2022-2023学年上海市莘庄中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年上海市莘庄中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为      .

【答案】

【分析】利用扇形面积公式可求出答案.

【详解】由题意,扇形的面积为.

故答案为:.

【点睛】本题考查了扇形的面积的计算,考查了学生的计算能力,属于基础题.

2．函数的最小正周期为                .

【答案】

【分析】对给定函数式用二倍角的余弦公式降幂即可得解

【详解】由已知得：，

其最小正周期为.

故答案为：.

3．已知且，则                  .

【答案】/

【分析】分析可知，为第四象限角，利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得所求代数式的值.

【详解】因为且，则为第四象限角，

因此，.

故答案为：.

4．已知，，则在向上的数量投影为      ．

【答案】4

【分析】根据，即，求出，再求出投影即可．

【详解】解：，，

，，

向量在向量方向上的数量投影，．

故答案为：4．

5．已知角的终边经过点,则=                .

【答案】/

【分析】由任意角三角函数的定义有，再根据二倍角公式即可得．

【详解】依题意，，

则．

故答案为：．

6．在中，若，，其面积为，则b的值为       

【答案】

【分析】首先由面积公式求边，再由余弦定理即可求边的值.

【详解】由面积公式可得：可得：，

在中，由余弦定理可得，

所以，

故答案为：.

7．函数（，，）的部分图像如图所示，则         .

【答案】

【分析】先根据图象得到和，进而求出，代入特殊点坐标求出，得到答案.

【详解】由图象可得，，解得，

因为，所以，解得，

将代入解析式得，，故，，

因为，解得，

故.

故答案为：

8．将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为            .

【答案】，

【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解.

【详解】将函数的图象向右平移个单位可得：，

再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得，

令，，

解得，，

则的单调递减区间为，，

故答案为：，

9．将函数的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数在上的最小值为          ．

【答案】

【详解】将函数的图象向左平移个单位后，

得到的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得，

即，，又|，∴，．

∵，∴，故当时， 取得最小值，

故答案为.

点睛：本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题；根据函数的图象变换规律“左加右减，上加下减”，正弦函数的图象的对称性，求得 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在上的最小值.

10．直角△ABC中，，，，点O是△ABC所在平面上任意一点，则向量的模为      .

【答案】

【分析】根据题意求出BC和cosC，根据向量减法化简，根据向量数量积的运算律即可求其模．

【详解】∵在直角△ABC中，，，，

∴BC=，cosC=，

∵，

∴

==．

故答案为：．

11．已知，，若存在，对任意，恒成立，则            .

【答案】

【分析】依题意，先确定函数，再由三角函数的性质确定最大最小值.

【详解】依题意，

     ，

对任意， 恒成立，

当时，，

当时，则，

当时，，

当 时，.

所以，得，

所以.

故答案为：.

【点睛】对于不等式恒成立问题，常转换为研究函数的最大、最小值满足不等式.

12．已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为            .

【答案】

【分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可．

【详解】一个对称中心是，

，，即，，

，当时，，即，

将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，

即，

由，得，

设，则不等式等价为当时，，

即若对任意,，为增函数．

，

当,时，,，所以,，

因为对任意,，为增函数，

所以，所以，所以，

即的最大值为．

故答案为：．

二、单选题

13．设，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】B

【分析】根据反三角函数的定义可以判断出．因为反正弦函数的值域为，说明题中的必要条件成立，而不具有充分性，故可得正确答案．

【详解】若成立，可得或，，

说明是其中的一个角，不一定刚好，充分性不成立，

反之如果成立，则成立，必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

14． “”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】解：（1）若，则，

∴“”是“”的充分条件；

（2）若，则，得不出，

∴“”不是“”的必要条件，

∴“”是“”的充分非必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.

15．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.

【详解】，因为，所以，因为，所以.

正弦函数在一个周期内，要满足上式，则，

所以，所以的取值范围是.

故选：D

16．将函数的图像向下平移个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质求得x1的最大值和x2的最小值，可得的最大值．

【详解】将函数f（x）=2的图象向下平移1个单位，

得到g（x）=2﹣1的图象，

g（x）

若g（x1）g（x2）=9，则g（x1）=g（x2）=﹣3，

则 sin（3x1）=﹣1=sin（3x2），

∵x1，x2∈[0，4π]，3x1∈[，]，3x2∈[，]，

3x2的最小值为，3x1的最大值为，

故x1的最大值为，x2的最小值为，

则的最大值为，

故答案为9．

【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．

三、解答题

17．已知ABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c，，.

(1)若，求ABC的面积；

(2)设线段AB的中点为D，若，求ABC外接圆半径R的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理得知，进而根据同角基本关系式，再根据三角形面积公式计算即可；

（2）在中由余弦定理得，进而在中，，再根据正弦定理求解即可.

【详解】（1）因为，根据正弦定理得，

因为， ，

所以，

因为，所以，

所以的面积为.

（2）因为线段的中点为，，，，

所以在中，由，

解得（舍），

所以在中，，即，

因为，所以，

所以由正弦定理得外接圆半径满足，

所以外接圆半径

18．已知（）.

(1)的周期是，求当，方程的解集；

(2)已知，，，求的值域.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由题意得后整体代换法求解

（2）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解

【详解】（1）的周期是，故，原方程为，

则，解得或，

故原方程的解集为或

（2），

，

时，，

则，

19．某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.

(1)若，求此红旗图案的面积；（精确到）

(2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，求出，，，进而求出，再利用矩形面积公式即可算出结果．

（2）设，用的三角函数表示出，，，进而表达出，再利用矩形面积公式结合三角函数的性质即可算出结果．

【详解】（1）由题意，则，，，

，

；

（2）设，则，，

，

，

，

故当时，即时，取得最大值．

20．已知函数

(1)若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间；

(2)若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；

(3)已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1）利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出m的值，利用函数的单调性进行求解即可;

(2）求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可;

(3）根据函数的大小求出m的值，求出,根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可．

【详解】（1）若且的最大值为,则，即，得，即 ,

则 ,

当时，，为增函数，此时,

即函数在上的单调递增区间是.

（2）若，,

函数

由，得

,当，则

则要使在上有且仅有一个零点，

则或，即实数的取值范围.

（3）因为的一条对称轴方程为，

 所以

则满足 ,

平方得，得

，得得 ，则,

则,

 则,

存在常数 ,使得函数为偶函数，

则，

即 且 ,

 因为,所以当 时， 取得最小值，此时最小的正数.

21．已知函数

(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；

(2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；

(3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.

【答案】(1)1，

(2)

(3)

【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可；

（2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解；

（3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解.

【详解】（1）当时，,

所以当，即 时，所以  ,此时 ；

（2）因为 为偶函数，所以,

所以,

所以

，

又因为在上恒成立，

即在 上恒成立，

所以 在 上恒成立，

所以 ，且 在上恒成立，

因为，所以，所以，

解得

所以 m 的取值范围为;

（3）因为过点，所以

所以，

又因为,所以,

所以 ，

又因为对任意的，，都有成立，

所以，

因为，所以 ，

设 ,

则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线，

当 时，在 上单调递增，所以 ,

所以，解得

所以；

当 时， 在上单调递减，

所以 ,

所以，解得

所以;

当时，,

所以，解得所以,

综上所述：所以实数 a 的取值范围为

【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可.