2022-2023学年河北省沧州市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河北省沧州市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数的定义域可求集合A，再由集合的交集的定义可求解.

【详解】因为，

又因为，

所以．

故选：C．

2．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质分析判断即可.

【详解】当时，显然，，所以，

当时，若，则，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

3．在某项测试中，测量结果，若，则（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

【答案】B

【分析】由正态分布的对称性求解即可.

【详解】解析：由正态分布知，因为，

∴，由对称性知，

故选：B．

4．下列残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】根据一元线性回归模型对随机误差的假定即可判断结果.

【详解】图A显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分；

图B说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大；

图C显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型；

图D的残差较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，

可见D满足一元线性回归模型对随机误差的假定．

故选：D．

5．设随机变起的分布列为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分布列的性质求得，进而求得.

【详解】因为，解得，

所以.

故选：C

6．已知为定义在上的奇函数，，若总有．则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意推出函数是上的偶函数，且在上为减函数在上为增函数，再讨论的符号，利用的单调性可求出结果.

【详解】∵是定义在上的奇函数，∴函数是上的偶函数，

因为对，总有，即，

所以在上为减函数，又为偶函数，所以在上为增函数，

因为，所以，，

∵为定义在上的奇函数，∴．

当时，不等式不成立；

当时，不等式可化为，即，

因为在上为减函数，所以，得；

当时，不等式可化为，即，

因为在上为增函数，∴，得，

综上所述，原不等式的解集为，

故选：C．

7．将4本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，且1号书不能给甲同学，则不同的分法种数为（    ）

A．6 B．12 C．18 D．24

【答案】D

【分析】由题意得，分甲得一本书和甲得两本书两种情况求解，然后利用分类加法原理可求得结果.

【详解】当甲得一本书时，先从除1号书外的3本书中选1本给甲，然后将剩下的3本书分成两组分给其余的两人，所以有种；

当甲得两本书时，先从除1号书外的3本书中选2本给甲，然后剩下两本书给其余两人每人一本，所以有种，

所以由分类加法原理可得共有24种，

故选：D．

8．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数单调性可以判断，利用放缩结合不等式可以判断，根据函数函数单调性可以判断，进而可以判断结果.

【详解】∵函数单调递减，

，，

∴；

∵，

∴；

由，

得，

∵函数单调递减，

∴，

∴，，

所以

故选：A．

二、多选题

9．下列函数中，最小值为4的是（    ）

A． B．

C．， D．

【答案】CD

【分析】由二次函数的性质可判断A；先化简函数，由无解，可判断B；由基本不等式可判断C，D.

【详解】解析：，故A不正确；

，而无解，故B不正确；

∵，，

当且仅当，即时取等号，C正确；

，当且仅当时取等号，D正确．

故选：CD．

10．有一个正四面体玩具，四个面上分别写有数字1，2，3，4．其玩法是将这个正四面体抛掷一次，记录向下的面上的数字．现将这个玩具随机抛掷两次，表示事件“第一次记录的数字为2”，表示事件“第二次记录的数字为4”，表示事件“两次记录的数字和为3”，表示事件“两次记录的数字和为5”，则（    ）

A．与互斥 B．与互斥

C．与相互独立 D．与相互独立

【答案】BCD

【分析】根据事件的互斥的定义即可判断A不正确、B正确；根据相互独立的定义即可判断C、D正确.

【详解】因为事件和事件可以同时发生，

所以与不互斥，A不正确；

因为事件和事件不能同时发生，

所以与互斥，B正确；

用表示第一次事件记录的数字为，第二次事件记录的数字为，

则“两次记录的数字和为5”可以是，

所以，，

，故C正确，

，，

，故D正确，

故选:BCD．

11．设，且，随机变量，随机变量，则（    ）

A．

B．

C．

D．当取得最大值时，

【答案】ACD

【分析】由二项分布的期望公式可判断A；由方差的性质可判断B；由二项分布的方差公式求出，再由代入可求出；由基本不等式结合方差和数学期望的公式可判断D.

【详解】解析：，A正确；

，B不正确；

，因为，

所以，C正确；

，

当且仅当，即，时取等号，

此时，D正确．

故选：ACD．

12．已知函数满足，当时，，，则下列结论正确的是（    ）

A．，，上存在两点，使得是正三角形

B．，，上存在两点，使得是正三角形

C．方程在区间上有两根，则的值有4个

D．当为奇数和为偶数时，函数的零点个数分别为，则是定值

【答案】BD

【分析】根据题意求出函数的奇偶性、对称性、周期性，根据这些性质作出函数图象，对于A，取时，可得A不正确；对于B，不妨取，可得B正确；对于C，根据图象分析可得C不正确；对于D，取和，根据图象求出，可得D正确．

【详解】由可得是偶函数，

由可得的图象关于对称，

由可得为周期函数，且周期

画出时，的图象，并作关于轴对称的图象，用周期将其平移，得到在上的图象，如图：

对于A，不妨取，，由图知．，故上不存在两点，使得是正三角形，故A不正确；

对于B，不妨取，，由图知，只需直线，斜率为±即可，故上存在两点，使得是正三角形，故B正确；

对于C，注意到的图象过点与，，不妨取和，两点连线斜率为1，还可以作一个与图象相切且斜率为1的直线，在这两条直线之间还有无数条满足题意，故C不正确；

对于D，取时，求的零点个数可以看作求函数与图象的交点个数，当时，与图象的交点有9个，则，取时，将的图象向右平移1个单位长度，则当时，交点有9个，时，交点也是9个，时，交点是1个，故，则，故D正确．

故选：BD．

【点睛】关键点点睛：根据函数的性质作出函数的图象，利用数形结合思想求解是解题关键.

三、填空题

13．已知函数是奇函数，则     ．

【答案】1

【分析】由奇函数的性质求解即可.

【详解】解析：因为函数是奇函数，

由已知得，

，则，

所以，即，

即，解得，

此时的定义域为满足题意．

故答案为：1.

14．，则     ．

【答案】3

【分析】中，分别令，即可求解.

【详解】中，

令，得，

令，得，

∴．

故答案为：3.

15．将8个大小和形状完全相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，使每个盒子中球的个数不大于其编号，则不同的放法有     种．

【答案】10

【分析】设1，2，3，4号盒子分别放个球，则有，然后将问题转化为将6个大小和形状完全相同的小球分成4部分，且每一部分至少1个球，利用隔板法求解即可.

【详解】设1，2，3，4号盒子分别放个球，则

，且，

所以，

其中，，，，

此时相当将6个大小和形状完全相同的小球分成4部分，且每一部分至少1个球，

所以将6个球形成的5个空插入3个板，

所以共有种，

故答案为：10

四、双空题

16．产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，在产品中随机抽件做检查，发现件不合格品的概率为，其中是与中的较小者，在不大于合格品数（即）时取0，否则取与合格品数之差，即.根据以上定义及分布列性质，请计算当N=16，M=8时，     ；若，，请计算     ．（用组合数表示）

【答案】     /     /

【分析】根据概率和为1可得，可求得，利用组合数的性质可求出

【详解】当，，时，，

因为，

故．

当，时，

因为，

所以，

所以

．

故答案为：，

【点睛】关键点点睛：该试题考查组合数的应用，解题的关键是正确理解，然后根据此公式求解，考查拓展思维和探索思维，属于较难题.

五、解答题

17．为了调查某种脑血管疾病是否与常饮酒有关，在某地随机抽取个人进行调查，结果如下：

单位：人

(1)依据的独立性检验，能否判断患有疾病与常饮酒有关；

(2)从患有疾病的25人中任取3人，设不常饮酒的人数为，常饮酒的人数为．求．

附：

【答案】(1)认为患有疾病与常饮酒有关

(2)

【分析】（1）根据独立性检验计算出，与表中数据对比即可得出结论.

（2）结合题意可得出，可将的概率转化为不常饮酒的人数为人，常饮酒的人数为人和不常饮酒的人数为3人，常饮酒的人数为人这两种情况，结合超几何分布即可求出结果.

【详解】（1）零假设为：患有疾病与常饮酒无关．

根据表中数据，计算得到，

∴依据的独立性检验，我们推断不成立，此推断犯错误的概率不超过，

因此认为患有疾病与常饮酒有关．

（2）∵，，，．注意到，则的概率转化为不常饮酒的人数为人，常饮酒的人数为人和不常饮酒的人数为3人，常饮酒的人数为人这两种情况，

∴．

18．两个具有相关关系的变量的一组统计数据为，，…．其样本中心点为，且由统计知，，样本相关系数．

(1)求；

(2)根据样本相关系数以及下面所附公式，建立关于的经验回归方程．

附：，，．

【答案】(1)138

(2)

【分析】（1）化简，由此确定正确答案.

（2）根据相关系数求得，进而求得关于的经验回归方程.

【详解】（1）

，

代入数据可得．

（2）由已知得，，∵，

∴，

，

∴关于的经验回归方程为．

19．已知展开式的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数们比是．

(1)求展开式中含的项；

(2)求展开式中系数最大项的系数．

【答案】(1)

(2)7

【分析】（1）由求出，再求出展开式的通项，令即可求出展开式中含的项；

（2）设展开式中的第项的系数最大，则有，解不等式可求出的范围，即可求出展开式中系数最大项的系数．

【详解】（1）由已知得，

则，

则，即，

解得或（舍去）．

设展开式中含的项为第项，则，

令，则，故展开式中含的项为．

（2）设展开式中的第项的系数最大，则有

，可得，

即，即，解得：，

故展开式中系数最大项的系数为．

20．某公司有A，B两个食堂，公司的甲、乙、丙三位员工每天中午都在公司食堂用餐，据以往的用餐统计，甲、乙两名员工每天中午在A食堂用餐的概率均为，在B食堂用餐的概率均为，而丙员工每天中午在A食堂用餐的概率为，在B食堂用餐的概率为．三人在哪个食堂用餐互不影响．

(1)证明：甲、乙、丙三人中每天中午恰有一人在A食堂用餐的概率与无关；

(2)若，求三人中每天中午在B食堂用餐的人数的分布列和数学期望．

【答案】(1)证明见解析

(2)分布列见解析，

【分析】（1）求得甲、乙、丙三人中每天中午恰有一人在A食堂用餐的概率，由此证得结论成立.

（2）根据相互独立事件概率计算方法求得的分布列并求得数学期望.

【详解】（1）设甲、乙、丙三人中每天中午恰有一人在A食堂用餐的概率为，

则，

∴甲、乙、丙三人中每天中午给有一人在A食堂用餐的概率与无关．

（2）．

，

，

，

，

所以，的分布列为

数学期望．

21．端午假日期间，某商场为了促销举办了购物砸金蛋活动，凡是在该商场购物的顾客都有一次砸金蛋的机会．主持人从编号为1，2，3，4的四个金蛋中随机选择一个，放入奖品，只有主持人事先知道奖品在哪个金蛋里．游戏规则是顾客有两次选择机会，第一次任意选一个金蛋先不砸开，随后主持人随机砸开另外三个金蛋中的一个空金蛋，接下来顾客从三个完好的金蛋中第二次任意选择一个砸开，如果砸中有奖的金蛋直接获奖．现有顾客甲第一次选择了2号金蛋，接着主持人砸开了另外三个金蛋中的一个空金蛋．

(1)作为旁观者，请你计算主持人砸4号金蛋的概率；

(2)当主持人砸开4号金蛋后，顾客甲重新选择，请问他是坚持选2号金蛋，还是改选1号金蛋或3号金蛋？（以获得奖品的概率最大为决策依据）

【答案】(1)

(2)甲应该改选1号金蛋或3号金蛋．

【分析】（1）设出事件，根据已知条件得出事件的概率以及条件概率，然后根据全概率公式即可得出答案；

（2）根据条件概率，分别求出主持人砸开4号金蛋的条件下，1号金蛋、2号金蛋、3号金蛋里有奖品的概率，再比较概率的大小，即可得出答案.

【详解】（1）设分别表示1，2，3，4号金蛋里有奖品，

设分别表示主持人砸开1，2，3，4号金蛋，

则，且两两互斥．

由题意可知，事件的概率都是，

，，，．

由全概率公式，得．

（2）在主持人砸开4号金蛋的条件下，1号金蛋、2号金蛋、3号金蛋里有奖品的概率分别为

，

，

，

通过概率大小比较，甲应该改选1号金蛋或3号金蛋．

22．已知函数，且满足．

(1)当时，求的值域；

(2)设，且，求的最大值．

【答案】(1).

(2)．

【分析】（1）利用特殊值法，求得参数的值，再代入检验，利用分离常数项化简函数，结合对数函数以及不等式性质，可得答案；

（2）由题意，整理等式，根据取值范围明确代数式的大小，利用隐藏一的解题思想，结合基本不等式，可得答案.

【详解】（1）当时，，此时，得．

而当时，成立，

∴，当时，，

∴的值域为．

（2）由（1）知，，即．由，则，，

而，当且仅当，即时取等号，

∴，∴的最大值为．