2022-2023学年河北省石家庄市河北正中实验中学高二上学期月考一（10月）数学试题含答案

2022-2023学年河北省石家庄市河北正中实验中学高二上学期月考一（10月）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求出集合和，再根据交集的运算即可求解.

【详解】∵集合，

∴，

∴

故选：B.

2．若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简，根据其为纯虚数可得且，即可求得答案.

【详解】由题意得

,

∵为纯虚数

∴且，∴，

另解：设（），则，

即，，

∴，

故选：D.

3．已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线的定义即可求解.

【详解】解：由题意，因为，

所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，

故选：C.

4．甲､乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.

【详解】解：依题意两人中恰有一人晋级，则甲晋级、乙未晋级或甲未晋级、乙晋级，

所以概率；

故选：A

5．对于两条不同直线，和两个不同平面，，下列选项错误的为（    ）

A．若，，，则 B．若，，，则或

C．若，，则或 D．若，，则或

【答案】B

【分析】根据空间中的线面关系逐一判断即可.

【详解】若，，，则，故A正确；

由，，推不出或，故B错误；

若，，则或，故C正确；

若，，则或，故D正确；

故选：B

6．已知为正实数且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.

【详解】解：因为为正实数且，

所以，

所以，

因为，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立；

故选：D

7．已知圆和两点，，若圆C上存在点P使得，则m的最大值为（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】B

【分析】设出P的坐标，由圆C上存在点P使得，可构建的等式，解读的几何意义，结合图形求出最值.

【详解】设点

圆C上点P使得，

,

又，,

，即

，其意义表示为到原点的距离，

又点在圆上,可知,

故选：B.

8．已知圆C的方程为，直线，点P是直线l上的一动点，过P做圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先判断出四边形PAOB的面积最小时点的位置，根据圆与圆的交线的求法求得正确答案.

【详解】依题意可知，

所以，

所以最小时，最小，此时，

的斜率为，所以此时直线的斜率为，也即此时直线的方程为，

由解得，则，

以为圆心，半径为的圆的方程为，

即，与两式相减并化简得：.

故选：A

二、多选题

9．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等腰三角形

B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个

C．若不是直角三角形，则

D．若，则为钝角三角形

【答案】BC

【分析】对于A，利用正弦定理整理等式，结合正弦函数以及三角形的内角性质，可得答案；

对于B，利用余弦定理，建立方程，根据一元二次方程的求解，可得答案；

对于C，根据正切函数的和角公式，整理等式，结合直角三角形的性质，可得答案；

对于D，利用平面向量的数量积的定义式，可得答案.

【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，即，

因为，，所以，，所以或，

即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于B，由余弦定理得，

即，即，解得，

由，所以，则满足条件的三角形有且只有一个，故B正确；

对于C，因为不是直角三角形，且，

所以，即，

所以，故C正确；

对于D，，即，

所以，因为，则，所以一定是直角三角形，故D错误.

故选：BC.

10．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（    ）

A．M，N，B，四点共面

B．异面直线与MN所成角的余弦值为

C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形

D．三棱锥的体积为

【答案】BCD

【分析】根据直线与直线的位置关系判定A；由异面直线所成角求解判定B；作出截面判定C；由体积公式判定D

【详解】对于A，易知MN与为异面直线，所以M，N，B，不可能四点共面，故A错误；

对于B，连接，CP，易得，所以为异面直线与MN所成角，

设，则，

所以，

所以异面直线与MN所成角的余弦值为，故B正确；

对于C，连接，，易得，

所以平面BMN截正方体所得截面为梯形，故C正确；

对于D，易得，因为平面MNB，平面MNB，

所以平面MNB，

所以，故D正确.

故选：BCD

11．下列说法中，正确的有（    ）

A．点斜式 = 可以表示任何直线

B．直线在轴上的截距为-2

C．直线关于对称的直线方程是

D．点到直线的最大距离为2

【答案】BD

【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误；

对B：在轴上的截距为，故B正确；

对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误；

对D：，即，其恒过定点，

又，

故点到直线的最大距离为2，D正确.

故选：BD.

12．已知P是椭圆上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的交点分别为A、B，左、右焦点分别为，，下列关于椭圆的四个结论中正确的是（    ）

A．若PA、PB的斜率存在且分别为，，则

B．若椭圆C上存在点M使，

C．若的面积最大时，，则

D．根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过.若一束光线从发出经椭圆反射，当光线第n次到达时，光线通过的总路程为

【答案】AC

【分析】根据椭圆的定义和几何性质对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，依题意，，设，

则，，

则，A选项正确.

B选项，设，

则

，当，即时等号成立.

若椭圆C上存在点M使，即存在，使，

所以，

所以，所以B选项错误.

C选项，当上椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，

依题意，此时，则，

则，C选项正确.

D选项，当时，光线通过的总路程为，所以D选项错误.

故选：AC

【点睛】求解椭圆中的定值问题，可根据椭圆的定义、椭圆上的点等知识，结合题意列方程，化简后可求得所求的定值.求解椭圆离心率有关问题，可以考虑直接法，即求得来进行求解，也可以先求得，然后利用来进行求解.

三、填空题

13．已知向量， 若， 则      .

【答案】

【分析】由平面向量垂直的坐标表示代入即可得出答案.

【详解】解析：本题考查平面向量垂直以及数量积，考查数学运算的核心素养.

因为，所以，则.

故答案为：.

14．已知中，若角，，则角          ．

【答案】或

【分析】由已知，根据已知条件，可直接使用正弦定理求解出，并根据，从而确定角的大小.

【详解】由已知，在中，若角，，，

有正弦定理可知，，所以，

因为，所以，

所以或.

故答案为：或.

15．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为         .

【答案】

【分析】设球的半径为，计算出圆柱和球的表面积，即可得解.

【详解】设球的半径为，则圆柱的表面积，

球的表面积，所以.

故答案为：.

16．椭圆的左、右焦点分别为F，，离心率为，A为椭圆C的左顶点，且，过原点的直线交椭圆C于M，N两点，则的最小值为      .

【答案】/

【分析】根据已知先求出的值，记，得到，记，再利用导数求函数的最值可解.

【详解】由题可知，

所以，即，

又

由椭圆定义和对称性可知，，

记，则，

记，

则

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

.

故答案为：

四、解答题

17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．

(1)求角A的大小；

(2)若，，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可；

（2）由余弦定理与面积公式求解即可

【详解】（1）由已知及正弦定理知：．

因为C为锐角，则，所以．

因为A为锐角，则

（2）由余弦定理，．

则，即

即，因为，则

所以△ABC的面积．

18．在四棱锥中，底面为直角梯形，，分别为的中点，.

(1)证明：；

(2)若与所成角为，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由题设易得，结合，根据线面垂直的判定和性质证结论；

（2）构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，应用向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.

【详解】（1）因为为的中点，所以，

又且，面，

所以面，又面，

所以；

（2）底面为直角梯形，，

为的中点，则，

综上，四边形为正方形，故，

又，则四边形是平行四边形，则，

所以，则，

以为原点，以为轴，为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，

则，故，

设面的一个法向量为，则，令，则，

平面的一个法向量为，则，

所以二面角.的余弦值.

19．已知直线过点，点在圆上.

(1)若直线与圆相切，求直线的倾斜角；

(2)已知，点满足，求点的轨迹方程，并求线段长的最大值.

【答案】(1)或

(2)，8

【分析】（1）考虑直线的斜率不存在的情况，当斜率存在时，设直线方程，利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径列出方程，解得答案;

（2）求出点的轨迹方程， 求出两圆的圆心距，由两点分别位于两圆上，可求得答案.

【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，满足条件，

此时直线的倾斜角为.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，

由直线与圆相切，

则圆心到直线的距离，解得，则直线的倾斜角为,

综上得：直线的倾斜角为或；

（2）设，由得:，

化简得,

由题意知点在圆上，点在圆上，

则两圆圆心距离为 ，

则当P,Q位于两圆圆心的连线与两圆相交的两端时，线段长的最大，

所以的最大值为.

20．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．

【答案】（1）； （2）钝角三角形.

【分析】(1)设双曲线方程为，由题得且c=，解方程组即得双曲线的标准方程.(2) 不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 ，求得|MF1|＝4，|MF2|＝2，|F1F2|＝2，再利用余弦定理判定△MF1F2为钝角三角形．

【详解】(1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c＝，

故设双曲线方程为，

则有解得a2＝3，b2＝2.

所以双曲线的标准方程为.

(2)不妨设M点在右支上，

则有|MF1|－|MF2|＝2 ，

又|MF1|＋|MF2|＝6，

故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，

又|F1F2|＝2，

因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而

cos ∠MF2F1＝ ，

所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．

【点睛】（1）本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的简单几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2)求双曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.

21．已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知、为椭圆的两焦点，若点P在椭圆上，且，求面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得对应的，从而求得椭圆的方程.

（2）根据已知条件求得，结合求得面积.

【详解】（1）椭圆对应的，

所以对于，有.，

解得，则，

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）得，，

在中，由余弦定理得①，

由椭圆的定义得②，

由①②整理得，

由于，所以为锐角，所以，

所以.

22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，且ON的斜率为.

(1)求椭圆C的离心率e的值；

(2)若，l为过椭圆C的右焦点且斜率不为零的直线，直线l交椭圆C于点P，Q，求内切圆面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用点差法求得，进而求得椭圆的离心率.

（2）先求得椭圆的方程，然后设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得面积的表达式，并求得面积的最大值，进而求得内切圆半径的最大值，从而求得内切圆面积的最大值.

【详解】（1）由于在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点，

设，则，

由两式相减并化简得，

所以，所以.

（2）结合（1）得，解得，

所以椭圆的方程为，右焦点，的周长为，

设直线的方程为，由于在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点，

设，由消去并化简得，

则，

所以

，

令，则，所以，

由于函数在区间上单调递增，

所以当时，面积取得最大值为，

设的内切圆的半径为，则，

当面积取得最大值时，取得最大值，

所以的内切圆面积的最大值为.

【点睛】求解椭圆弦的中点有关问题，可考虑利用点差法进行求解，点差法化简后，得到如的表达式，其中是两个斜率，前者是弦的中点和原点连线的斜率，后者是弦所在直线方程的斜率.