2022-2023学年湖北省荆门市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省荆门市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(    )

A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等

3.  下列根式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水如图所示，则小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象大致为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图每组年龄包含最小值，不包含最大值，根据图形提供的信息，下列说法中错误的是(    )

A. 该学校教职工总人数是人
B. 这一组年龄在小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的
C. 教职工年龄的中位数一定落在这一组
D. 教职工年龄的众数一定在这一组

6.  如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形是菱形时，橡皮筋再次被拉长了(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当最小时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在同一平面直角坐标系中，一次函数的与的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，正方形的边长为，对角线、相交于点，将绕点顺时针旋转得到，交于点连接交于，连接则下列结论：；四边形是菱形；的面积是；；其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知一组数据，，，，，，则这组数据的平均数是______ ．

12.  若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

13.  小亮用块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形木板，截面如图所示，两木墙高分别为与，点在上，求正方形木板的面积为______ ．

14.  一次函数与的图象如图所示，则下列结论：；，；当时，；不等式的解集是，其中正确的结论有______ 只填序号

15.  如图，在中，，，，为边上一个动点不与、重合，于，于，为中点，则的最小值是______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，，顶点依次用，，，，表示，则顶点的坐标为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  已知与成正比例，且时，
求与之间的函数关系式；
设点在这个函数的图象上，求．

四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
已知，求的值．

19.  本小题分
如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄，江边原有两个观景台，，其中，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台点，，在同一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．
是不是从村庄到江边的最短路线？请通过计算加以说明；
求原来的路线的长．

20.  本小题分
荆门市争创全国文明典范城市，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：

______ ； ______ ；
请补全频数分布直方图；
若成绩在分以上包括分的为“优”等，估计该校参加这次比赛的名学生中成绩“优”等约有多少人？

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为．
求和的值；
设一次函数的图象与轴，轴交于，两点，将一次函数的图象向右平移个单位，交图象于点，交轴于点，求四边形的面积；
直接写出使函数的值小于函数的值的自变量的取值范围．

22.  本小题分
如图，在▱中，对角线、相交于点，，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的周长．

23.  本小题分
为了落实“乡村振兴”政策，，两城决定向，两乡运送水泥建设美丽乡村，已知，两城分别有水泥吨和吨，从城往，两乡运送水泥的费用分别为元吨和元吨；从城往，两乡运送水泥的费用分别为元吨和元吨，现乡需要水泥吨，乡需要水泥吨．
设从城运往乡的水泥吨设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费；
为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？

24.  本小题分
如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限内作正方形．

求边的长；
求点，的坐标；
作直线，将绕点逆时针旋转，两边分别交正方形的边，于点，如图，若恰为的中点，请求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，所以选项错误；
B、原式，所以选项正确；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

2.【答案】 

【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：．
平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．

3.【答案】 

【解析】解：，是最简二次根式，故此选项符合题意；
，，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
，，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
，，被开方数含有开的尽方的因数和因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选A．
根据最简二次根式的定义逐一判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟记最简二次根式的概念是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于，则可以判断、一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，随的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度不再变化．
故选B．
根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象．

5.【答案】 

【解析】解：该学校教职工总人数是人，说法正确，不合题意；
年龄在小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的百分比为：，说法正确，不合题意；
教职工年龄的中位数是第和的平均数，且第和都在这一组，则教职工年龄的中位数一定落在这一组，说法正确，不合题意；
教职工年龄的众数不一定在这一组，说法错误，符合题意，
故选：．
根据频数分布直方图、中位数和众数的概念对各个选项进行判断即可．
本题考查的是频数分布直方图、中位数和众数的概念，读懂频数分布直方图、根据统计图获取正确的信息、掌握中位数和众数的概念是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：连接，交于，
四边形是菱形，，
，，，，
，
，，
，
橡皮筋再次被拉长了，
故选：．
由菱形的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的判定和矩形的判定等知识，熟练掌握中点四边形的判定是解题关键．
根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断．由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形是平行四边形，若或者就可以判定四边形是矩形．
【解答】解：当时，四边形是矩形，
理由：点，，，分别是，，，的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
即，
四边形是矩形；
故选A．

8.【答案】 

【解析】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示．

令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
有，解得：，
直线的解析式为．
令中，则，解得：，
点的坐标为．
故选C．
根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置．

9.【答案】 

【解析】解：与，
时，两函数的值都是，
两直线的交点的横坐标为，
若，则一次函数与都是增函数，且都交轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；
若，则一次函数经过第一、二、四象限，经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为；
故选：．
利用一次函数的性质进行判断．
此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．

10.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，．
由旋转可知，，，
，，
为等腰直角三角形，
．
，
≌，
，
，故正确；
≌，
．
又，，
≌，
．
，，
，
，
，
四边形为菱形，故正确；
，，
，
．
，
，
，故正确；
根据正方形的性质可求出，
，
，
，故正确；
综上可知，正确的为．
故选：．
由正方形和旋转的性质易证为等腰直角三角形，即得出又易证≌，即得出，可判断；由全等的性质可得出又易证≌，得出由三角形外角的性质和三角形内角和定理可求出，即得出，从而证明四边形为菱形，可判断；由等腰直角三角形和勾股定理可求出，即再根据，从而可求出，最后根据三角形的面积公式计算即可求出，从而可判断；根据正方形的性质可求出，再根据，可求出，即可求出，可判断．
本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．

11.【答案】 

【解析】解：这组数据的平均数是．
故答案为：．
根据平均数的计算公式解答即可．
此题考查了平均数，掌握平均数的计算公式是本题的关键，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

12.【答案】 

【解析】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出是解此题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：木墙与地面垂直，正方形，
，，，，
，
，
≌，，
长方体小木块高度都是，
，，
在中，，
，
，
故答案为：．
利用三角形全等及勾股定理解题即可．
本题主要考查勾股定理的运用，涉及到三角形全等的判定，能够熟练通过全等得到线段的等量关系是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：的图象从左向右呈下降趋势，
正确；
，与轴的交点在正半轴上，与轴的交点在负半轴上，
，，故正确；
两函数图象的交点横坐标为，
当时，正确；
当时，错误；
故正确的判断是．
故答案为：．
仔细观察图象，的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；，看，与轴的交点坐标；看两函数图象的交点横坐标；以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大．
此题主要考查了一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力，一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
在中，，，，
，
于，于，
，
四边形是矩形，
，
为中点，
，
当时，，
此时有最小值为，
故答案为：．
先证四边形是矩形，得，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后求出的最小值可得的最小值．
本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，垂线段最短等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：观察发现：，，，，，，，，，，
，，，为自然数，
，
．
故答案为：．
根据正方形的性质找出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，为自然数”，依此即可得出结论．
本题考查了规律型：点的坐标，解题的关键是找出变化规律“，，，为自然数”本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出变化规律是关键．

17.【答案】解：与成正比例，
设，
当时，，
，
，
与的函数关系式为，
点在函数关系式为的图象上，
，
． 

【解析】根据题意可设，再把当时，代入可得的值，进而得到函数解析式；
将点的坐标代入正比例函数的解析式求得的值即可．
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数的定义：．

18.【答案】解：原式；
，


原式



． 

【解析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可；
先求出与的值，再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．

19.【答案】解：是，
理由是：在中，千米，千米，千米，
，，
，
，
所以是从村庄到河边的最短路线；
设千米，
在中，由已知得千米，千米，千米，
由勾股定理得：，
，
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米． 

【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

20.【答案】   

【解析】解：；，
故答案为：，；
补全频数分布直方图如图所示：

人；
答：这次比赛的名学生中成绩“优”等约有人．
根据频数、频率总数的关系进行计算即可，
在频数分布直方图中画出组的频数分布直方图即可；
样本估计总体，样本中优秀的占，因此估计总体人的是优秀的人数．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中的数量和数量关系是正确解答前提．

21.【答案】解：把代入得，则点的坐标为，
把代入得，解得，
，；
由得一次函数解析式为．
令，则，
解得，
点坐标为，
；

设直线的解析式为，
一次函数的图象向右平移个单位，交图象于点，交轴于点，
点的坐标为，，
，
把，代入，得，
，
直线解析式为．
解方程组得，
点坐标为，，
四边形的面积．
自变量的取值范围是． 

【解析】先把代入正比例函数可计算出，然后把代入求出值即可；
令求出点的坐标，根据三角形面积公式求出的面积，再解与联立成的方程，可求得点的坐标，计算的面积，然后根据“四边形的面积的面积的面积”计算即可；
函数的值小于函数的自变量的取值范围，值体现在函数图象上，就是直线在直线下方部分的的值，故观察函数图象写出即可．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的交点问题与一次函数的平移，若直线与直线相交，则由两函数的个解析式所组成的方程组的解为交点坐标；若直线与直线平行，则熟练掌握待定系数法求函数的解析式，函数与方程的关系是解答本题的关键．

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，
，
，，
又，
，
，
四边形是矩形．
解：如图，连接，
在菱形中，，，
由知，四边形为矩形；
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
菱形的面积，
，
，
的周长． 

【解析】根据菱形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，，求得，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，进而解答即可．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．

23.【答案】解：设从城运往乡肥料吨，则运往乡，
从城运往乡肥料吨，则运往乡吨，
设总运费为元，根据题意，
得：．
，
，随的增大而增大，
当时，总运费最少，且最少的总运费为元．
答：与的函数关系式为，最少总运费为元；
设减少运费后，总运费为元，
则：

，
分以下三种情况进行讨论：
当时，，
此时随的增大而增大，
当时，；．
当时，，
此时随的增大而减小，
当时，；
当时，，
不管怎样调运，费用一样多，均为元；
综上可得：
当时，城运往乡吨，总运费最少；
当时，无论从城运往乡多少吨肥料不超过吨，总运费都是元；
当时，城运往乡吨，总运费最少． 

【解析】用含的代数式分别表示出城运往、乡的肥料吨数，从城运往乡肥料吨数，及从城运往乡肥料吨数，根据：运费运输吨数运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
列出当城运往乡的运费每吨减少元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，并得结论．
本题考查了一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到需分类讨论．

24.【答案】解：在中，当时，；
当时，，
，．
，．
；
过点作轴于点，
过点作轴一点．

是正方形，
，，
，，
，
在和中，

≌，
，，
．
，
．
如图，过点分别作，交于点，轴，交轴有的，

过点作于点，取得中点，
，
，，
，
同可证：≌，
，，
，
设的解析式为，
将、代入得，
解得，
，
同理的解析式为，
联立，，
解得，，
． 

【解析】在中，当时，；当时，，可得，，即得；
过点作轴于点，过点作轴一点，证明≌，可得，，从而，同理可得；
过点分别作，交延长线于点，轴于，过点作于点，取的中点，由三角形的中位线的性质可得，，，即得，，，，根据将绕点逆时针旋转，两边分别交正方形的边，于点，，有，是等腰直角三角形，从而≌，有，，，设直线的解析式为，待定系数法可得直线的解析式为式为，由，同理可得直线的解析式为，联立，的解析式，即可解得．
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、旋转变换、正方形性质、全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是利用全等三角形对应边相等求出相关点坐标．