在第三象限；

（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．

15. （2022岳阳中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．
求抛物线的解析式；
如图，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
如图，将中抛物线向上平移个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点点在点的左侧．
求点和点的坐标；
若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点点，与点，不重合，试求四边形面积的最大值．

16. （2022娄底中考） 如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．

（1）请直接写出点，，的坐标；

（2）点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．

（3）点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

17. （2022常德中考） 如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；

（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值

18. （2022随州中考） 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；

（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．

19. （2022黄冈中考） 抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．

（1）直接写出点B和点D的坐标；

（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；

（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．

20. （2022龙东中考） 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

21. （2022哈尔滨中考） 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．

（1）求a，b的值；

（2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接、设点P的纵坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）如图2，在（2）的条件下，连接，点F在上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接交y轴于点G，点G为的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接，，延长交于点M，点R在上，连接，若，，求直线的解析式．

22. （2022贺州中考）如图，抛物线过点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

23. （2022广东中考） 如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标．

24. （2022福建中考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；

（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

25.（2022南阳卧龙一模） 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点M的坐标；

（3）若点P在抛物线第一象限的图象上，则面积的最大值为________．

26. （2022西工大附中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）．

（1）求抛物线W1表达式；

（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D'，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

27. （2022山西百校联考）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．连接，．

（1）求抛物线的表达式，并直接写出所在直线的表达式．

（2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．

（3）设点是所在直线上一点，且点的横坐标为．是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

28.（2022山西一模） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．

（1）________，________；

（2）在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？

（3）在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

29. （2022山西三模）综合与探究

如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线过点B，C，且与x轴交于另一点A，点D为抛物线上一动点，其横坐标为m．

（1）求k，b的值和点A的坐标．

（2）若点D在第一象限，连接交于点E，连接，，当的面积是的面积的一半时，求m的值．

（3）连接，是否存在点D，使得，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

30.（2022临汾二模） 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．

（3）若点是抛物线上的动点，点是直线 上的动点，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的坐标．