2022-2023学年皖豫名校联盟高二（下）段考数学试卷（三）（含解析）

2022-2023学年皖豫名校联盟高二（下）段考数学试卷（三）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四组函数中，导数是同一函数的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2.  函数的单调递增区间是(    )

A. 和 B.  C.  D.

3.  函数在处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  ，为的导函数，则的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  若函数在上单调递减，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若函数在时取得极小值，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知定义在上的可导函数 的导函数为，满足， ，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若函数有两个零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. 有且仅有两个极值点
B. 在区间上单调递增
C. 可能有四个零点
D. 若在区间上单调递减，则的最大值为
 

11.  已知点不在函数的图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，则的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知函数的导函数为，则 ______ ．

14.  若直线与函数的图象相切，则 ______ ．

15.  若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是______ ．

16.  已知对，不等式恒成立，则实数的最小值是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数，．
求函数在处的切线方程；
求函数的单调区间和极值．

18.  本小题分
已知函数在处取得极小值．
求实数，的值；
若，，都有成立，求实数的取值范围．

19.  本小题分
已知函数，．
若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；
若函数在定义域内是减函数，求实数的取值范围．

20.  本小题分
已知函数有两个极值点，．
求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．

21.  本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若对，恒成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分
已知函数．
求函数的零点个数；
若，且，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对于中，由函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以不符合题意；
对于中，函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以不符合题意；
对于中，函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以不符合题意；
对于中，函数，，可得，的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数，所以符合题意．
故选：．
根据选项中的函数，求得和，结合同一函数的判定方法，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，的定义域为，
由，得，
的单调递增区间为．
故选：．
求出导函数，由确定增区间．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由已知可得：，
所以，而，
所以在处的切线方程为：，
即．
故选：．
求出函数的导函数，再利用导数的几何意义及点斜式方程，求解切线方程即可．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，是奇函数，排除，，
当时，，排除，
故选：．
求出导函数，利用导函数的解析式，判利用还是的奇偶性已经特殊点断函数的图象即可．
本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查计算能力．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
所以时，，
所以，
所以的取值范围为，
故选：．
求导得，由函数在上单调递减，得在上恒成立，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为函数，
所以，
因为函数在时取得极小值，
所以当或时，，当时，，
则，即，
所以实数的取值范围是，
故选：．
先求导，再根据函数在时取得极小值，利用极值点的定义求解．
本题主要考查了函数极值存在条件的应用，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，令，则其导数，
又由，则有，即函数为减函数；
且则不等式，
又由函数为减函数，
则有；
则不等式的解集为；
故选：．
根据题意，令，对其求导可得，分析可得，即函数为减函数；结合可得，则不等式，借助函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由有两个零点，即有两个正根，
即函数，的图象有个交点，
直线可变为，
令，则，即直线过定点，
当该直线与相切时，设切点为，则，
则，即，
令，则在上单调递增，
又，故有唯一零点，
故，
即与曲线相切时，切点为，
则切线斜率为，
要使函数，的图象有个交点，需满足，
即．
故选：．
将函数有两个零点的问题转化为函数，的图象交点个数问题，结合导数的几何意义，数形结合，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值与极值，利用导数研究函数的零点问题，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对选项求解导数，判断导数值的符号，再判断倾斜角，
对于，由，可得，则，
故在处的切线倾斜角是钝角，A错误；
对于，由可得，则，
故在处的切线倾斜角是锐角，B正确；
对于，由，得，则，
故在处的切线倾斜角是锐角，C正确；
对于，由，得，则，
故在处的切线倾斜角是钝角，D正确；
故选：．
求出各个函数的导数，求解切线的斜率，然后求解倾斜角，判断正确选项即可．
本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由的图象知，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
即函数的在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；
对于中，根据极值点的概念，可得：
当时，取得极大值，当时，取得极小值，所以A正确；
对于中，当，，单调递减；
当时，，单调递增，所以不正确；
对于中，根据函数的单调性，可得函数的图象最多与轴有三个交点，
所以函数最多有三个零点，所以不正确；
对于中，因为函数在区间上单调递减，
要使得在区间上单调递减，可得的最大值为，所以D正确．
故选：．
根据的图象，得出函数的单调性，结合极值点的概念和单调区间，逐项判定，即可求解．
本题考查导数的综合应用，化归转化思想，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
设切点为，
由，得，
则切线的方程为，
代入，得，
化为，
由题意可得方程有两个实根．
设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
在处取得极大值，且为，
又当时，，当时，，
要使方程有两个实根，则．
结合选项可得，的值可以为，，．
故选：．
设切点坐标，利用导数写出过求得的切线方程，代入点坐标，可得，设，再由导数求最值，结合选项得答案．
本题考查利用导数求切线的方程和单调性、极值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，令，可得，
当时，，单调递减，
所以，即，所以，所以不正确；
对于，令，可得，
当时，，单调递增，
所以，可得，即，
即，所以B正确；
对于，令，可得，
令，则，
当时，，则单调递减，
所以，则在恒成立，所以函数单调递减，
所以，即，所以，所以C正确；
又，即，可得，即，所以D正确．
故选：．
令，求得，得到在单调递减，结合，可判定；令，求得，求得在单调递增，结合，可判定；令，求得，求得上单调递减，结合和，可判定、．
本题考查利用导数证明或判定不等式问题，属难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为函数，
所以，
则．
故答案为：．
先求得导函数，再代入求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数，可得，
因为直线与函数的图象相切，设切点横坐标为，
所以，解得，
可得，解得．
故答案为：．
求出函数的导数，利用切线的斜率，求解切点坐标，然后求解即可．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的应用，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
令，
解得或，
若函数在区间上存在最大值，
此时时，函数取得最大值，
则，
解得，
则实数的取值范围为．
故答案为：．
由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，列出关于的等式，再求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
 

16.【答案】 

【解析】解：已知对，不等式恒成立，
此时，
即，
不妨设，函数定义域为，
此时需满足，使得恒成立，
因为，
所以函数在定义域上恒成立，
则，使得恒成立，
即，使得恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
此时，
则实数的最小值为．
故答案为：．
由题意，将问题转化成不等式在上恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，将问题转化成，使得恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 

17.【答案】解：，
，
，
又，
函数在点处的切线方程是，即；
，，
，
令，则 或，
当或时，；
当时，．
在上递增，在上递减，在上递增，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值．
故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值为，极小值为． 

【解析】先求得切点坐标，再利用导数几何意义求得切线的斜率，利用点斜式方程即可求解；
求导后判断导数的正负，从而得到单调区间，进而求得极值．
本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线，利用导数研究函数的单调性，属中档题．
 

18.【答案】解：，
因为函数在处取得极小值，
所以，即，解得．
经检验，当，时，在处取到极小值，
所以，．
由可知，，则，
令，解得或，
而，所以当，时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又，，，，
所以当时，，，
若，，都有成立，
只需，所以，
故实数的取值范围为． 

【解析】根据已知条件可得，求解即可；
问题等价于，利用导数法求得的最大值和最小值，从而可以求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为在处的切线与直线垂直，
所以切线斜率，
因为，
所以，
解得．
因为函数在定义域内是减函数，
所以在上恒成立，且函数不为常函数，
所以在上恒成立，
设，，
，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
所以实数的取值范围是． 

【解析】由在处的切线与直线垂直，得切线斜率，即，即可解得答案．
由函数在定义域内是减函数，得在上恒成立，且函数不为常函数，即在上恒成立，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：函数，
，
因为函数有两个极值点，，
所以，是的两个正根，
则，解得，
即实数的取值范围为．
由可知，，，

，
由于，故，
，
设，则，
故在上单调递增，
故由可得，，
即实数的取值范围是． 

【解析】对函数求导，结合函数有两个极值点，，得到，是的两个正根，列不等式组，求解即可；
由可知，，，求出，得到，设，求导判断单调性，由可得，再求解即可．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：已知，，函数定义域为，
可得，
若，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
若，
因为，
令，
解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
若，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，函数在上单调递减；在上单调递增；
当时，函数在和上单调递减；
在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增；
在上单调递减；
若对，恒成立，
即，使得恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在上单调递增，
即函数在上单调递增，
又，
当，即时，，
所以函数在定义域上单调递增，
此时，
则；
若，即时，，
此时在区间上存在一点，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，不符合题意，
综上，满足条件的实数的取值范围为． 

【解析】由题意，对函数进行求导，分别讨论当，和这三种情况，结合导数的几何意义以及二次函数的性质进行求解即可；
将问题转化成，使得恒成立，构造函数，此时问题转化成函数值域问题，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．
 

22.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，仅当时等号成立，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以在区间上存在唯一一点，使得，
则函数在定义域上共有个零点；
证明：若，且，
因为，
要证，，
需证，，
要证，
即证，
由知函数在上单调递增，
则当时，，
可得，
即，
整理得，
即，
令，，
此时，
故成立． 

【解析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，结合零点存在性定理进行求解即可；
根据对数的运算性质将转化成，此时问题转化成求证，结合中所得函数的单调性，利用换元法再进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．