福建省南安市华侨中学2023-2024学年高二上学期8月月考数学试题

华侨中学2025届高二年第一次质检数学学科试题

一、单选题

1．如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知是不共线的向量，，当且仅当下列何种条件成立时，三点共线？（    ）

A．     B．    C．     D．

3．设是空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：

①若，则；    ②若，则；

③若，则；    ④若，则．

其中正确的是（    ）

A．①②    B．②③    C．②④    D．②④

4．在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．已知点是边长为1的等边三角形的中心，则等于（    ）

A．    B．    C．    D．

6．已知长方体中，，点为中点，设平面，则线段长度为（    ）

A．     B．    C．    D．5

7．在三棱锥中，．若与面所成角的最大值为，则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知点是所在平面内点，有下列四个等式：

甲：；    乙：；

丙：；    丁：．

如果只有一个等式不成立，则该等式为（    ）

A．甲    B．乙    C．丙    D．丁

二、多选题

9．下面四个结论正确的是（    ）

A．已知向量，若，则

B．若空间四个点，则三点共线

C．己知向量，若为钝角，则且

D．已知为非零向量，满足，则向量共线

10．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（    ）

A．                        B．

C．与为相交直线或异面直线    D．在向量上的投影向量为

11．在直三棱柱中，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（    ）

A．平面

B．若是上的中点，则

C．直线与平面所成角的正弦值为

D．直线与直线所成角最小时，线段长为

12．如图，正方体的棱长为4，是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（    ）

A．平面被正方体截得截面为三角形

B．若，直线

C．若在上，的最小值为

D．若，点的轨迹长度为

三、填空题

13．已知，则点到直线的距离为____________________．

14．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且，则向量与向量所成角的余弦值为____________________________．

15．三棱锥的顶点都在球的表面上，线段是球的直径，，则球的表面积为_________________________________________________________．

16．己知平面向量，且满足，若为平面单位向量，则的最大值为_____．

四、解答题

17．如图，在中，，角平分线，求此三角形面积．

18．如图，平面．

（1）求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求线段的长．

19．如图，在三棱柱中，侧面底面和都是边长为2的正三角形．

（1）过作出三棱柱的截面，使截面垂直于，并证明；

（2）求与平面所成角的正弦值．

20．如图，在正方体中，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

21．如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．

（1）证明：平面；

（2）已知为上的点且，，求与平面所成；

22．如图，四边形为梯形，，点在线段上，且．现将沿翻折到的位置，使得．

（1）证明：；

（2）点是线段上的一点（不包含端点），是香存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出；若不存在，请说明理由．

保密★启用前

华侨中学2025届高二年第一次质检数学学科

参考答案

一、单选题  1~8  C D C A    D C C B

二、多选题  9~12  ABC  BC  ACD  CD

三、填空题  13．     14．    15．     16．

四、解答题

17．解：设，

是的角平分线，．

设，则．

在与中，分别利用余弦定理可得：

，

．

，解得：．

，

．

∴此三角形的面积为：．

18．解：（1）依题意，是平面的一个法向量，

又，可得，则，

又因为直线平面，所以平面．

（2）设为平面的法向量，

则，即，

不妨令，可得．

由题意，有，解得．

经检验，符合题意．所以，线段的长为．

19．解：（1）设中点为，连，则截面为所求，

分别为的中线，所以，

又为平面内的两条相交直线，所以平面，

（2）以为原点，方向为轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，易求得，

设平面的一个法向量为，

由，取，则，解得平面的一个法向量为，

，

所以与平面所成角的正弦值为．

20．解：（1），且，

∴四边形为平行四边形，，

平面平面，

平面．

（2）以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，，

设平面的一个法向量为，则，

令，则，

设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．

21．解：（1）过在平面内作直线，

由，可得，即为平面和平面的交线，

平面平面，

又，平面，

设平面中有任一直线，则直线，

直线，

所以由线面垂直的定义得平面；

（2）由（1）得如图，以为坐标原点，直线所在的直线为轴，建立空间直角坐标系

则，

设，所以，

设平面的法向量为，

则，所以，取，可得，

所以，

所以与平面所成角的正弦值为，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以，

即与平面所成角的正弦值的最大值为．

22．解：（1）证明：因为四边形为梯形．，，

所以，

即，

在中，过作，垂足为，连接．

在中，，所以．

在中，，

由余弦定理得，

所以，所以，所以，即．

又平面，所以平面．

又平面，所以．

（2）在中，．

又平面平面．

又平面．

又平面平面．

以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，

所以．

设，

则．

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则．

设平面的一个法向量为，

则，即

令，则．

因为二面角的余弦值为，

所以，解得或（舍），

所以存在点，使得二面角的余弦值为，此时．