高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程第二课时习题

第二章第2课时　直线的两点式方程与一般式方程

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]过点(1,2)和(5,3)的直线方程是(　　)

A.

B.

C.

D.

2.[探究点二]直线=1过第一、三、四象限,则(　　)

A.a>0,b>0

B.a>0,b<0

C.a<0,b>0

D.a<0,b<0

3.[探究点二](多选题)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为(　　)

A.x-y+1=0

B.x+y-3=0

C.2x-y=0

D.x-y-1=0

4.[探究点二、三](多选题)下列说法正确的是(　　)

A.截距相等的直线都可以用方程=1表示

B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线

C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)

D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0

5.[探究点一]瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中△ABC各顶点的坐标分别为A(0,0),B(8,0),C(0,6),则其“欧拉线”的方程为　. 

6.[探究点二]过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　　　　. 

7.[探究点四·人教A版教材习题]求直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的系数A,B,C分别满足什么关系时,这条直线有以下性质:

(1)与两条坐标轴都相交;

(2)只与x轴相交;

(3)只与y轴相交;

(4)是x轴所在的直线;

(5)是y轴所在的直线.

8. [探究点一、二]已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).

 (1)求边AC和AB所在直线的方程;

(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.

B级 关键能力提升练

9.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

10.过点(-1,0),且与直线有相同方向向量的直线的方程为(　　)

A.3x+5y-3=0 B.3x+5y+3=0

C.3x+5y-1=0 D.5x-3y+5=0

11.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是(　　)

A.2x+y-1=0 B.2x+y+1=0

C.2x-y+1=0 D.x+2y+1=0

12.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是(　　)

A.直线l的斜率可以等于0

B.若直线l与y轴的夹角为30°,则m=或m=-

C.直线l恒过点(2,1)

D.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则m=1或m=-1

13.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为18,则直线l的方程为　. 

14.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,则顶点C的坐标为　　　　　,直线MN的方程为　. 

15.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).

(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;

(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.

第2课时　直线的两点式方程与一般式方程

1.B　∵所求直线过点(1,2),(5,3),

∴所求直线方程为.

2.B

3.ABC　当直线经过原点时,斜率为k==2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;

当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k,

求得k=-1或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0 或x+y-3=0.

综上,所求的直线方程为2x-y=0或x-y+1=0或x+y-3=0.故选ABC.

4.BD　对于A,截距相等为0的直线都不可以用方程=1表示,故A错误;

对于B,当m=0时,方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线x=2,故B正确;

对于C,经过点P(1,1),倾斜角为θ=90°的直线方程不能写成y-1=tanθ(x-1),故C错误;

对于D,经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线均可写成(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,故D正确.故选BD.

5.3x-4y=0　由题设知,△ABC是直角三角形,则垂心为直角顶点A(0,0),外心为斜边BC的中点M(4,3),

∴“欧拉线”的方程为3x-4y=0.

6.2x-y=0或x-y+1=0　当直线过原点时,得直线方程为2x-y=0,当在坐标轴上的截距不为零时,可设直线方程为=1,将x=1,y=2代入方程可得a=-1,

∴直线方程为x-y+1=0.

综上,直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.

7.解(1)直线Ax+By+C=0与x轴相交,即方程组有唯一解,于是A≠0.

同理,直线Ax+By+C=0与y轴相交时有B≠0.

所以,当A≠0,且B≠0时,已知直线与两条坐标轴都相交.

(2)已知直线只与x轴相交,即直线平行于y轴或与y轴重合,

所以A≠0,B=0,此时直线方程为x=-,只与x轴相交.

(3)同理,当A=0,B≠0时,已知直线为y=-,只与y轴相交.

(4)当A=0,B≠0,C=0时,已知直线为y=0,就是x轴所在直线的方程.

(5)当A≠0,B=0,C=0时,已知直线为x=0,就是y轴所在直线的方程.

8.解(1)由截距式方程,得边AC所在直线的方程为=1,即x-2y+8=0.

由两点式方程,得边AB所在直线的方程为,即x+y-4=0.

(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),

由两点式方程,得边BD所在直线的方程为,即2x-y+10=0.

9.D　因为AB<0,所以直线Ax+By+C=0的斜率->0.

又因为BC<0,所以直线在y轴上的截距->0,

所以直线Ax+By+C=0不经过第四象限.故选D.

10.B　由可得,3x+5y+8=0,即直线的斜率为-,由题意可知所求直线的斜率k=-,故所求的直线方程为y=-(x+1),即3x+5y+3=0.故选B.

11.B　把A(2,1)坐标代入两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0,

∴2(a1-a2)=b2-b1,

过点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线的方程是,∴y-b1=-2(x-a1),则2x+y-(2a1+b1)=0.

∵2a1+b1+1=0,∴2a1+b1=-1,∴所求直线方程为2x+y+1=0.故选B.

12.BD　当m=0时,直线l:x=1,斜率不存在,当m≠0时,直线l的斜率为,不可能等于0,故A选项错误;

∵直线l与y轴的夹角为30°,

∴直线l的倾斜角为60°或120°,而直线l的斜率为,

∴=tan60°==tan120°=-,

∴m=或m=-,故B选项正确;

直线l的方程可化为(x-1)-m(y-1)=0,

∴直线l过定点(1,1),故C选项错误;

当m=0时,直线l:x=1,在y轴上的截距不存在,

当m≠0时,令x=0,得y=,令y=0,得x=1-m,令=1-m,得m=±1,故D选项正确.故选BD.

13.x+y±6=0或x-y±6=0　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.

若l在两坐标轴上的截距相等,且设为a(a≠0),

则直线方程为=1,即x+y-a=0.

∵|a||a|=18,即a2=36,∴a=±6,

∴直线方程为x+y±6=0.

若l在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为-a(a≠0),

故直线方程为=1,即x-y-a=0.

∵|-a||a|=18,即a2=36,

∴a=±6,∴直线方程为x-y±6=0.

综上所述,直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0.

14.(-5,-3)　5x-2y-5=0　设点C(x,y).

∵AC边的中点M在y轴上,∴=0,∴x=-5.

又BC边的中点N在x轴上,∴=0,∴y=-3,

故点C的坐标是(-5,-3),

点M的坐标是(0,-),点N的坐标是(1,0),

∴直线MN的方程是,即5x-2y-5=0.

15.解(1)当a=-1时,y=-3,不符合题意.

当a≠-1时,令x=0,得y=a-2;令y=0,得x=.

∵l在两坐标轴上的截距相等,∴a-2=,

解得a=2或a=0,

∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0.

(2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2,

∵l不过第二象限,∴

∴a≤-1,∴a的取值范围为(-∞,-1].