2022-2023学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ）

A．2为的极大值点 B．在区间上单调递增

C．为的极小值点 D．在区间上单调递增

【答案】A

【分析】根据导函数图象分析的取值情况，即可得到函数的单调区间与极值点.

【详解】由导函数图象可得当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

且在的左边，在的右边，

所以的极大值点为、，极小值点为.

故选：A

2．若三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据等差中项求出，再套用离心率公式即可求解.

【详解】因为，所以，解得，

所以，

，

则，

所以

故选：D

3．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（    ）

A．30种 B．60种 C．90种 D．150种

【答案】D

【分析】分两类：（1）将5名教师分三组，一组3人，另两组各1人；（2）将5名教师分三组，一组1人，另两组各2人. 分别计算出每一类的分配方案种数，进而由分类计数原理可得结果.

【详解】依题意分两类：

（1）将5名教师分三组，一组3人，另两组各1人：分配方案共种；

（2）将5名教师分三组，一组1人，另两组各2人：分配方案共种.

所以，不同的分配方案共有种.

故选：D.

4．观察变量x与y的散点图发现可以用指数型模型拟合其关系，为了求出回归方程，设，求得z关于x的线性回归方程为，则a与k的值分别为（    ）

A．3，2 B．2，3 C．，2 D．，3

【答案】D

【分析】根据题意得到求解.

【详解】解：因为，且z关于x的线性回归方程为，

所以，则，

故选：D

5．在数列中，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据递推关系，求出数列的项，根据数列的周期性求解.

【详解】，，，，，，

可以看出四个循环一次，故．

故选：D

6．某牧场2022年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…，，…，其中，则下列结论不正确的是（    ） （附：，，，.）

A．

B．与的递推公式为

C．按照计划2028年年初存栏数首次突破1000

D．令，则（精确到1）

【答案】C

【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出60头”建立与的关系，用待定系数法构造等比数列，求出通项公式即可求解.

【详解】由题意得，并且，故B正确；

则，故A正确；

设，则，则0.2x＝60，则x＝300，

∴，即数列{}是首项为，公比为1.2的等比数列，则，则，

令，则，

∵，，∴n－1≥7，则n≥8，

故2029年年初存栏数首次突破1000，故C错误；

≈3000＋1000×(6.1917－1)≈8192，故D正确.

故选：C.

7．函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】函数定义域为，由函数在上不单调，则在上有零点，即方程在上有根，所以，进而求解.

【详解】函数定义域为，

由题意，函数在上不单调，

所以在上有零点，

即方程在上有根，

即方程在上有根，

所以，即，

所以实数的取值范围为.

故选：C.

8．函数，的最大值是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求得函数的导数，得到当时，函数单调递增，当，时，函数单调递减，进而比较，即可得到答案．

【详解】由题意，函数，则，

令，即，即，

又因为，解得，

则当时，，函数单调递增，

当，时，，函数单调递减，

又由，

因为，所以函数的最大值为，故选A．

【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的最大值问题，其中解答中求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

二、多选题

9．下列函数在定义域上为增函数的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】利用特殊值法、函数的单调性与导数之间的关系逐项判断各选项中函数在其定义域上的单调性，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，函数的定义域为，

因为，所以，函数在定义域上不是增函数；

对于B选项，函数的定义域为，且，

当时，，即函数的单调递减区间为，

故函数在定义域上不是增函数；

对于C选项，函数的定义域为，且不恒为零，

所以，函数在上为增函数；

对于D选项，函数的定义域为，

且不恒为零，

所以，函数在上为增函数.

故选：CD.

10．过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解.

【详解】因为，所以，

由题意得直线的斜率，

即，解得或

故选:AD.

11．某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的公式逐一判断即可.

【详解】因为小明每次踢进的概率为，每次射门相互独立，所以服从二项分布，

因此，所以选项A正确；

，

，

，所以选项B不正确，

，

，

所以选项C正确，

，

因此选项D正确，

故选：ACD

12．已知为等差数列，，则（    ）

A．的公差为 B．的通项公式为

C．的前n项和为 D．的前50项和为2565

【答案】ACD

【分析】利用等差数列性质结合已知求出首项、公差，再逐项计算判断作答.

【详解】等差数列中，，，解得，

因此的公差，首项，A正确；

数列的通项公式，B错误；

数列的前n项和，C正确；

由，得，因此数列的前50项和为

，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．的展开式中的常数项为               ．

【答案】24

【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出展开式的常数项作答.

【详解】二项式展开式的通项公式为，

由，得，，

所以所求常数项为24.

故答案为：24

14．已知随机变量,且，若,则的最小值为         ．

【答案】

【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案.

【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，

又，，即．

则，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：.

15．在等比数列中，且，则        .

【答案】

【分析】利用等比数列的下标性质，结合对数的运算性质进行求解即可.

【详解】，

故答案为：

16．已知函数有最大值，则实数的取值范围是           .

【答案】

【分析】当时，的值域为，无最大值，故当时，有最大值，且最大值不小于，即可求出的取值范围.

【详解】解：函数，

当时，的值域为，无最大值，

故当时，有最大值，且最大值不小于.

由，知，

当时，在上单调递增，，

令，解得；

当时，或，

令或，解得，

综上，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：当时，的值域为，无最大值，故问题转化为：当时，有最大值，且最大值不小于是本题的解题关键.

四、解答题

17．袋子中有6个大小相同的小球，其中有2个是白球，其余为红球，现从中抽取两次，每次取一个.

(1)若采取放回的方法连抽取两次，求两次都是白球的概率；

(2)若采取不放回的方法连抽取两次，求在第一次是红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由分步乘法原理求出两次抽取球的方法数，再求得两次都是白球的方法数，然后计算概率．

（2）记第一次取得红球是事件，第二次取得红球为事件，求出和，再由条件概率公式计算概率．

【详解】（1）采取放回的方法连抽取两次，总的方法数是，两次都是白球的方法数是，

所以概率为；

（2）记第一次取得红球是事件，第二次取得红球为事件，

则，，

所以．

18．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)求函数在区间上的值域.

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）利用函数的极值定义求解；

（2）利用导数法求解.

【详解】（1）解：因为，

所以，

令得，

当或时，，

当时，，

所以当时，取得极大值，

当时，取得极小值，

（2）由（1）知：当时，取得极小值，

又，

所以函数在区间上的值域是.

19．已知等差数列的前三项依次为a、4，3a，前n项和为，且．

(1)求a及k的值；

(2)设数列{}的通项公式为，求数列{}前n项和．

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）设该等差数列为{an}，根据等差数列的前三项依次为由a＋3a＝8，求得a，再利用等差数列前n项和的公式，由Sk＝110求解；

（2）由（1）得到，进一步利用分组求和思想及等差数列、等比数列求和公式求解即可.

【详解】（1）设该等差数列为，首项为，公差为，

则,由已知有，得，所以，

所以公差，所以，

由，得，解得或(舍去)，故，.

（2）由（1）知，，所以，

所以

.

20．已知函数，数列的前n项和为，且点在函数的图象上．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，若对任意的恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用题意可得，则，两式相减，可得是首项为2，公比为3的等比数列，即可求解；

（2）求出数列的前n项和为，由，可得，求出即可．

【详解】（1）∵，数列的前n项和为，

且点在函数的图象上，

∴①，

当时，，∴，

当时，②，

①②有：，

∴是首项为2，公比为3的等比数列，∴．

（2），

∴，

∴，

∵对任意的恒成立，

∴对任意的恒成立，

即，

因为，且随着的增大而减小，所以当时，

∴．

21．（

已知函数，（）

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

【答案】解：（1）

…………………………………………………………………1分

当时，即时，，

在上递增；…………………………………………………3分

当时，即或时，，

由求得两根为…………………………………5分

即在和上递增；

在上递减，………………………………6分

的单调递增区间是：当时，

当或时，和

的单调递减区间是：

当或时，………………7分

（2）（法一）由（1）知在区间上递减，

∴只要

∴ 解得：．

………9分

……………………………………………………………12分

……………………………………………………14分

【详解】（1）；（2）

（1）求导：

当时，，，在上递增

当，求得两根为

即在递增，递减，递增

（2），且解得：

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导，对a进行讨论，利用导函数的正负分析单调性即可；

（2）要使恒成立，则只需恒成立，对a进行讨论，并根据（1）中所得单调性，即可分析符合的情况，进而得到实数的取值范围.

【详解】（1）由，

得

①当时，，

所以在上单调递增；

②当时，令，得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知：当时，在上单调递增，

，

所以当时不合题意.

②当时，，符合题意.

③当时，，

要使恒成立，则只需恒成立，

即：，亦即：.

记，则，

于是在上单调递减；

又因为，

所以当时，，即；当时，，不合题意.

综上可知的取值范围为.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.