2022-2023学年甘肃省庆阳第六中学高一下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省庆阳第六中学高一下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．若向量 ， ，则（    ）

A．  B．  C． D．

【答案】B

【分析】根据向量坐标的加法运算，把两向量的横坐标加横坐标，纵坐标加纵坐标，就得到向量的坐标．

【详解】因为向量，，所以 ,

故选:．

2．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）

A．i B． C．1 D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法法则得到，求出虚部.

【详解】由得，

故复数z的虚部为1

故选：C

3．有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先确定任取两个球的总事件数，再确定两个球序号相邻的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.

【详解】因为从5个球任取两个球有种方法，其中两个球序号相邻有4种，

所以概率是

故选：A.

4．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕簧纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一质点从A点出发跳动五次到达点B，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么质点跳动的路线恰好在饕餮纹上的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用列举法求出基本事件总数和其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况的种数，由此能求出恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率．

【详解】质点从点出发跳动五次到达点，每次向右或向下跳一个单位长度，基本事件总数有：

右右下下下，右下右下下，右下下右下，右下下下右，下右右下下，

下右下右下，下右下下右，下下下右右，下下右右下，下下右下右，共10种，

其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况有1种，右右下下下，

恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为．

故选：D．

5．已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】为中点，连接易得为平行四边形，则，进而确定直线与直线所成角的平面角，应用余弦定理求其余弦值.

【详解】若为中点，连接，又是棱中点，

所以，在直三棱柱中且，即为平行四边形，

所以，则直线与直线所成角即为，

若，则，，

所以.

故选：C

6．已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（    ）

①若，，则；            ②若，，则；

③若，，则；            ④若，，则．

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

【答案】D

【分析】举例说明判断①②；利用线线、线面垂直的判定、性质推理判断③④作答.

【详解】长方体中，平面为平面，直线BC为直线b，如图，

当直线AD为直线a时，满足，，而，①不正确；

当直线为直线a时，满足，，而，②不正确；

在平面内取两条相交直线m，n，如图，因，则，

而，则，又，m，n是相交直线，所以，③正确；

因，过直线b作平面，如图，

则有，又，，于是得，从而得，④正确，

所以给定命题正确的是③④.

故选：D

7．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正三棱锥的特征确定外接球球心位置及球半径，再计算求球表面积即可.

【详解】由已知可得是正三棱锥，设PH是正三棱锥的高，易知外接球球心O在PH上，且H为底面正的中心.

如图，设外接球的半径为R，由题可知，则.由得，解得，所以外接球的表面积为.

故选：B

8．敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.例如对学生在大型考试中有过抄袭，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题.被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题；若抽到红球，则回答问题，且罐中只有白球和红球.

问题：你的生日是否在7月1日之前？（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为）

问题：你是否在大型考试中有过抄袭？

已知一次实际调查中，罐中放有红球30个，白球20个，调查结束后共收到1583张有效答卷，其中有389张回答“是”，如果以频率替代概率，问该校该年级学生有过抄袭的概率是（    ）(四舍五入精确到0.01)

A．0.06 B．0.07

C．0.08 D．0.09

【答案】C

【分析】根据古典概型分别求出抽到红球的概率和抽到白球的概率，并且计算出回答问题的人数，从而可分别计算出回答问题的人中答 “是” 的人数以及比例.

【详解】从袋子中随机抽一个球, 抽到红球的概率为 ,

抽到白球的概率为, 所以回答问题的人数是（人）

回答问题的人数是 （人）,

回答问题的人中答 “是” 的人数是 ,

所以回答问题的人中答 “是” 的人数是 ,

所以估计该校该年级学生有过抄袭的比例为 .(四舍五入精确到0.01).

故选：C.

二、多选题

9．下列四个命题中，假命题有（    ）

A．对立事件一定是互斥事件

B．若为两个事件，则

C．若事件彼此互斥，则

D．若事件满足，则是对立事件

【答案】BCD

【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A；根据事件的和事件的概率可判断B；举反例可判断C，D,

【详解】对于A，因为对立事件一定是互斥事件，A正确；

对B，当且仅当A与B互斥时才有，

对于任意两个事件，满足，B不正确；

对C，若事件彼此互斥，不妨取分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1点”，“掷出2点”，“掷出3点”，

则，所以C不正确；

对于D，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，

从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球），

满足，

但事件A与B不互斥，也不对立，D错误，

故选：BCD.

10．在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则（    ）

A．恰有1件一等品的概率为

B．恰有2件一等品的概率为

C．至多有1件一等品的概率为

D．至多有1件一等品的概率为

【答案】ABD

【分析】5件产品中任取2件有10种取法，恰有1件一等品的取法有6种，恰有2件一等品的取法有3种，“恰有2件一等品”的对立事件是“至多有1件一等品”，从而得出选项.

【详解】将3件一等品编号为1，2，3，将2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).

其中恰有1件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，共6种，故恰有1件一等品的概率为；

恰有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，故恰有2件一等品的概率为，

则其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为.

故选：ABD.

11．的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（    ）

A．sin(B+C)=sinA

B．cos(B+C)=cosA

C．若，则为直角三角形

D．若，则为锐角三角形

【答案】AC

【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答.

【详解】依题意，中，，，A正确；

，B不正确；

因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确；

因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确.

故选：AC

12．沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（    ）

A．沙漏的侧面积是

B．沙漏中的细沙体积为

C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm

D．该沙漏的一个沙时大约是837秒

【答案】BD

【分析】A选项，求出圆锥的母线长，从而利用锥体体积公式求出沙漏的侧面积；B选项，根据细沙形成的圆锥的高度得到此圆锥的底面半径，得到细沙的体积；C选项，由B选项求出的体积公式得到细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度；D选项，利用细沙的体积和沙漏漏下的速度求出时间.

【详解】A选项，设下面圆锥的母线长为，则cm，

故下面圆锥的侧面积为，故沙漏的侧面积为，故A错误；

B选项，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高度的，

所以细沙形成的圆锥底面半径为cm，高为cm，

故底面积为，所以沙漏中的细沙体积为，B正确；

C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为，其中此锥体的底面积为，故高度为cm，C错误；

D选项，秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知复数，则     ．

【答案】/-i+1

【分析】根据共轭复数的概念求解即可.

【详解】解：复数，则.

故答案为：.

14．已知，若，则       .

【答案】

【分析】根据题意求得，结合向量的数量积的运算公式求得的值，得到的坐标，利用向量模的公式，即可求解．

【详解】因为，可得，

又因为，可得，解得，

所以，所以.

故答案为：.

15．在三棱锥中，已知是线段上的点，.若三棱锥的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为      .

【答案】

【分析】结合余弦定理、正弦定理、勾股定理求得球的半径，进而求得球的表面积.

【详解】如图，因为，且平面，

所以平面.又平面，所以.

因为，即，且，

平面，所以平面.

在中，因为，可得.

设外接圆的半径为，则，可得，即，

设三棱锥的外接球的半径为，

可得，

即，球的半径为，故表面积.

故答案为：

四、双空题

16．某中学调查了某班全部30名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表（单位：人）

从该班随机选1名同学，则该同学参加书法社团的概率为        ；该同学至少参加上述一个社团的概率为        ．

【答案】          /0.6

【分析】根据古典概型概率公式及对立事件概率公式即得.

【详解】由题可知该班参加书法社团的同学有10人，两个社团都没参加的同学有12人，

所以从该班随机选1名同学，该同学参加书法社团的概率为；

该同学至少参加上述一个社团的概率为.

故答案为：；.

五、解答题

17．箱子中有三颗球，编号 1，2，3．分别依下列规定取球并观察编号，试写出下列三个试验的样本空间：

(1)一次取一球，取后放回，连取两次．

(2)一次取一球，取后不放回，连取两次．

(3)一次取两球．

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析；

(3)答案见解析.

【分析】根据样本点的概念，结合题意列举试验的样本空间即得．

【详解】（1）由题可知共有个样本点，

样本空间为；

（2）由题可知共有个样本点，

样本空间为；

（3）由题可知共有个样本点，

样本空间为{1与2，1与3，2与3}.

18．在中，角，，所对的边分别为，，，且．

(1)求角；

(2)若，的面积为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案；

（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.

【详解】（1）因为，

所以，

因为，则，

所以，即，

因为，所以.

（2）因为的面积为，，

所以，即，

因为，所以，

所以，解得.

所以.

19．已知，，且与的夹角为.

(1)求.

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求得，再利用数量积的运算律求解；

（2）先求得，根据向量模的求法，结合数量积的运算律求解.

【详解】（1）解：因为，，且与的夹角为，

所以，

所以

；

（2），

.

20．如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面ABCD．

(1)证明：平面平面PCD．

(2)若，，E在棱AD上，且，求四棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1）由，，证得平面PAD，则有平面平面PCD．

（2）由已知数据结合棱锥体积公式计算.

【详解】（1）证明：由四边形ABCD为矩形，得．

因为底面ABCD，平面ABCD，所以．

因为，平面PAD，所以平面PAD．

因为平面PCD，所以平面平面PCD．

（2）因为，，所以，

因为直角梯形ABCE的面积．

所以．

21．如图，三棱柱中，平面ABC，，点M，N分别是线段，的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)设平面与平面的交线为l，求证：．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件证明即可推理作答.

(2)连接，证明平面，再结合线面平行的性质即可推理作答.

【详解】（1）三棱柱中，平面ABC，而平面ABC，则，

又，，平面，于是得平面，而平面，

所以平面平面.

（2）连接，如图，因点M，N分别是线段，的中点，则，因平面，平面，

因此，平面，而平面平面，平面，

所以.

22．2021年9月15日，安徽省举行新闻发布会，正式公布了高考综合改革方案．按照方案的要求，高考选科采用“3+1+2”的模式：“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．某校对其高一学生的首选学科意向进行统计，得到如下表格：

(1)令A＝“从选历史的同学中任选一人，求此人是女生”，B＝“从选物理的同学中任选一人，求此人是女生”，判断随机事件A，B的概率，的大小关系；

(2)按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：

将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．该校某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如图所示：

①按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级A的原始分区间；

②用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90分，试计算其等级分．

【答案】(1)；

(2)①；②91分.

【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型直接计算概率，比较作答.

（2）①根据频率分布直方图，结合A等级划分比例计算；②根据转换公式直接计算作答.

【详解】（1）依题意，，，

所以．

（2）①由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为5%，位于区间的占比为20%，

估计等级A的原始分区间的最低分为，

所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为．

②由，解得，该学生的等级分为91分．