4_专题四曲线运动（习题+检测+10年真题）

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专题四　曲线运动
专题检测题组
1.(2022宁夏吴忠联考,20)(多选)如图所示,水平放置的圆盘可绕其中心轴转动,放置在圆盘上的小滑块A用穿过圆盘中心光滑小孔的细线与小球B连接,当圆盘匀速转动的角速度ω=25 rad/s时,滑块A和小球B均相对圆盘保持静止,此时OA段线长为0.5 m,OB段线长为1 m。已知滑块A的质量m1=2 kg,小球B的质量m2=0.6 kg,取重力加速度大小g=10 m/s2 ,滑块与小球均视为质点,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则(　　)

A.滑块A受到的摩擦力方向一定指向圆盘的圆心
B.滑块A与圆盘间的动摩擦因数可能为0.4
C.细线受到的拉力大小为12 N
D. OB段细线与竖直方向的夹角为53°
答案　ABC　设OB段线长为l,与竖直方向夹角为θ,OB段线的拉力为F,小球B做匀速圆周运动,水平方向F sin θ=m2ω2l sin θ,竖直方向F cos θ=m2g,解得:F=12 N,θ=60°,C正确,D错误。滑块A做匀速圆周运动,假设滑块A所受静摩擦力指向圆心,由牛顿第二定律得F+f=m1ω2r,解得f=8 N,A正确;由于最大静摩擦力等于滑动摩擦力,所以f≤μm1g,解得μ≥0.4,B正确。
2.(2022山西朔州怀仁二模,18)旋转飞椅在水平面内做匀速圆周运动,可简化为如图所示的圆锥摆模型,内壁光滑的圆桶竖直固定放置,轻质细线1、2悬挂甲、乙两小球(视为质点)贴着圆桶内壁在水平面内做匀速圆周运动而处于相对静止状态,乙的质量为m=0.2 kg,细线1的长度为L=0.5 m,与竖直方向的夹角为53°,重力加速度为g=10 m/s2、sin 53°= 0.8、cos 53°=0.6,下列说法正确的是　(　　)

A.两球的向心加速度不一定相等
B.若甲的质量增大,则细线2的拉力也增大
C.若甲的质量恒定,则甲、乙的周期也恒定
D.若甲的质量为2m且圆桶对甲的弹力刚好为0,则圆桶对乙的弹力为4 N
答案　D　甲、乙两小球相对静止且都贴着筒壁,故两小球角速度相同、圆周运动半径相同,由a=ω2r知两小球向心加速度一定相等,A错误;对乙分析,在竖直方向细线2的拉力FT=mg,甲质量的变化不会影响细线2的拉力,B错误;设甲的质量M,对甲、乙组成的整体受力分析得:FT1 cos 53°=(M+m)g,FT1 sin 53°+FN1+FN2=(M+m)ω2r,当M恒定,细线1的拉力FT1恒定,但圆桶对甲的弹力FN1和对乙的弹力FN2不确定,故不能判断ω是否恒定,也就不能判断甲、乙周期是否恒定,C错误;若M=2m,FN1=0,对乙分析FN2=mω2r,可得FN2=4 N,D正确。
方法技巧
细线2对乙的拉力在竖直方向,由于乙的重力不变,所以细线2的拉力不变,若乙的角速度发生变化,筒壁对乙的弹力一定发生变化;细线2对甲的拉力不变,若甲的重力不变,则细线1对甲的拉力不变,若甲的重力变化,细线1对甲的拉力也发生变化。
3.(2023届四川成都七中阶段考,20)(多选)2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛,中国运动员谷爱凌夺冠。比赛场地简化如图所示,AO为助滑道,OB为倾斜雪坡,与水平面夹角α=37°,运动员某次训练从助滑道的最高点A由静止开始下滑至起跳点O,若起跳速率为20 m/s,方向与水平方向夹角θ=16°,最后落在雪坡上的P点(图中未画出)。把运动员视为质点,不计空气阻力,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则(　　)

A.运动员在空中做变加速曲线运动
B.运动员从起跳到达Р点运动的时间为4 s
C.起跳点O至落点P的位移为96 m
D.运动员离开雪坡的最大距离为12.8 m
答案　BC　运动员在空中只受重力,做匀变速曲线运动,A错误。将起跳点的速度v分解为沿雪坡的vx和垂直于雪坡的vy,可得vx=v cos 53°,vy=v sin 53°,将重力加速度g沿雪坡方向和垂直于雪坡方向分解为ax=g sin 37°,ay=g cos 37°;运动员从起跳至到达P点的时间t=2vygcos37°=4 s,起跳点至P点的位移x=vxt+12gt2 sin 37°=96 m,B、C正确。当运动员的速度方向与雪坡平行时,即垂直雪坡的速度减到零时,运动员距雪坡距离d最大,可得d=vy22gcos37°=16 m,D错误。
4.(2022陕西韩城象山中学模拟,9)(多选)“复兴号”列车在成功完成时速350公里的相关测试和科学评估后,于2017年9月21日起在京沪高铁运行。火车转弯时,要求轮缘与内、外轨间都无挤压。要满足火车转弯时的速度尽可能大些,下列说法正确的是(　　)
A.内、外轨间的高度差应大些
B.内、外轨间的高度差应小些
C.弯道半径应大些
D.弯道半径应小些
答案　AC　设内外轨的高度差为h,两轨道之间的距离为d,内外轨所在平面与水平面的夹角为α;若轮缘与内外轨均无挤压,则火车所受的重力G和轨道对火车的支持力FN的合力F提供向心力,可得G tan α=mv2R;由几何关系可得 tan α≈ℎd;,则若要使v尽可能大些,可以在保持α不变的情况下增大R,或是在保持R不变的情况下增大α,即增大h,A、C正确。
情境解读
火车转弯属于水平面内圆周运动的临界问题。当火车的速度v=gRtanα时,轮缘和内外轨间均无挤压;当v>gRtanα时,火车有离心的趋势,外侧轮缘和外轨之间有挤压;当vr甲,两车线速度相等,根据a=v2r,可知a甲>a乙,A错误;根据ω=vr,可知ω甲>ω乙,B错误;两车均由摩擦力指向轨道圆心的分力提供向心力,根据Fn=mv2r,可知甲车受到指向轨道圆心的摩擦力比乙车的大,C错误,D正确。故选D。
19.(2023届广州五中10月月考,11)(多选)如图所示,一条细绳跨过光滑定滑轮连接物体A、B,物体A悬挂起来,物体B穿在一根水平杆上。若物体B在水平外力作用下沿杆匀速向左运动,速度大小为v,当绳与水平杆间的夹角为θ时,则下列判断正确的是(　　)

A.物体A的速度为vcosθ
B.物体A的速度为v cos θ
C.细绳的张力等于物体A的重力
D.细绳的张力大于物体A的重力
答案　BD　将物体B的速度按图示两个方向分解,如图所示

物体A的速度等于物体B沿绳方向的分速度,则有vA=v cos θ,A错误,B正确;物体B向左匀速运动,则θ减小,cos θ增大,vA增大,即物体A向上做加速运动,由牛顿第二定律知细绳的张力大于物体A的重力,C错误,D正确。故选B、D。
20.(2022佛山二模,9)(多选)水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。如图为某水车模型,从槽口水平流出的水初速度大小为v0,垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上,落点到轮轴间的距离为R。在水流不断冲击下,轮叶受冲击点的线速度大小接近冲击前瞬间水流速度大小,忽略空气阻力,重力加速度为g,有关水车及从槽口流出的水,以下说法正确的是(　　)

A.水流在空中运动时间为t=2v0g
B.水流在空中运动时间为t=3v0g
C.水车最大角速度接近ω=2v0R
D.水车最大角速度接近ω=3v0R
答案　BC　水流垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上,则有tan 30°=v0gt,解得t=3v0g,A错误,B正确;水流到水轮叶面上时的速度大小为v=v02+(gt)2=2v0,根据v=ωR,得ω=2v0R,C正确,D错误。故选B、C。
21.(2022江门新会东方红中学月考,10)(多选)如图所示,半径为R的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合。转台以一定角速度匀速转动,一质量为m的小物块落入陶罐内,经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止,此时小物块受到的摩擦力恰好为0,且它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为60°,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)

A.物块做圆周运动的加速度大小为3g
B.陶罐对物块的弹力大小为2mg
C.转台转动的角速度大小为2gR
D.物块转动的线速度大小为3gR
答案　ABC　物块的受力情况如图所示

支持力和重力的合力提供物块做圆周运动的向心力,F合=mg tan 60°=ma,解得a=3g,A项正确;由于mgN= cos 60°,解得N=2mg,B正确;物块做匀速圆周运动,有mg tan 60°=mω2r,由几何关系有r=R sin 60°,解得ω=2gR,C项正确;由v=ωr解得v=3gR2,D项错误。故选A、B、C。
22.(2023届山西运城盐化中学满分卷,10)如图所示的光滑斜面长为l,宽为b,倾角为θ,一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入,恰好从底端Q点离开斜面(重力加速度为g),试求:
(1)物块由P运动到Q所用的时间t;
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0的大小;
(3)物块离开Q点时速度的大小v。

答案　(1)2lgsinθ　(2)bgsinθ2l
(3)(b2+4l2)gsinθ2l
解析　(1)物块在斜面上做初速度大小为v0、加速度大小为g sin θ的类平抛运动,由l=12at2可得,物块由P到Q的时间t=2lgsinθ。
(2)沿v0方向,由b=v0t可得,v0=bgsinθ2l。
(3)物块运动到Q点时,沿斜面方向的分速度vy=g sin θ·t,v=v02+vy2=(b2+4l2)gsinθ2l。
23.(2022宁夏吴忠一联,18)如图所示,一个质量为0.5 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出,恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力,进入圆弧时无机械能损失)。已知圆弧的半径R=0.5 m,θ=53°,小球到达A点时的速度vA=5 m/s。(取g=10 m/s2,cos 53° =0.6)求:
(1)小球做平抛运动的初速度v0;
(2) P点与A点的水平距离。

答案　(1)3 m/s　(2)1.2 m
解析　(1)由几何关系得,小球到达A点时速度方向与水平方向之间夹角为θ,由P点到A点,小球做平抛运动,水平方向vx=vA cos θ,所以v0=vx=3 m/s。
(2)小球由P点到A点,竖直方向vy=gt,由于tan θ=vyvx=gtv0,可得t=0.4 s。平抛运动水平方向位移x=v0t,所以P点到A点的水平距离x=1.2 m。