2022-2023学年湖北省襄阳市第五中学高二上学期10月月考数学试题含答案

2022-2023学年湖北省襄阳市第五中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知F是椭圆的右焦点，B为C的上顶点，原点O到直线BF的距离为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意求出直线BF的方程，由原点O到直线BF的距离公式代入即可得出答案.

【详解】因为F是椭圆的右焦点，B为C的上顶点，

所以，所以直线BF的方程为：，

化为一般式方程为：，

所以原点O到直线BF的距离为，

所以.

故选：D.

2．直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【分析】由条件求出参数，再根据切线的性质.

【详解】圆的圆心为，半径为，

因为直线平分圆的周长，

所以直线经过，所以，故，

由已知，，，圆的半径为3，

所以，

故选：B.

3．已知为圆上一点，、，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设点，设点为坐标原点，分析可得，数形结合求出的最小值，即可得解.

【详解】设点，设点为坐标原点，圆心为，半径为，

则，

因为，所以，原点在圆外，且，如下图所示：

，当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立.

所以，.

故选：C.

4．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得．

【详解】由，边化角得，

又，所以，

展开得，

所以，

因为，所以．

故选：B．

5．已知､是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据的面积以及该三角形为直角三角形可得，，然后结合，简单计算即可.

【详解】依题意有，所以

又，，所以，

又，可得，

即，则，

故选：B.

6．如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，E为的中点，则在原几何体中，异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将给定展开图还原成三棱锥，取BD中点F，借助几何法求出异面直线所成角的余弦值.

【详解】因几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，于是得原几何体是正三棱锥，

其中两两垂直，且，取BD中点F，连接EF，AF，如图，

因E为的中点，则有，因此，是异面直线与所成角或其补角，

令DB=2，则，中，，

正中，，于是有：，即，，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：A

7．已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意得在圆上，则，数形结合即可求出的取值范围，即可得解.

【详解】由题意可得是圆心为半径为1的圆，是圆心为半径为1的圆，

设中点为，，

由垂径定理得，

在圆上，

又 ，

由图可知，

，

的范围为.

故选：C

8．当变化时，不在直线上的点所成区域是区域内的任意一点.则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】原方程化为关于的方程，得，，夹角记作，直线与圆相切，进而得，即可求解

【详解】原方程化为关于的方程，

时，

，得，

当，时，点不在直线上，

所以区域G是以点为圆心，半径为1的圆的内部（除外不包括圆上点），

，，，夹角记作，

由坐标可知三点共线，且，

当直线与圆相切于点时，，

所以此时，

因此，．

故选：A

二、多选题

9．已知向量，，，若为锐角，则实数可能的取值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】求出，利用，去除两向量反向的情形可得的范围，然后判断各选项．

【详解】由题意可知，，，

因为为锐角

所以

可得

当时，，

所以，当为锐角时

实数的取值范围是

故选：ABD．

【点睛】关键点点睛：本题考查由向量夹角的范围求参数范围．

两向量夹角为锐角时，，，但时，除夹角为锐角外还有同向的情形；同样两向量夹角为钝角时，，，但时，除夹角为钝角外还有反向的情形，解题时要注意去除．

10．某市组织2022年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛.比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2021年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组.已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件，“乙队分在第一小组”为事件，“甲、乙两队分在同一小组”为事件，则（    ）

A． B．

C． D．事件与事件相互独立

【答案】ABD

【分析】A选项可以直接得到答案；B选项利用组合知识分别求出分组的所有情况和事件包含的情况，从而求出相应的概率；C选项，分别求出，，验证是否等于；D选项利用若，则事件A与B相互独立来验证事件与事件是否相互独立.

【详解】对于A，因为甲队分在第一小组和第二小组的概率相等，且两种情况等可能，所以，故A正确；

对于B，8支球队抽签分组共有种不同方法，甲、乙两队分在同小组共有种不同方法，所以甲、乙两队分在同一小组的概率，故B正确；

对于C，因为，所以，故C错误；

对于D，因为，，所以，所以事件与事件相互独立，故D正确.

故选：ABD.

11．已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】设点的坐标为，可得知当、均为圆的切线时，取得最大值，可得出四边形为正方形，可得出，进而可求出点的坐标.

【详解】如下图所示：

原点到直线的距离为，则直线与圆相切，

由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，

连接、，由于的最大值为，且，，

则四边形为正方形，所以，

由两点间的距离公式得，

整理得，解得或，因此，点的坐标为或.

故选：AC.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

12．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（    ）

A．当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变

B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，]

C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为

D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是

【答案】ABC

【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；

C选项，找到P的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即可.

【详解】A选项，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥P－的体积不变，A选项正确；

B选项，与所成角即与所成角，当P在端点A，C时，所成角最小，为，当P在AC中点时，所成角最大，为，故B选项正确；

C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线AB1，AD1，以及以A1为圆心2为半径的圆弧如图，

故P的轨迹长度为，C正确；

D选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为，D选项错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则      ．

【答案】/

【分析】根据圆的性质，结合三角形面积公式、点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】设，则，当时，的最大值为，此时根据对称性，不妨取直线l的方程为，

因为，，

所以点O到直线l的距离为，所以，解得．

故答案为：

14．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是            ．

【答案】

【分析】由条件概率公式计算．

【详解】记第一次闭合后出现红灯为事件，则第一次出现绿灯为事件，第二次闭合后出现红灯为事件，出现绿灯为，

，，，

所以．

故答案为：．

15．已知点B为椭圆C：的上顶点，过B作圆O：的切线l，l与椭圆C的另一交点为Q，若，则      ．

【答案】

【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】，设，则有，

，

∴，不妨设，则，

当时，，，

，即

O到BQ距离，此时，

当时，，，，

O到BQ距离，舍去，

∴，

故答案为：

四、双空题

16．某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为           ，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为           .

【答案】         

【分析】过侧棱的中点作正三棱柱的截面，即可得到球心为的中心，在正中求出内切圆的半径即内切球的半径，从而求出球的表面积，再求出三棱柱的顶点到球心的距离，即可求出球面上的点到顶点的距离的最小值；

【详解】解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为的中心，

因为，所以内切圆的半径，

即内切球的半径，所以内切球的表面积，

又正三棱柱的高，

所以，所以，

所以到球面上的点的距离最小值为；

故答案为：；

五、解答题

17．已知点，到直线的距离相等.

（1）求实数的值；

（2）已知，试求上点的坐标，使得，，构成以为直角顶点的直角三角形.

【答案】（1）或；（2）点的坐标为或.

【解析】（1）由点到直线的距离公式建立等式求解的值；

（2）可求出以为直径的圆的方程，与直线的方程联立即得点的坐标.

【详解】（1）由点到直线的距离公式知：，

即，

或，

或.

（2），的中点为

，以为直径的圆的方程为，

直角三角形的直角顶点是以为直径的圆与直线的交点.

设，故满足

由知，，直线，

又在上

联立方程

消去得：，

或.

或

点的坐标为或.

【点睛】①，，构成以为直角顶点的直角三角形，等价于以为直径的圆过点，且，，三点不共线.

②处理圆与直线交点问题时，可由圆心到直线的距离与半径作比较，得出位置关系.联立两者方程，可求出交点坐标.

18．

(1)一动圆与已知圆O1：（x＋3）2＋y2＝1外切，与圆O2：（x－3）2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

(2)求过点A（2，0）且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据条件可得轨迹为椭圆，求出 即可写出椭圆方程；

(2)与（1）相同.

【详解】（1）如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r．

则由圆相切的性质知， ，而，

∴ 点C的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆，其中 ，

∴ 动圆圆心的轨迹方程为；

(2)将圆的方程化为标准形式为，圆心，，

设动圆圆心M的坐标为（x，y），动圆与已知圆的切点为C．

则，而BC＝6，∴  ，

又，∴ ，

∴ 点M的轨迹是以点B（－2，0）、A（2，0）为焦点、线段AB中点（0，0）为中心的椭圆，

，∴ 所求轨迹方程为 ；

综上，（1）动圆圆心的轨迹方程为，（2）所求轨迹方程为.

19．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内，，三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：

类行业：85，82，77，78，83，87；

类行业：76，67，80，85，79，81；

类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．

（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；

（Ⅱ）若从抽取的类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．

【答案】（Ⅰ），，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）

【分析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．

【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的，，三类行业单位个数之比为.

由分层抽样的定义，有

类行业的单位个数为，

类行业的单位个数为，

类行业的单位个数为，

故该城区，，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.

（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件.

这3个单位的考核数据情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.

这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有，，，，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，

故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，

故所求概率.

【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题．

20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，二面角的大小是45°，､分别是､的中点，交于点.

(1)求证：､､､四点共面；

(2)设是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）先根据线面垂直的判定与性质分析可得二面角的平面角为，进而确定，建系，利用空间向量证明四点共面；

（2）利用空间向量求线面夹角.

【详解】（1）∵底面是正方形，则

又∵侧棱底面，则

∴平面，则

二面角的平面角为

∴

如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设

则

设平面的法向量为

∵，则

令，则，即

∵

设，则

∴

又∵，则

∴，则

∵，即

∴点在平面内，即､､､四点共面

（2）结合（1）可得：，则

∵

∴直线与平面所成角的正弦值.

21．已知椭圆的的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为0，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用椭圆的定义，求，再利用求解；（2）直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系，表示，化简变形求解的值.

【详解】（1）由条件可知，并且椭圆的焦点在轴，所以，，则

,

，，

所以椭圆的方程；

（2）设，

联立方程，，

即，

，，

，

即

，

即，

整理得，所以或，

若，则直线过点，不合题意，

所以直线的斜率为定值，该定值是.

【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，得，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．

22．如图，已知半圆的直径，点C在AB的延长线上，，点P为半圆上的动点．以PC为边作正方形PCDQ，且点Q与圆心O分别在PC的两侧．

(1)设△OPC与正方形PCDQ的面积之和为S，求S的最大值；

(2)求OQ的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，利用余弦定理求出的长，即可表示出正方形PCDQ的面积，然后利用三角形面积公式求出的面积，即可表示出S，最后利用辅助角公式进行化简，求出S的最大值.

（2）在中，设，由正弦定理表示出，在中，由余弦定理得表示出，后利用辅助角公式进行化简即可求出答案.

【详解】（1）由题意得：圆的半径，设，

在中，由余弦定理得：，

因为PCDQ为正方形，，

又，

，

其中，当时，S的最大值为.

（2）在中，设，由正弦定理得：，

在中，由余弦定理得：，

因为四边形PCDQ为正方形，所以，

则，

所以，

因为，所以，

所以，所以，

所以OQ的最大值为．