新高考数学一轮复习基础巩固8.6 周期性与对称性（精讲）（含解析）

8.6 周期性与对称性（精讲）（基础版）

考点一 对称性

【例1-1】（2022·浙江 已知函数的图像关于点对称，则（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】C

【解析】图象关于点对称，，

又，

，

，解得：，.故选：C.

【例1-2】（2022·湖北）设函数，则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】假设，

所以，所以，

所以为奇函数，

而是向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以的对称中心为，所以，

由求导得

因为，当且仅当即，取等号，

所以所以在R上单调递增，

因为得

所以，解得，故选：B

【一隅三反】

1．（2022·河南安阳）设函数，若函数的图象关于点对称，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【解析】因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，

即为奇函数，故，

所以.故选：B.

2．（2022·全国·单元测试）（多选）已知函数，则（    ）

A．在单调递增

B．在单调递增，在单调递减

C．的图象关于直线对称

D．的图象关于点对称

【答案】BC

【解析】函数的定义域满足 ，即，

即函数的定义域是，

∵，

设，则函数在单调递增，在单调递减，

又函数单调递增，

由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确；

因为,,

所以，即函数图象关于直线对称，故C正确；

又，，

所以，所以D错误．故选：BC．

3．（2022·浙江宁波 ）已知函数，使不等式成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．或 C．或 D．或

【答案】D

【解析】因为函数，

所以函数的图象关于对称，当时，单调递增，

根据对称性可知，当时，单调递减，

若不等式成立，则，

即，可得，解得或，

结合选项可知使不等式成立的一个必要不充分条件是或，

故选：D

4．（2022·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得函数图象的对称轴是直线，

又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，

则，解得．

故选：B.

考点二 周期性

【例2-1】（2022·陕西 ）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A．3 B．0 C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，所以的周期为4，

所以，

又是定义在上的奇函数，所以，

所以，

又因为在中，令，得，

所以，又当时，，所以令，，

所以.故A，B，C错误.

故选：D.

【例2-2】（2022·安徽蚌埠·一模）已知定义在上的偶函数满足，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意, 函数满足, 则,

又由为偶函数，则有,

则有,

即函数是周期为4的周期函数,

，令可得.

，，

所以

故选：B

【一隅三反】

1．（2022·新疆 ）已知是定义域为R的奇函数，满足，若，则（    ）

A．2 B． C．0 D．2022

【答案】A

【解析】,又，

，函数的周期.

又函数是定义域为R的奇函数，，

，，

，又

.

故选：A.

2．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知是上的奇函数，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，函数为上的奇函数，可得，

所以，所以是周期为4的周期函数，

所以，

因为，令，得，

因为为上的奇函数，所以，

所以.

故选：A.

3．（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

因为，

所以的最小正周期为.

故选：D.

4．（2022·云南红河 ）已知是定义在R上的奇函数，，都有，若当时，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【解析】是定义在R上的奇函数，，得，当时，，，都有，是周期为4的周期函数，

.故选：C.

考点三 函数性质的综合运用

【例3-1】（2022·广东）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，

则，，，

因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，

故函数在区间上为增函数，所以，即.

故选：D.

【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（       ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【解析】因为函数是奇函数且满足，可得，

则，即，所以为周期为3的函数，

又因为数列是等差数列，且，，

可得，解得，，所以，

所以，

因为，所以，

所以，

所以.

故选：B.

【例3-3】（2022·山西运城）（多选）已知函数，都有成立，且任取，，，以下结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则

【答案】BCD

【解析】由函数满足，则函数的图像关于直线对称，

又，，则函数在为增函数，

对于选项A，因为，所以，即A错误；

对于选项B，由已知有在为减函数，在为增函数，即，即B正确；

对于选项C，，又在为增函数，所以，即C正确；

对于选项D，当，则，则，即D正确，故选：BCD．

【一隅三反】

1．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）（多选）已知偶函数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数

C．函数为偶函数 D．函数为奇函数

【答案】BD

【解析】由题意知偶函数满足，则，

即，故，

故函数是以4为周期的周期函数，故A错误，B正确；

令，则

，

故函数是奇函数，

由于此函数的函数值不一定恒为零，

故一般情况下不是偶函数，C错误；

令，则，

由于，故，

即，

所以，即函数为奇函数，D正确，

故选：BD

2．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数，的定义域均为R，且，，若的图象关于直线对称，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为的图象关于直线对称，故，

因为，故，

因为，故，

所以，故，

所以，故，

所以为周期函数且周期为.

因为且，故，

又，故即，

而即，

故，

而且，故，

故.

故，

故选：A.

3．（2022·山东·临沂二十四中 ）（多选）已知为偶函数，且为奇函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】A选项，因为为偶函数，所以，

因为为奇函数，所以，

令得：，解得：，所以

令得：，即，所以，故A正确；

B选项，令得：，即，

因为，则，所以，所以，故B正确；

C选项，因为，所以，

因为，所以，

即，所以，

，所以，

即，所以，

所以的周期为4，，故C正确；

D选项，因为，

所以令得：，解得：，

令中得：，故D错误.

故选：ABC