2023届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期中数学试题含答案

2023届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简集合A、B，再去求即可解决

【详解】

则

故选：C

2．已知向量 ， ，若 ，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出的值，利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】已知向量 ， ，且，

则，即，

若，则，这与矛盾，

所以，，故，

因此，

.

故选：A.

3．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（    ）

A．89 B．55 C．34 D．144

【答案】C

【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案.

【详解】设第行实心圆点的个数为，

由题图可得，，，，，，，……，

则，

故，，，．

故选：C．

4．如图，在三角形中，是线段上的一点，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量线性运算，用基底向量表示出即可求解作答.

【详解】在中，设，

则

，

因为，则有，解得，

所以实数的值为.

故选：A

5．已知数列是公比不等于的等比数列，若数列，，的前2023项的和分别为m，，20，则实数m的值（    ）

A．只有1个 B．有2个 C．无法确定 D．不存在

【答案】B

【分析】根据等比数列前项和公式求得数列，，的前2023项的和，通过观察得出关于的方程，由此求得的值.

【详解】是公比不等于的等比数列，

则数列，都是公比不为1的等比数列，前者公比为，后者公比为.

设的公比为q，则，，，

观察可知：，即，所以或.

故选：B

6．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据数列是递增数列，列出符合条件的不等式组，求出的取值范围即可.

【详解】数列是递增数列，且，

则，解得，

故的取值范围是

故选：D

7．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解.

【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，

所以当时，，即，所以，

又，，且，，

所以；

故选：B

8．已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，，且，则的最大值是（    ）

A．0 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】利用导数判断出函数在上递增，转化为存在，使得有两个相异实根，

作出函数的图象，结合图象有，设，再利用导数可得答案.

【详解】由于，故函数在上递增，

又有两个相异实根，所以存在，使得有两个相异实根，

作出函数的图象，如图所示：

由图以及题意可知，，

由，解得，，即有，

设，，可得，

所以在上单调递增，．

故选：C.

二、多选题

9．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】对于A，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案；对于B，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案；对于C，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案；对于D，根据辅助角公式，结合余弦的差角公式，可得答案；

【详解】对于A，

，故A错误；

对于B，，

，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，

.

故选：BCD.

10．已知平面非零向量，，下列结论正确的是（    ）

A．若存在非零向量使得，则

B．已知向量，则在方向上的投影向量是

C．已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是

D．若{，}是它们所在平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数

【答案】BD

【分析】选项A可由向量的运算性质判断；选项B根据投影向量的定义判断；选项C将向量的夹角转化为数量积进行运算；选项D根据共线向量基本定理进行运算.

【详解】选项A，，则，所以或，所以A错误；

选项B，在方向上的投影向量的长度为，所以投影向量为，B正确；

选项C，，则，所以；当与共线时，，，则k的取值范围是，C错误；

选项D，不是基底，即共线，则存在，使得，，故，或，所以D正确；

故选：BD.

11．在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（    ）

A．若，则有2解；

B．若，则；

C．若，则为锐角三角形；

D．若，则为等腰三角形或直角三角形.

【答案】BCD

【分析】利用正余弦定理都每项逐一判断即可

【详解】对于A，由正弦定理可得： ，，

此时无解，A错误；对于B， ， ，根据同角三角函数基本关系式可知，故B正确；对于C，， ，可知均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；对于D，，由余弦定理可得：,

整理得：，或 即或 ，为等腰三角形或直角三角形，故D正确

故选：BCD

12．函数及其导函数的定义域均为R，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（    ）

A．函数的图象关于直线对称

B．若的导函数为，定义域为R，则

C．的图象存在对称中心

D．设数列为等差数列，若，则

【答案】BCD

【分析】A.由导数的几何意义及是奇函数得到是偶函数判断；B.由的对称性， 为奇函数判断；C.由，结合为奇函数判断；D.由C得到时，，再结合等差数列性质判断.

【详解】对A，由导数的几何意义及的对称性，在和处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故是偶函数，对称轴为，A错；

对B，由的对称性，在和处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故为奇函数，又定义域为，B对；

对C，，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向右移动4个单位，再向上平移4个单位而得，所以的图象存在对称中心，故C对；

对D，由C选项知，当时，，

由等差数列性质，同理，…，故，D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知向量、满足，，，则        .

【答案】

【分析】由已知，利用向量数量积的运算律可得，再由，即可求.

【详解】，又，，

∴，而，

∴.

故答案为：

14．已知等差数列 的前项和为，且，则满足的正整数的最大值 为   

【答案】21

【分析】由可知，则可知，由此即可选出答案.

【详解】因为，

所以

所以故，

所以满足的正整数的最大值为21．

故答案为：21

15．关于x的不等式的解集为         

【答案】

【分析】由对数的运算性质与换元法求解

【详解】

令，则，解得，

则，解得，

故答案为：

16．数列满足，，则前40项和为        ．

【答案】

【分析】根据题设中的递推关系可得、，利用分组求和可求前40项和，

【详解】当时，，

故

，

当时，，

所以，

所以，

当时，；

当时，

；

当时，

；

当时，

；

故

，

故前40项和为，

故答案为：

四、解答题

17．在三角形中，已知，求：

(1)的值；

(2)角的大小和三角形的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由余弦定理列方程直接求解；

（2）由正弦定理求出，利用三角形的性质求出角，代入面积公式即可求解面积.

【详解】（1）因为，

由余弦定理，得，

化简得，解得或（舍），所以；

（2）因为，所以.

由正弦定理，得，所以，

因为，所以，所以为锐角，

所以，所以.

18．已知函数(其中)的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为, 且图象上一个最低点为.

(1) 求函数的最小正周期和对称中心；

(2) 将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求出函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期和对称中心；（2）先求出函数的解析式，再求函数在区间上的值域.

【详解】由题得A=2,T=.

又因为，因为，

所以.

所以f(x)＝＝2sin，

所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，

令，

∴f(x)的对称中心为，k∈Z.

(2)函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，

得到y＝2sin；

再把所得到的图象向左平移个单位长度，

得到，

当时，，

所以当x＝0时，g(x)max＝2，当x＝时，g(x)min＝－1.

∴y＝g(x)在区间上的值域为[－1，2].

【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

19．设正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用，求得通项公式，利用的前项公式求得，进而求得.

（2）利用错位求和法求得数列的前项和.

【详解】（1）由题意知，①，可得②，

两式相减得：，整理得：，

即，因为，所以．

令可得：，解得，即，所以．

所以．

所以，，所以，又因为，所以，所以．

（2）令，前项和为，

则有：，

等式两边同乘以2有：，

两式相减得：，

整理化简得：．

20．某兴趣小组为了解某城市不同年龄段的市民每周的阅读时长情况，在市民中随机抽取了人进行调查，并按市民的年龄是否低于岁及周平均阅读时间是否少于小时将调查结果整理成列联表，现统计得出样本中周平均阅读时间少于小时的人数占样本总数的.岁以上（含岁）的样本占样本总数的，岁以下且周平均阅读时间少于小时的样本有人.

(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析周平均阅读时间长短与年龄是否有关联.如果有关联，解释它们之间如何相互影响.

(2)现从岁以上（含岁）的样本中按周平均阅读时间是否少于小时用分层抽样法抽取人做进一步访谈，然后从这人中随机抽取人填写调查问卷，记抽取的人中周平均阅读时间不少于小时的人数为，求的分布列及数学期望.

参考公式及数据：，.

【答案】(1)列联表见解析；周平均阅读时间长短与年龄有关联；随着年龄的增长，周平均阅读时间也会有所增长.

(2)分布列见解析；数学期望

【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到，由此可得结论；

（2）根据分层抽样原则可确定样本中周平均阅读时间少于小时和不少于小时的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望值.

【详解】（1）样本中周平均阅读时间少于小时的人数占样本总数的，

样本中周平均阅读时间少于小时的人数为人，

则其中年龄在岁以上（含岁）的人数为人；

岁以上（含岁）的样本占样本总数的，

岁以上（含岁）的人数为人，

则其中周平均阅读时间不少于小时的人数为人；

岁以下周平均阅读时间不少于小时的人数为人；

则补充列联表如下：

假设：周平均阅读时间长短与年龄无关联，

，

依据小概率值的独立性检验分析判断不成立，即周平均阅读时间长短与年龄有关联.

二者之间的相互影响为：随着年龄的增长，周平均阅读时间也会有所增长.

（2）由题意可知：抽取的人中，周平均阅读时间少于小时的有人，不少于小时的有人；

则所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

数学期望.

21．在数列中，，，，

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（1）本问考查等比数列的证明，根据等比数列定义，为了证明数列为等比数列，需要证明为一个常数，根据已知条件，所以，于是问题得证；（2）根据第（1）问，是首项为，公比为的等比数列，于是可以求出，于是可以累加法求通项，，则 ，，数列的前项和可以拆分为数列，的前项和.

试题解析：（1）由 ，得，

又，，所以

所以是首项为，公比为的等比数列．     

所以，

所以.

（2）, ，

，

记数列的前项和为，则

记数列的前项和为，则

.                            

所以数列的前项和为.

22．设m为实数，函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；

(3)若方程有两个实数根，，证明：．

【答案】(1)当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递增，在上单调递减．

(2).

(3)证明见解析.

【分析】(1)先对求导，根据m≥0和m＜0进行分类讨论，通过导数的正负以确定函数的单调性；

(2)利用求切线斜率，得到切线方程，可得的表达式，命成新函数，利用导数研究单调性，求出最小值.

 (3).方程化简，命成新函数，通过导数研究单调性判断两根的范围，利用两根的关系引入新变量表示两根，要证明的不等式用新变量表示，再通过命成新函数借助导数研究单调性找出极值得到不等式成立的充分条件.

【详解】（1），函数定义域为，

，

当时，在上恒成立，函数在上单调递增；

当时，，解得，函数在上单调递增；，解得，函数在上单调递减．

（2）当时，，

设切点为，，则切线斜率，

切线方程为，，

，，，

令，函数定义域为，，

，；，

在上单调递减，在上单调递增，

，即的最小值为

（3）证明：，即，则，

令，函数定义域为，，

，；，

∴在上单调递增，在上单调递减，，

，不妨设，，

令，，所以，，，

要证，只要证，只要证，

令，，

，

，；，

在上单调递减，在上单调递增，

，，（1），则存在，使得，

在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，

，，

在上恒成立，

得证．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，也是求曲线的切线必备的知识点

1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．

2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.

3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.

4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，有着非凡的功效.