2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第四章三角函数与解三角形4.8正弦定理、余弦定理课件

这是一份2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第四章三角函数与解三角形4.8正弦定理、余弦定理课件，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，RsinB，RsinC，三角形解的判断，°或135°，所以c＝3，又C∈0π，因为sinB≠0等内容，欢迎下载使用。

1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
b2＋c2－2bccs A
c2＋a2－2cacs B
a2＋b2－2abcs C
sin A∶sin B∶sin C
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r为三角形的内切圆半径).
在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs A(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.(　　)
1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于
在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得
2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝ ，c＝2，则C＝ ________ .
因为c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°.
例1　(1)在△ABC中，若 则AC等于
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝ ，A＝45°，则C等于A.30° B.60° C.120° D.60°或120°
又因为0a，A＝45°，所以C＝60°或120°.
延伸探究　若将本例(2)条件变为“a＝ ，A＝60°，c＝2”，求C.
因为c利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角.
跟踪训练1　(1)已知在△ABC中， A＝30°，则c等于
∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝120°，则C＝30°，
(2)(2023·兰州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b＝2，c＝ ，且 asin B＋bcs A＝b，则△ABC的面积为 .
例2　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则A＋B的大小为
由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab得a2＋b2－c2＝－ab，
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
解得c＝－4(舍去)或c＝3，
利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
(2)(2022·攀枝花模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋c)2－b2，则cs B的值是
因为2S＝(a＋c)2－b2，所以acsin B＝a2＋c2－b2＋2ac，即acsin B＝2accs B＋2ac，即sin B－2cs B＝2，又sin2B＋cs2B＝1，则(2cs B＋2)2＋cs2B＝1，(5cs B＋3)(cs B＋1)＝0，
例3　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acs B，则△ABC的形状一定是A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰三角形
即c2＝a2＋c2－b2，故a2＝b2，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形.
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， ，则△ABC的形状为A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，所以cs Bsin C＝sin Bcs C＋cs Bsin C，即sin Bcs C＝0，又sin B≠0，所以cs C＝0，又角C为△ABC的内角，
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，
所以△ABC是等边三角形.
判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
跟踪训练3　(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是A.若acs A＝bcs B，则△ABC一定是等腰三角形B.若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
对于A，若acs A＝bcs B，则由正弦定理得sin Acs A＝sin Bcs B，∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若bcs C＋ccs B＝b，则由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误.
(2)在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，则该三角形的形状是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.钝角三角形
∵a2＋b2－c2＝ab，
由2cs Asin B＝sin C及正弦定理得，
∴b2＝a2，即b＝a，
因为sin A＝6sin B，则由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C，
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A＝16－12＝4，解得a＝2.
而0°显然0°6.(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cs B(acs C＋ccs A)＝b，lg sin C＝ lg 3－lg 2，则△ABC的形状为A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形
∵2cs B(acs C＋ccs A)＝b，∴根据正弦定理得，2cs B(sin Acs C＋cs Asin C)＝sin B，∴2cs Bsin(A＋C)＝sin B，∴2cs Bsin(π－B)＝sin B，即2cs Bsin B＝sin B，
7.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ ____ .
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
8.(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 __ .
∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，sin Bsin C>0，结合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，可得2bccs A＝8，
9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcs C＝(2a－c)cs B.(1)求B；
由正弦定理，得sin Bcs C＝2sin Acs B－cs Bsin C，即sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Acs B，∴sin(B＋C)＝2sin Acs B，∴sin A＝2sin Acs B，
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面积.
∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状.
∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，
即b2＋c2－bc＝bc，∴(b－c)2＝0，∴b＝c，
11.(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是A.若cs A＝cs B，则△ABC为等腰三角形B.若A>B，则sin A>sin BC.若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A＋sin2B对于A，若cs A＝cs B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；
得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B成立，故B正确；
所以C为钝角，所以△ABC是钝角三角形，故D正确.
因为sin A>0，sin B>0，所以(sin A＋sin B)2≥4sin Asin B，
13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2,2sin A＝a( －cs B)，则B＝ .
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，
即2b2－5bc＋2c2＝0，
因为a2＋b2－c2＝absin C，
因为acs B＋bsin A＝c，所以sin Acs B＋sin Bsin A＝sin C，因为C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，所以sin Acs B＋sin Bsin A＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，即sin Bsin A＝cs Asin B，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以tan A＝1，又A∈(0，π)，
因为tan C＝2，C∈(0，π)，
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝ sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝ ，cs C＝ .
因为△ABC的周长为9，
因为△ABC的面积为3sin C，