2022-2023学年河南省信阳市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河南省信阳市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．甲盒中有3个红球，3个白球，乙盒中有4个球，2个白球，现从甲盒中取出一球放入乙盒中，再从乙盒中取出一球，记事件A：甲盒中取出的球是红球，事件B：在乙盒中取出的球是红球，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件概率的公式结合题意求解即可

【详解】在甲盒中取出一个红球，放入乙盒中，则乙盒中共有7个球，其中红球5个，

所以，或．

故选：A．

2．已知两个正态分布和相应的分布密度曲线如图，则（   ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可.

【详解】由图象可得的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左侧，

故，

由图象可得的密度函数的最大值小于的密度函数的最大值，

所以，

故选：D .

3．2023年5月28日国产大飞机C919由上海飞抵北京，这标志着C919商飞成功，开创了中国商业航空的新纪元．某媒体甲、乙等四名记者去上海虹桥机场、北京首都机场和中国商飞总部进行现场报道，若每个地方至少有一名记者，每个记者只去一个地方，则甲、乙同去上海虹桥机场的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不平均分组分配问题，结合排列组合即可求解个数.

【详解】根据题意可知：有2人去了同一个机场，另外两个人各自去了一个机场，故总共的排法有,

故甲乙同去上海虹桥机场的概率为．

故选：A．

4．已知曲线在处的切线方程为，则等于（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】求导，根据斜率以及点斜式求解直线的方程即可求解，.

【详解】记，，所以，∴．

又，所以，曲线在处的切线方程为，

即，∴．故．

故选：A．

5．直上九天问苍穹，天宫六人绘新篇.2023年5月30日神州十六号发射成功，神十五与神十六乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神十五和神十六每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不同的站法有（    ）

A．72种 B．144种 C．180种 D．288种

【答案】B

【分析】分别从神十五和神十六每组的3名航天员中各选1人排列，后排神十五，神十六分别捆绑，再排列，然后利用分布乘法计数原理求解.

【详解】解：因为第一排的站法有，第二排的站法有，

所以站法18×8=144种．

故选：B．

6．一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】记抽取黄球的个数为X，则由题意可得X服从超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式求解即可.

【详解】记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为

，，1，2．

所以，．

或．

故选：D．

7．2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟比赛中战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分战胜法国队，第三次获得世界杯冠军．其中门将马丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑出点球的个数X的期望为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】由题意可得门将在前四次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，4，且，从而可求出期望.

【详解】依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为．

门将在前四次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，4．，

，，1，2，3，4．

期望．

故选：C．

8．已知抛物线的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为的平分线，则等于（    ）

A． B．8 C．10 D．

【答案】D

【分析】由题意可得，，从而可求．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则．根据抛物线的定义，结合角平分线的性质及相似三角形的性质即可求解.

【详解】，，所以．

过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则．

因为FB为的平分线．则，又，∴，又，∴．

∴．

故选：D．

二、多选题

9．设X，Y为随机变量，且，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据随机变量期望和方差的性质结合已知条件求解即可.

【详解】由，得，又，，

∴，．

故选：AC．

10．展开式的有理项为（    ）

A． B．80 C． D．

【答案】AD

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后由的次数为整数可求出的值，从而可求出展开式中的有理项.

【详解】展开式的通项，

由，∴或，

当时，，当时，．

故选：AD．

11．中国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”．若三棱锥为鳖臑，平面ABC，，，则（    ）

A． 平面PAB B．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

C．二面角的余弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为

【答案】BCD

【分析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥，建立如图所示的直角坐标系，然后利用空间向量对选项ABC逐个分析判断，对于D，由长方体的对角线为三棱锥外接球的直径，可求出外接球的半径，从而可求出外接球的表面积.

【详解】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥，建立如图所示的直角坐标系，

则，，，，，．

∵，∴与不垂直，BC与平面PAB不垂直，选项A错误；

设平面PBC的法向量为，

则，即

令，得平面PBC的一个法向量为．

又，设PA与平面PBC所成角为，则

所以，选项B正确；

设平面PAB的法向量为，，，

则，即

令，得平面PAB的一个法向量为．

，

由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，

所以选项C正确；

长方体的对角线为三棱锥外接球的直径，，所以，球的表面积为，选项D正确．

故选：BCD．

12．随机变量的分布列如下表，

则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．的最大值为

【答案】BD

【分析】根据随机变量概率和为1得到从而判断A；

通过随机变量的期望公式计算进而判断B；

通过随机变量的方差公式进行计算后判断C和D即可.

【详解】由题意得，，得，故A错误；

，故B正确；

所以，故C错误；

因为，

所以，

当且仅当时，取得最大值，故D正确.

故选：BD

【点睛】方法点睛：本题考查随机变量的综合应用.通过随机变量的概率和、期望与方差公式进行计算进而求解即可，最值问题可通过消元从而转化为函数最值问题进而求解.

三、填空题

13．已知平面的法向量，直线l的方向向量，若，则        ．

【答案】/0.5

【分析】由线面位置关系和空间直线方向向量与平面法向量的定义可解.

【详解】∵．则，即，解得．

答案：

14．某校高二年级1200人，期末统测的数学成绩，则这次统测数学及格的人数约为（满分150分，不低于90分为及格）        ．

（附：，）

【答案】190

【分析】由题意得，，然后根据正态分布的性质结合已知求出的概率，从而可估计出数学及格的人数.

【详解】依题意，，

，，

，

则．

故答案为：190

15．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的离心率为        ．

【答案】/

【分析】以双曲线和椭圆的焦点坐标特征为突破点解答即可；

【详解】解析：椭圆的焦点为，，

因为双曲线与椭圆有相同的焦点

所以，得，所以双曲线的离心率．

故答案为：.

16．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义．若，则当时，的最大值为        ．

【答案】

【分析】根据题意可求得当时，的表达式，结合基本不等式即可求得答案.

【详解】当时，，

则

∵，，，∴，当且仅当时，等号成立．

所以，，，

∴，即的最大值为．

答案：

四、解答题

17．某校“环境”社团随机调查了某市100天中每天空气中的PM2.5和当天到街心公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

若某天的空气中的PM2.5不高于75，则称这天“空气质量好”；若某天的空气中的PM2.5高于75，则称这天“空气质量不好”．

(1)估计该市一天“空气质量好”的概率；

(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：，

【答案】(1)

(2)填表见解析；有

【分析】（1）根据频频数分布表直接计算估计即可；

（2）根据独立性检验相关知识补全列联表后列式计算即可.

【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天“空气质量好”的概率为.

所以估计该市一天“空气质量好”的概率为0.72

（2）2×2列联表如下：

零假设：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关，

因为，

所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

18．我国元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》中研究过高阶等差数列问题，如数列满足为等差数列，称为二阶等差数列．已知二阶等差数列1，2，4，7，……．

(1)求的通项公式；

(2)设，求的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得，然后利用累加法可求出，

（2）由（1）得，然后利用错位相法可求得.

【详解】（1）由，，，

∴，∴．

所以，当时，

又，也适合，所以．

（2），

  ①

  ②  

①－②，得

，

∴．

19．2022年6月某一周，“东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿元，数据统计如下表：

(1)通过分析，发现可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；

(2)利用最小二乘法建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.1），并预测下一周的第一天（即第8天）的交易额.

参考数据：，，.参考公式：相关系数.在回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.

【答案】(1)答案见解析

(2)，1.1亿元

【分析】（1）根据相关系数公式求出，利用数值对应的意义即可说明；

（2）先由最小二乘法求出回归方程，在令，即可预测出下一周的第一天的交易额．

【详解】（1）因为，，，，

所以.

因为交易额y与t的相关系数近似为0.98，说明交易额y与t具有很强的正线性相关，

从而可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系.

（2）因为，，所以，

，所以y关于t的回归方程为，

将代入回归方程得（千万元）亿元，

所以预测下一周的第一天的交易额为1.1亿元.

20．芯片是二十一世纪最核心的科技产品，我们一直被美国卡脖子，随着中国科技的不断发展，我们在芯片技术上取得了重大突破．有些型号的芯片已经批量生产．某芯片代工公司有3台机器生产同一型号的芯片，第1，2台生产的次品率均为1%，第3台生产的次品率为2%，生产出来的芯片混放在一起．已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的30%，40%，30%．

(1)求任取一个芯片是正品的概率；

(2)如果取到的芯片是次品，分别求出是第1台机器，第2台机器，第3台机器生产的概率．

【答案】(1)0.987

(2)概率分别为，，

【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可；

（2）应用贝叶斯公式计算可得结果.

【详解】（1）记事件A：机器生产的芯片为次品，记事件：第i台机器生产的芯片，则，，

，，，

．

．

即任取一个芯片是正品的概率0.987．

（2）；

；

．

故如果取到的芯片是次品，是第1台机器，第2台机器，第3台机器生产的概率分别为，，．

21．已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM的斜率为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．证明：为定值，并求出该定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）根据椭圆所过的点和已知的AM的斜率列出方程组求解即可；

（2）设直线BC：，与椭圆方程联立，运用韦达定理得到C、D两点横坐标的关系，得到，代入直线方程和韦达定理化简即可得到答案.

【详解】（1）因为椭圆过点，，且AM的斜率为，

所以，

解得，，

所以椭圆E的方程为

（2）证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，

设，，

由，得，

，得，

则，，

因为，直线AD的方程为，

令，解得，

则，同理可得，

所以

为定值，

所以为定值，该定值为

22．已知函数有两个零点．

(1)求a的取值范围；

(2)设，是的两个零点，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求导确定函数的单调性，即可根据最大值求解，

（2）构造函数，利用导数求解单调性，即可求解.

【详解】（1）的定义域为，，

当时，，在上递增，至多一个零点，不符合题意，舍去；

当时，令得，所以在上递增，

当，此时在上递减，

所以的极大值也是最大值，∴．

又时，；趋向于时，趋向于．

所以，有两个零点，a的取值范围为．

（2）不妨设，由，则．

构造函数，

  ，

因为，，∴，即，所以在是递增，又，所以，∴，

∴．

又，∴．

而，，在上递减，所以，，即，所以，．