2023-2024学年山东省德州市临邑县万力学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省德州市临邑县万力学校八年级第一学期开学数学试卷

一、选择题（共12小题，每题4分，共48分）

1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．若a＞b，则下列不等式正确的是（　　）

A．﹣2a＜﹣2b B．b﹣a＞0 C．|a|＞|b| D．am2＞bm2

3．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）米．

A．60 B．72 C．48 D．36

4．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）

A．三条高的交点 

B．三条角平分线的交点 

C．三条中线的交点 

D．三条边的垂直平分线的交点

5．如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．5

6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

8．如图，在△ABC和△ABD中，已知∠CAB＝∠DAB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ABD，只需再添加的一个条件不可以是（　　）

A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠CBE＝∠DBE

9．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．∠BCA＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．CB＝CD

10．把不等式组，的解集表示在数轴上，正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

11．如图，图中直角三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿CD向点D运动，连接PQ，RQ．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，△PBQ与△QCR全等，则a的值为（　　）

A．2或4 B．2或 C．2或 D．2或

二．填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）

13．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第　   　块去．（填序号）

14．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为 　      　．

15．如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠DAM＝35°，则∠MAB等于 　      　．

16．三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是　        　．

17．一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为　     　．

18．若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是 　       　．

三、解答题

19．（1）计算：（﹣1）2020+﹣+（﹣5）2；

（2）解方程组：；

（3）解不等式组：．

20．如图，已知△ABC中，∠1＝∠2，AE＝AD，求证：DF＝EF．

21．如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）∠ACB＝60°，∠DFC＝75°，求∠EBC的度数．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣5，3），B（﹣3，1），C（﹣2，2）．将△ABC先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，再作关于x轴对称的图形，得到△A1B1C1．

（1）写出点A1，B1，C1的坐标；

（2）在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1；

（3）求△A1B1C1的面积．

24．某学校准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同）．若购买3个足球和2个篮球共需490元；购买2个足球和4个篮球共需660元．

（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？

（2）根据该学校的实际情况，需要一次性购买足球和篮球共62个，要求购买足球和篮球的总费用不超过6750元，则该学校最多可以购买多少个篮球？

25．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．

（1）求证：△OCD是等边三角形；

（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每题4分，共48分）

1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义，结合图形即可求解．

解：A、不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意；

B、不是轴对称图形，故B选项错误，不符合题意；

C、不是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意；

D、是轴对称图形，故D选项正确，符合题意；

故选：D．

【点评】本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念，数形结合是解题的关键．

2．若a＞b，则下列不等式正确的是（　　）

A．﹣2a＜﹣2b B．b﹣a＞0 C．|a|＞|b| D．am2＞bm2

【分析】根据a＞b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．

解：∵a＞b，

∴﹣2a＜﹣2b，

∴选项A符合题意；

∵a＞b，

∴b﹣a＜0，

∴选项B不符合题意；

∵a＞b时，|a|＞|b|不一定成立，例如1＞﹣3，但是|1|＜|﹣3|，

∴选项C不符合题意；

∵a＞b，当m＝0时，am2＝bm2，当m≠0时，am2＞bm2，

∴选项D不符合题意．

故选：A．

【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

3．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）米．

A．60 B．72 C．48 D．36

【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．

解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，

所以一共走了8×6＝48（米）．

故选：C．

【点评】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．

4．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）

A．三条高的交点 

B．三条角平分线的交点 

C．三条中线的交点 

D．三条边的垂直平分线的交点

【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．

解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，

故选：D．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

5．如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．5

【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．

解：这个正多边形的边数是n，则

（n﹣2）•180°＝720°，

解得：n＝6．

则这个正多边形的边数是6．

故选：C．

【点评】本题考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．

6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据概念判断．

解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，

所以画法正确的是B选项．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形的高的概念，解决问题的关键是能够正确作三角形一边上的高．

7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

【分析】根据垂线段最短得出当DF⊥OB时，DF的值最小，根据角平分线的性质得出DF＝DE，再求出答案即可．

解：当DF⊥OB时，DF的值最小，

∵DE⊥OA，OD平分∠AOB，

∴DE＝DF，

∵DE＝4，

∴DF的最小值是4，

故选：C．

【点评】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

8．如图，在△ABC和△ABD中，已知∠CAB＝∠DAB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ABD，只需再添加的一个条件不可以是（　　）

A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠CBE＝∠DBE

【分析】添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等．

解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，不符合题意；

B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，符合题意；

C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，不符合题意；

D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，不符合题意；

故选：B．

【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．

9．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．∠BCA＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．CB＝CD

【分析】本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．

解：A、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故A选项符合题意；

B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；

C、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；

D、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

10．把不等式组，的解集表示在数轴上，正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

解：解不等式2x+1＞﹣1，得：x＞﹣1，

解不等式3﹣x≥2，得：x≤1，

则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，

故选：B．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

11．如图，图中直角三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．

解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，

故选：C．

【点评】本题考查了直角三角形的定义，比较简单，掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏．

12．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿CD向点D运动，连接PQ，RQ．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，△PBQ与△QCR全等，则a的值为（　　）

A．2或4 B．2或 C．2或 D．2或

【分析】分两种情况进行讨论：①当BP＝CQ，BQ＝CR时，△BPQ≌△CQR；②当BP＝CR，BQ＝CQ时，△BPQ≌△CRQ，然后分别计算出t的值，进而得到a的值．

解：设点P的运动时间为t秒，

依题意，得BP＝8﹣t，CR＝at，

∵BC＝10，

∴CQ＝10﹣t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，

如果△BPQ与△CQR全等，那么可分两种情况：

①当BP＝CQ，BQ＝CR时，△BPQ≌△CQR，

∴10﹣2t＝8﹣t，2t＝at，

∴t＝2，a＝2；

②当BP＝CR，BQ＝CQ时，△BPQ≌△CRQ，

∴8﹣t＝at，2t＝10﹣2t，

解得t＝2.5，a＝，

综上所述：当a的值为2或时，能使△BPQ与△CQR全等．

故选：D．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．

二．填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）

13．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第　③　块去．（填序号）

【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．

解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．

故答案为：③．

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．

14．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为 　20°　．

【分析】根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCB＝∠B＝50°，即可求解．

解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，

∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，

∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，

∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCB＝∠B＝50°，

∴∠NCF＝∠ACB﹣∠ACN﹣∠FCB＝20°，

故答案为：20°．

【点评】本题主要考查折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质（折叠前后，对应角相等）是解题的关键．

15．如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠DAM＝35°，则∠MAB等于 　35°　．

【分析】过点M作ME⊥AD于E，根据角平分线的性质得到ME＝MC，进而得出ME＝MB，根据角平分线的判定定理解答即可．

解：过点M作ME⊥AD于E，

∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，

∴ME＝MC，

∵MC＝MB，

∴ME＝MB，

∵ME⊥AD，∠B＝90°，

∴AM平分∠DAB，

∵∠DAM＝35°，

∴∠MAB＝∠DAM＝35°，

故答案为：35°．

【点评】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

16．三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是　1＜a＜4　．

【分析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围．

解：∵三角形的三边长分别为3，2a﹣1，4，

∴可得，

解得1＜a＜4．

故答案为：1＜a＜4．

【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质．

17．一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为　10　．

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程求解即可．

解：由题意得，（n﹣2）•180°＝144°•n，

解得n＝10．

故答案为：10．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键．

18．若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是 　19cm　．

【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．

解：当3cm是腰时，3+3＜8，不符合三角形三边关系，故舍去；

当8cm是腰时，周长＝8+8+3＝19cm．

故它的周长为19cm．

故答案为：19cm．

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

三、解答题

19．（1）计算：（﹣1）2020+﹣+（﹣5）2；

（2）解方程组：；

（3）解不等式组：．

【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义，有理数的乘方计算即可；

（2）利用加减消元法解题；

（3）先分别解出每个不等式，再将解集表示在数轴上，找到公共解集即可．

解：（1）原式＝1+2﹣4+25

＝24；

（2），

②×4得，8x﹣4y＝20③，

②+③得，11x＝22，

解得x＝2，

将x＝2代入②中，4﹣y＝5，

∴y＝﹣1，

∴原方程组的解是；

（3），

解不等式①得，x≥﹣1，

解不等式②得，x，

∴原不等式组的解集为x＞﹣．

【点评】本题考查实数的混合运算、代入消元法解二元一次方程组、解一元一次不等式组等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

20．如图，已知△ABC中，∠1＝∠2，AE＝AD，求证：DF＝EF．

【分析】先利用“角角边”证明△ABE和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，然后求出BD＝CE，再利用“角角边”证明△BDF和△CEF全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．

【解答】证明：在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（AAS），

∴AB＝AC，

∵AE＝AD，

∴AB﹣AD＝AC﹣AE，

即BD＝CE，

在△BDF和△CEF中，

，

∴△BDF≌△CEF（AAS），

∴DF＝EF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并求出BD＝CE是解题的关键．

21．如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）∠ACB＝60°，∠DFC＝75°，求∠EBC的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAC＝∠DCA，等量代换可得AE＝CF，再利用AAS证明即可；

（2）根据全等三角形的性质得到∠AEB＝∠CFD＝75°，再利用外角的性质计算即可．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠DCA，

∵AF＝CE，

∴AF+EF＝CE+EF，即AE＝CF．

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

（2）解：∵△ABE≌△CDF，

∴∠AEB＝∠CFD＝75°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠EBC＝∠AEB﹣∠ACB＝15°．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决此题的关键．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

【分析】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；

（2）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．

解：（1）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，

∴DB＝DA，

∴△ABD是等腰三角形；

（2）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，

∴AB＝2AE＝12，

∵△CBD的周长为20，

∴BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝20，

∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．

【点评】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣5，3），B（﹣3，1），C（﹣2，2）．将△ABC先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，再作关于x轴对称的图形，得到△A1B1C1．

（1）写出点A1，B1，C1的坐标；

（2）在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1；

（3）求△A1B1C1的面积．

【分析】（1）根据平移规律写出坐标即可．

（2）根据坐标画出图形即可．

（3）利用分割法求出三角形的面积即可．

解：（1）A1（1，2），B1（3，4），C1（4，3）．

（2）如图△A1B1C1即为所求．

（3）＝2×3﹣×2×2﹣×1×1﹣×1×3＝2．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

24．某学校准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同）．若购买3个足球和2个篮球共需490元；购买2个足球和4个篮球共需660元．

（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？

（2）根据该学校的实际情况，需要一次性购买足球和篮球共62个，要求购买足球和篮球的总费用不超过6750元，则该学校最多可以购买多少个篮球？

【分析】（1）设购买一个足球需要x元，一个篮球需要y元，根据“购买3个足球和2个篮球共需490元；购买2个足球和4个篮球共需660元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设该学校可以购买m个篮球，则购买（62﹣m）个足球，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过6750元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．

解：（1）设购买一个足球需要x元，一个篮球需要y元，

根据题意得：，

解得：．

答：购买一个足球需要80元，一个篮球需要125元；

（2）设该学校可以购买m个篮球，则购买（62﹣m）个足球，

根据题意得：80（62﹣m）+125m≤6750，

解得：m≤，

又∵m为正整数，

∴m的最大值为39．

答：该学校最多可以购买39个篮球．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

25．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．

（1）求证：△OCD是等边三角形；

（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；

（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；

（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．

【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，

∴OC＝DC，

∵∠OCD＝60°，

∴△OCD是等边三角形．

解：

（2）△AOD是直角三角形．

理由如下：

∵△OCD是等边三角形，

∴∠ODC＝60°，

∵△BOC≌△ADC，α＝150°，

∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，

∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，

∴△AOD是直角三角形．

（3）∵△OCD是等边三角形，

∴∠COD＝∠ODC＝60°．

∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，

∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，

∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，

∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．

①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，

∴α＝125°．

②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，

∴α＝140°．

③当∠ADO＝∠OAD时，

α﹣60°＝50°，

∴α＝110°．

综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．

【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．