河北省秦皇岛市青龙满族自治县实验中学等2校2023届高三下学期开学考试数学试题（解析版）

2023届高三开年摸底联考

数学试题

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】化简集合B，根据集合交集定义求解即可．

【详解】因为，所以

故选：D.

2. 若，则复数z的虚部是（    ）

A. 2i B. i C. 2 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数除法运算化简z，从而求得z的虚部

【详解】由题，，故虚部为1.

故选：D

3. 已知等差数列的前项和为是关于的方程的两根，则（    ）

A. 22 B. 24 C. 26 D. 28

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得，又即可求解.

【详解】因为是关于的方程的两根，

所以，

故选：A.

4. 已知，若，则（    ）

A.  B.  C.  D. .

【答案】C

【解析】

【分析】根据二倍角的余弦公式将等式因式分解可得，结合同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】由题意知，

，

因为，所以.

得，所以.

故选：C.

5. 若，则（    ）

A. 257 B. 129 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】令得，令得，相减即得结论．

【详解】令，则，令，则，所以．

故选：B．

6. 教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户､存入规定数额资金､用于教育目的的专项储签，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策，若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，则一次性取出的金额总数为（    ）（假设教育储蓄存款的年利率为5%，取）

A. 14400元 B. 15400元 C. 16200元 D. 18500元

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意结合等比数列前项和公式即可得解.

【详解】金额总数为

元.

结合各选项中的数据可知A最符合，

故选：A.

7. 在棱长为2的正方体中，E为CD1上的动点，则AE与平面所成角的正切值不可能为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】在正方体中找出线面角，求出线面角正切值的范围即可得解.

【详解】如图，

在上取点，使得，连接，

由，可知四边形为平行四边形，则，

因为平面，，所以平面，所以与平面所成角为，，而．

所以．显然，故D不可能．

故选：D

8. 若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数应用导数讨论函数的单调性，结合指数函数和对数函数单调性比较大小即可.
 

【详解】因为，所以，

令，，

令，则，令，解得．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以在R上单调递增，

，即，所以，

综上：.

故选：C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下图反映2017年到2022年6月我国国有企业营业总收入及增速统计情况：

2017年到2022年6月国有企业营业总收入及增速统计图

根据图中的信息，下列说法错误的是（    ）

A. 2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年增加

B. 2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年下降

C. 2017-2021年中，我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年

D. 2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元

【答案】ABD

【解析】

【分析】由统计图提供的数据进行判断．

【详解】由图知.2022年下半年我国国有企业营业总收入及增速未知，故A、B错误；

2017-2021年中，我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年，为，C正确；

2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数小于630000亿元．D错误．

故选：ABD．

10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的图象关于点对称

B. 在区间上单调递减

C. 将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的函数为偶函数

D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】借助于辅助角公式将化简，然后利用三角函数的对称性，单调性以及三角函数的平移逐一判断选项，可得结果.

【详解】，

令，则，当时，，此时，故的图象关于点对称，A错误；

当时，，而函数在上单调递减，B正确；

将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到为偶函数，C正确；，

，所以．

故选:BCD．

11. 如图是唐代纹八棱金杯，其主体纹饰为八位手执乐器的乐工，分布于八个棱面，乐工手执竖箜篌､曲项琵琶､排箫等，金杯无论造型还是装饰风格都有着浓郁的域外特征，是唐代中外文化交流的见证､该杯的主体部分可近似看作是双曲线与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与轴交于两点，则（    ）

A. 的方程为

B. 的离心率

C. 的焦点到渐近线的距离为

D. 若为上任意一点，则的最大值为

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意可得，将坐标代入双曲线方程即可解出方程，A、B选项即可判断；根据点到直线的距离公式即可判断出选项C；利用基本不等式即可求出选项D.

【详解】解：由题意知，代入的方程解得，所以的方程为，A正确；

因为，所以离心率，B错误；

的焦点为，渐近线为，所以焦点到渐近线的距离为，C正确；

，

当且仅当，即时取等号，但将代入方程后，无解，D错误.

故选：AC.

12. 已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（    ）

A.  B. 周期

C. 在单调递减 D. 满足

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知条件由对称抽和对称中心得出周期为4判断A,B选项，周期再结合已知单调性判断C选项,应用周期性和单调性求函数值的大小判断D.

【详解】由知的对称轴为，所以故A正确;

由知：，

又图像关于对称，即，故，

所以，即，

所以的周期为4，故B错误;

因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，

又图像关于对称，所以在上单调递增，

因为关于对称，所以在上单调递减，故C正确；

根据周期性，，

因为关于对称，所以，

因为周期，所以；

结合在上单调递减，且上单调递增，

故，即，故D正确.

故选:ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，若．则______．

【答案】

【解析】

【分析】先根据向量垂直求参，再根据坐标求模即可.

【详解】由得，即，解得，

所以，．

故答案为：．

14. 有甲、乙两个加工厂加工同一型号零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，已知甲乙两个加工厂加工的零件数分别占当地市场总数的45%，55%，现从当地市场上任意买一件这种型号的零件、则买到的零件是次品，且是甲厂加工的概率为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算即可.
 

【详解】记为事件“零件为甲厂加工”，为事件“零件为乙厂加工”，为事件“买一个零件为次品”，则，．

所以．

所以．

故答案为:．

15. 写出与圆和抛物线都相切的一条直线的方程______．

【答案】或（填一个即可）

【解析】

【分析】设公切线与抛物线切于点，由导数的几何意义求得切线方程，再由切线与圆也相切求得从而得公切线方程．

【详解】设公切线与抛物线切于点，而，所以处的公切线方程为，即．结合公切线与圆相切得，解得，所以公切线的方程为或．

故答案为：或（填一个即可）．

16. 已知是函数的唯一极小值，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】分情况讨论函数的单调性，结合唯一极值点列式求解即可.
 

【详解】，

当时，，在上单调递增，无极值点；

当时，令知．易知函数和在必有一交点，

在交点左侧，有，，单调递减，在交点右侧，，，单调递增，

因为的极小值唯一，所以在上恒成立，

设和恰好切于点，则有，解得，

此时a取到最小值，所以．

故答案为:．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知等比数列的前项和为．公比，若，．

（1）求的通项公式；

（2）证明：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得即可；

（2）首先求出，再利用作差法证明即可.

【小问1详解】

由．得，

解得或（舍去），所以．

【小问2详解】

因为，且，

所以，

所以．

18. 在中，点为线段的四等分点且靠近点与互补.

（1）求的值；

（2）若，求的长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理列出关于的方程，进而求得的值；

（2）分别在和中，利用余弦定理求得和的表达式，列出关于的长的方程，解之即可求得的长.

【小问1详解】

因为与互补，所以，

在中，由正弦定理得，

在中，由正弦定理得，

所以，因为点为线段的四等分点且靠近点，所以.

【小问2详解】

因为，所以，设，由（1）知，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

因为，即，

所以，解得.所以长为.

19. 如图，在四棱锥中．平面平面，∥，，，，点E，F分别为AS，CD的中点．

（1）证明：∥平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，从而得，即证得线面平行；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．

小问1详解】

如图，取的中点，连接，．

因为分别为的中点．

所以，．

因为，，所以，，

所以四边形为平行四边形，所以．

因为平面，平面．

所以平面．

【小问2详解】

如图，取的中点，连接，．

因为为等腰三角形，所以．

因为平面平面，平面平面．

所以平面．又，平面，则，，易证．

可建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，．

所以，，，，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，则有即取得

设平面AFS的一个法向量为，

则，即，取，得，

所以，设二面角的大小为，则．

20. 2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮.某机构为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各120名观众进行调查，统计数据如下：

（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？

（2）现从参与调查且喜爱足球运动的观众中，采用按性别分层抽样的方法，选取7人进行有奖竞答.

①求男、女性观众各选取多少人？

②若从这7人中随机抽取4人进行本届世界杯赛事集锦分享，求抽到男生人数的分布列和数学期望.

附：，.

【答案】（1）能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关   

（2）①男、女性观众各选取，人.

②答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据表中数据计算的观测值，利用独立性检验的思想即可求解；

（2）①根据已知条件及分层抽样的定义即可求解；

②根据①的结论及已知条件，求出随机变量的取值，利用古典概型的概率公式求出随机变量对应取值的概率，写出随机变量的分布列，再利用随机变量的期望公式即可求解.

【小问1详解】

由题意可知，，

所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.

【小问2详解】

①根据分层抽样的原理，可知男生观众选取人，女生观众选取人，

所以男、女性观众各选取，人.

②随机变量的可能取值为，则

,

,

,

,

所以的分布列如下表

所以.

21. 已知椭圆的焦距为2，且经过点.

（1）求的方程；

（2）若直线与交于两点，的中点为，当时，求的值.

【答案】（1）   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用椭圆方程的关系求解即可；

（2）由可得，设，，将直线方程和椭圆方程联立，利用求解即可；

【小问1详解】

因为椭圆的焦距为2，所以，解得，

又因为点在椭圆上，所以，解得，

所以，

所以椭圆的方程为.

【小问2详解】

因为在中，，且，

所以，此时，所以，

设，，

联立得，

令解得，

所以，①

所以，

将①代入上式得

化简整理得，解得.

22. 已知函数.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）在恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义求出在处的切线方程；

（2）二次求导后，对a分类讨论，分别研究单调性，求最值进行验证.

【小问1详解】

当时，，

所以.

故在处的切线方程为.

【小问2详解】

由题意知，令，

当时，对任意，则，

所以在单调递减，所以，满足题意；

当时，在上恒成立，所以在单调递减，则，

①当，即时，，所以在单调递减，

所以，满足题意；

②且时，即时，由零点存在性定理知，，使得.

当时，，所以在单调递增，所以，不满足题意；

③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意.

综上，的取值范围为.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

（2）利用导数求函数单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

（4）利用导数解决恒（能）成立问题．