广东省江门市开平市新荻初级中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

2023-2024学年九年级上学期第一次月考

数学试卷

一、选择题（每小题3分，总30分）

1.下列方程①，②，③，④，⑤中，一定是一元二次方程有（    ）个

A.1   B.2   C.3   D.4

2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是

A.     B.

C.  D.

3.抛物线向左平移三个单位、再向上平移两个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（    ）

A.   B.   C.   D.

4.对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在（    ）

A第一象限   B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

5.若则，有一根是（    ）

A.   B.   C.   D.

6.函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（    ）

A.   B.

C.    D.

7.若函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（    ）

A.    B.

C.或  D.且

8.如果，那么的值为（    ）

A.1   B.-4   C.1或-4   D.-1或3

9.已知二次函数的图像如下图所示，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③其中，正确结论的个数是（    ）

A.0   B.1   C.2   D.3

10.已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为（    ）

A.13   B.11或13   C.11   D.12

二、填空题（每小题3分，其30分）

11.如果是关于x的二次函数，则__________.

12.某年中国足球超级联赛实行主客场的循环赛，即每两只球队都要在自己的主场和客场踢一场，已知全年共举行比赛210场，则参加比赛的球队有多少支?设参加比赛的球队有x支，可列方程为：________（不解方程）.

13.已知m是关于x的方程的一个根，则________.

14.已知抛物线与x轴交于，，则一元二次方程的根是_________.

15.已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_________.

16.已知点、、在抛物线，则，，的大小关系是_______（用“<”连接）.

17.某种商品经过两次降价后（每次降价的百分率相同）的价格为降价前的81%，则每次降价的百分率为_________.

18.已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是_________.

19.抛物线的顶点在坐标轴上，则m的值为_________，

20.抛物线与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且，则P点坐标是_________，

三、计算与解答（共60分）

21.解方程：

①②

③④

22.某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（最大可用长度为30米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲场（长方形ABCD）的宽CD为a米.

（1）饲养场的长为____________米（用含a的代数式表示）；

（2）若饲养场的面积为，求该饲养场的长和宽.

23.求二次函数在范围内的最小值和最大值.

24.已知二次函数图象的顶点是，且过点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上.

25.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件，

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元?

（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件?

26.如图①，抛物线与x轴交与、两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q.使得的周长最小?若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由，

（3）如图②，P是线段BC上的一个动点，过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值.

参考答案

一、选择题（每小题3分，总30分）

1.【答案】A

【解析】解：①，是一元二次方程；

②，含有3次项，不是一元二次方程；

③，当时，原方程不是一元二次方程；

④，含有2个未知数，不是一元二次方程；

⑤，是分式方程，不是一元二次方程.

故选A

2.【答案】C

【解析】解：依题意得八、九月份的产量为、，

∴.

故选：C.

3.【答案】C

【解析】解：抛物线向左平移三个单位、再向上平移两个单位，

得到的抛物线为，

即，顶点坐标为.

故选C.

4.【答案】C

【解析】解：由题意得：，解得：，

∴，∴，，

∴抛物线的顶点在第三象限，

故选C.

5.【答案】D

【解析】∵，∴，

将代入中，

得：，

将方程左边因式分解得：，

∴当时，方程成立，

即方程的一个根为：，

故选：D.

6.【答案】C

【解析】根据可得：函数的对称轴为：，

当时，

二次函数的图象开口向上，抛物线在轴右侧，

一次函数的图象交于轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限；

当时，

二次函数的图象开口向下，抛物线在轴左侧，

一次函数的图象交于轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限；

根据上述结果：可知A、B、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项C符合题意，

故选：C.

7.【答案】A

【解析】当函数为一次函数时，即，，

此时函数为：，

即一次函数与轴有交点；

当函数为二次函数时，即，，

令，

根据二次函数与轴有交点，可知方程，方程的判别式，

即，

解得：，

此时k的取值范围是且；

综上：k的取值范围是.

故选：A.

8.【答案】C

【解析】设，则原方程变形为，解得或.

故选：C.

9.【答案】D

【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴，故①正确；

∵抛物线开口向下，∴

∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴

∵对称轴，∴

∴，故②正确；

∵没有实数根，∴直线与抛物线没有交点

∴，故③正确故选：D

10.【答案】B

【解析】，

分解因式得：，

可得或，

解得：，，

若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13；

若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11，

综上，的周长为11或13.

故选B

11.【答案】-1

【解析】根据二次函数的定义：，且，

解得：

故答案为-1

12.【答案】

【解析】

解：设参加比赛的球队有x支，由题意得：每两只球队之间都要踢两场，

∴，

整理得：；

故答案为：.

13.【答案】-6

【解析】解：∵m是关于x的方程的一个根，

∴，

即，

∴，

故答案为：-6.

14.【答案】，

【解析】解：∵抛物线与x轴交于，，

即自变量为-1和5时，函数值为0，

∴方程的两根为，.

故答案为：，.

15.【答案】且

【解析】由题意，得，且，

解得：且，

故答案为：且.

16.【答案】

【解析】解：，

，对称轴为：，

∴抛物线的开口朝下，图象上点离对称轴越远，函数值越小，

∵，∴；

故答案为：.

17.【答案】10%

【解析】解：设该种商品每次降价的百分率为，

依题意得：，

解得：，或（舍去）.

答：该种商品每次降价的百分率为10%.

故答案为：10%

18.【答案】

【解析】∵二次函数的解析式为，

∴二次函数图象的对称轴为，函数图象的开口向上，

∴在对称轴的右边函数值y随着x的增大而增大，

故只要时，当时，y随x的增大而增大，

∴a的取值范围为.

故答案为：.

19.【答案】-8，4或-2

【解析】当抛物线的顶点在x轴上时

，即

解得：或

当抛物线的顶点在y轴上时，解得

综上所述，的值为4，-8或-2.

20.【答案】，，，

【解析】设P点的纵坐标为：，

令，解得，或则，

则抛物线与轴的交点，两点的坐标为：，，

则，

∵，，∴，∴，

当时，有：，

解得：.

即此时点的坐标为：，；

当时，有：，

解得：，

即此时点的坐标为：，；

故答案为：，，，.

21.【答案】①，；②，；③，；④，

【解析】①解：∵，，，

∴，

解得，；

②，，

解得：，；

③，，

即，

解得：，；

④，

，

即，

，

解得：，.

22.【答案】（1）；（2）饲养场的长为27米，宽为11米.

【解析】

（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，

∴饲养场的长为，

故答案为：；

（2）由（1）饲养场面积为整理得：，

解得，，

当时，，不符合要求舍去

当时，，符合要求

∴，

答：饲养场的长为27米，宽为11米.

23.【答案】最大值为；最小值为

【解析】

∵

抛物线的对称轴为，顶点坐标为

∵

∴当时，取得最小值；当时，取得最大值.

24.【答案】（1）（2）见解析

【解析】：（1）可设此二次函数的表达式为，把点代入即可解得a值，所以，作图即可；

（2）把点代入二次函数解析式，通过等式左右是否相等判断是否在二次函数图象上.

试题解析：（1）依题意可设此二次函数的表达式为，

又点在它的图象上，

所以，解得，，

所求为，或.

（2）证明：若点M在此二次函数的图象上，

则，

得，

方程的判别式：4-12=-8<0，该方程无实根，

所以，对任意实数m，点都不在这个二次函数的图象上.

25.【答案】（1）；（2）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；（3）该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件.

【解析】

（1），

（2）设每星期利润为元，

，

∴时，W最大值=6750.

∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元.

（3）由题意，解得，

当时，销售300+30×8=540，

当时，销售300+30×2=360，

∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件.

26.【答案】（1）

（2）存在，

（3）

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）先求出C点坐标为：和抛物线可得其对称轴为：，

利用待定系数法求出直线BC的解析式为：，

连接BC，BQ，QC，AC，

利用勾股定理可得，

则的周长为：，

根据A、B两点关于抛物线对称轴对称，

点Q在抛物线的对称轴上，

可得，即，

即当点B、Q、C三点共线时，可得到的周长最小，

将代入直线BC的解析式中，即可求出Q点坐标；

（3）根据P是线段BC上的一个动点，

设P点坐标为：，且，

则可得E点坐标为：，

结合图象，根据题意有：，

即，整理得：，则问题随之得解.