2024黄石二中高二上学期9月月考数学试题含解析

湖北省黄石二中高二年级数学统测试卷

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知，则（    ）

A.  B.  C. 2 D. -2

2. 设是实数，则“”是“”的（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 在抛掷硬币试验中，记事件A为“正面朝上”，则下列说法正确的（    ）

A. 抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为

B. 抛掷十枚硬币，事件B为“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明

C. 抛掷100次硬币，事件A发生频率比抛掷50次硬币发生的频率更接近于0.5

D. 当抛掷次数足够大时，事件A发生的频率接近于0.5

4. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量表示，则（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 在直三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 圆台母线长为3，下底直径为10，上底直径为5，过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值为（    ）

A.  B.  C.  D. 以上都不对

7. 已知单位向量，满足，则的最小值为（    ）

A  B.  C.  D.

8. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形，，，，过点E作球O的截面，截面面积最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.

9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(非零常数，则（    ）

A. 两组样本数据的样本平均数相同

B. 两组样本数据的样本中位数相同

C. 两组样本数据的样本标准差相同

D. 两组样本数据的样本极差相同

10. 设为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为（    ）

A. 若，，则当且仅当时，是互斥事件

B. 若，，则是必然事件

C. 若，，则时是独立事件

D. 若，且，则是独立事件

11. 以下命题正确的是（    ）

A. 直线的方向向量，直线的方向向量，则

B. 直线的方向向量，平面的法向量，则

C. 两个不同平面的法向量分别为，则

D. 平面经过三点，向量是平面的法向量，则

12. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ）

A. 当时，的周长为定值

B. 当时，三棱锥的体积为定值

C. 当时，有且仅有一个点，使得

D. 当时，有且仅有一个点，使得平面

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 容量为8的样本：3.5，3.8，4.2，4.8，5，5，5.5，6.3，其上四分位数是__________

14. 若直线过点，则的最小值为________．

15. 自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角、、（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的对角线的长为__________.

16. 黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是．由于按此比例设计的造型十分美观，因此称为黄金分割比．例如中国人民解放军军徽，为镶有金色黄边的五角红星．如图，已知正五角星内接于圆，，点为线段的黄金分割点，则______，若圆的半径为2，为圆的一条弦，以为底边向圆外作等腰三角形，且，则的最大值为______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在中，角的对边分别为.

（1）求；

（2）若，求的面积.

18. 乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．

（1）求；

（2）求事件“”的概率．

19. 如图，在四棱台中，底面，M是中点.底面为直角梯形，且，，.

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20. 如图，在四棱锥中，平面.

（1）证明：平面平面

（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.

21. 全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响.

（1）假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？

（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.

22. 正四棱锥的展开图如图所示，侧棱长为1，记，其表面积记为，体积记为.

（1）求的解析式，并直接写出的取值范围；

（2）求，并将其化简为的形式，其中为常数；

（3）试判断是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）