2022-2023学年广西玉林市第十五中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年广西玉林市第十五中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．，则（    ）

A． B．2 C． D．6

【答案】C

【分析】根据导数的定义，结合导数的计算，可得答案.

【详解】∵，，∴.

故选：C.

2．小明早晨赶往1公里外的学校，开始时选择搭乘同学的自行车，加速行进，中途经过早餐店，停下来休息，吃完早餐后，匀速步行到达学校，与以上事件吻合得最好的图像是（    ）

A．     B．    

C．     D．    

【答案】A

【分析】根据导数与函数单调性的关系，可得答案.

【详解】由题意，小明赶去学校的运动过程分为三段：

第一段，小明为加速运动，速度大于零，且越来越大，函数图象应越来越趋向于竖直；

第二段，小明停下休息，速度为零，则函数图象应该是水平的；

第三段，小明匀速运动，速度恒定不变，则函数图象应是斜线.

故选：A.

3．如图所示是函数的图像，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合图像，利用导数与函数性质的关系即可得解.

【详解】因为在上单调递增，所以，

因为在上单调递减，所以，

因为在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以.

故选：D.

4．的展开式的第3项的系数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】写出通项公式，代入相应的值，即可求出系数.

【详解】的通项

令则，

可得第3项的系数是.

故选:A.

5．四名获奖学生可以从钢笔、文具盒、精美水杯、笔记本等四种奖品中，挑选一份送给自己，每人限选一份，不同的选择方法共有（    ）

A．7种 B．256种 C．6种 D．12种

【答案】B

【分析】根据分步乘法计数原理计算可得.

【详解】∵奖品一共有钢笔、文具盒、水杯、笔记本四种且每种奖品数量无限制，

∴四名获奖学生，每个人都可以从四种奖品中任选一种，

∴共有种.

故选：B

6．展开式中不含项的系数的和为

A． B． C． D．2

【答案】B

【详解】试题分析：由二项式定理知，展开式中最后一项含，其系数为1，令=1得，此二项展开式的各项系数和为=1，故不含项的系数和为1-1=0，故选B.

【解析】二项展开式各项系数和；二项展开式的通项

7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

【答案】A

【详解】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.

【解析】条件概率．

8．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是（    ）

A．5 B．9 C．10 D．25

【答案】B

【分析】根据每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个可得答案.

【详解】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.

故选：B.

二、多选题

9．下列选项正确的是（    ）

A．，则 B．，则

C．，则 D．，则

【答案】BCD

【分析】根据基本初等函数的导数公式求各选项中函数的导函数.

【详解】A：，错误；

B：，则，正确；

C：，正确；

D：正确.

故选：BCD

10．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（    ）

A．若1班不再分配名额.则共有种分配方法

B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法

C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法

D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法

【答案】BD

【分析】对于AB，将20个名额分给n个班，且每个班至少有一个名额，相当于在20个物体的19个空中，选个位置分隔，用插空法；对于CD，将问题转化为将10个，名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，进而结合挡板法求解即可得到.

【详解】解：对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；

对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；

对于CD，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，

再将10个，名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有种，故C错误，D正确.

故选：BD.

11．在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．展开式中各项的通项公式为

B．展开式中各项的系数等于其二项式系数

C．x的幂指数是整数的项共有5项

D．展开式中存在常数项

【答案】ABC

【分析】对于A，根据二项式定理，结合幂的运算律，可得答案；

对于B，根据A写出的通项，结合单项式系数以及二项式系数的定义，可得答案；

对于C，根据二项式展开式中项的性质，建立方程，可得答案；

对于D，利用赋值法，建立方程，结合常数项的性质，可得答案.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，的通项：，各项的系数为：，二项式系数为：，两者相等，故B正确；

对于C，x的幂指数是整数，∵的通项：，

∴，且，，解得共五项，故C正确；

对于D，的通项：，∴，且，∴k无解，故D错误.

故选：ABC.

12．两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为3%；第二批占70%，次品率为6%，将这两批产品混合后，从中任取1件，则下列说法正确的是（    ）

A．这件产品是合格的概率为0.949

B．这件产品是次品的概率为0.949

C．已知取到的是合格品，那么它取自第一批产品的概率为

D．已知取到的是合格品，那么它取自第二批产品的概率为

【答案】AC

【分析】AB选项，利用全概率公式计算即可；CD选项，利用条件概率公式进行计算.

【详解】A选项，设“取出的是第i批产品”，B＝“取出的是合格品”，

，A正确；

B选项，设C＝“取出的是次品”，

，B正确；

C、D选项．，

，C正确，D错误.

故选：AC．

三、填空题

13．若函数，则         .

【答案】2

【分析】利用乘法求导公式和复合函数求导，再求导数值即可.

【详解】解：，，

.

故答案为：2.

14．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是            ．

【答案】

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】解：每个人都有种选择方法，根据分步计算原理可知方法有种.

故答案为：

15．将两个骰子各掷一次，设事件 “二个点数都相同”， “至少出现一个5点”，则      ．

【答案】

【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数以及古典概型的概率计算公式，可得答案.

【详解】，∵，，∴.

故答案：.

16．已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X为他投篮一次命中的个数，则X的期望是        ．

【答案】0.8

【解析】求出投篮一次命中和未命中的概率，再求期望即可.

【详解】因为，，所以

故答案为：

四、解答题

17．已知函数.

(1)求这个函数的导数；

(2)求这个函数的图像在点处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的运算法则计算可得；

（2）求出切线的斜率，再利用点斜式计算可得.

【详解】（1）因为，所以，即；

（2）因为点在切线上，且，

所以切线方程为，即.

18．某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人.

(1)若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？

(2)郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师不能相邻，问共有多少种站法（列式并用数字作答）？

【答案】(1)40

(2)30240

【分析】（1）该问不涉及排序问题，考虑用组合去处理，第一辆车选好后，剩下的归为第二辆车.

（2）排序问题中，不相邻问题考虑用插空法.

【详解】（1）八个人坐两台车，只需要考虑第一辆车坐的人，先选一位老师坐入第一辆车，共种选法，再选三名学生坐入第一辆车，共种选法，因此共有种分配方式.

（2）先让6名学生排队，共种方法，然后两名老师插入7个空隙，共种方法，因此共有种站法.

19．已知中，，且.

（1）求m；

（2）求.

【答案】（1）（2）29524

【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得；

（2）令得所有项系数和，令得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，是常数项易求，从而可得，

【详解】（1）因为，，

依题意得：，

因为，所以，得.

（2）

令得：.①

令得：.②

由①②得：，

即.

又，

所以

【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.

20．已知随机变量，且其正态曲线在上是增函数，在上是减函数，且．

(1)求参数，的值．

(2)求．

附：若，则，

【答案】(1)，

(2)0.1359

【分析】（1）由题设及特殊区间的概率值得到，即可确定参数；

（2）利用正态分布的对称性求、，进而求目标概率值.

【详解】（1）由题设，而，则，可得.

（2）由（1）知：，

正态曲线关于对称 ，即，

所以，故，

由，则，

所以，

综上，.

21．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，期望，方差．

(1)求n和p的值，并写出X的分布列.；

(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．

【答案】(1)，，分布列.见解析

(2)

【分析】（1）根据二项分布的知识列方程组，求得，并求得的分布列.

（2）结合（1）的分布列求得正确答案.

【详解】（1）由题意知，随机变量X服从二项分布，

，．

由，解得，．

所以，的可能取值为，

，

，

，

，

所以X的分布列为：

（2）记事件A表示“需要补种沙柳”，则，

得，

所以需要补种沙柳的概率为．

22．设函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若当时恒成立，求的取值范围．

【答案】(1) f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a的取值范围为(－∞，].

【分析】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分别令f′(x)<0，f′(x)>0

可求的单调区间；

(2求导得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故问题转化为f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而对1－2a的符号进行讨论即可得出结果.

【详解】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.

当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加

(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故当x∈(0，ln2a)时， f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，

综上可得a的取值范围为(－∞，]．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.